Plaque orthotrope homog` ene

Le dernier exemple sur l’amortissement des ondes planes dus au comportement visco´elastique des mat´eriaux s’int´eresse `a l’anisotropie des m´ecanismes de perte. Pour cela, l’exemple de la plaque orthotrope ´etudi´ee plus haut dans le cas conservatif est repris.

Il est pr´ef´erable, pour d´efinir le comportement visco´elastique, de passer par les composantes du tenseur op´erationnel plutˆot que par des constantes de l’ing´enieur complexes (voir annexeB.2

sur la visco´elasticit´e). Cette d´emarche est adopt´ee ici ; les composantes utilis´ees sont report´ees dans le tableau I.6. La partie r´eelle de ces composantes est ´egale aux composantes du tenseur des raideurs dans le cas conservatif (construit `a partir des constantes de l’ing´enieur du tableau

C11 C22 C33 C12 C13

14237(1 + i 0.1%) 713(1 + i 2%) 1192(1 + i 0.5%) 323(1 + i 0%) 467(1 + i 0%)

C23 C44 C55 C66 ρ

364(1 + i 0%) 100(1 + i 3%) 1800(1 + i 0.2%) 800(1 + i 1%) 400 Table I.6 – Composantes complexes (en MPa) du tenseur op´erationnel d´efinissant le

comportement visco´elastique de la plaque orthotrope.

I.1). Pour les besoins de cet exemple, les composantes C12, C13 et C23 sont choisies r´eelles ; ce

choix n’est en aucun cas du `a une restriction de la mod´elisation, mais plutˆot pour simplifier l’interpr´etation des r´esultats.

Le taux de d´ecroissance spatiale li´e aux trois premiers modes propagatifs est ´etudi´e. De fa¸con analogue au cas conservatif, il est possible de calculer, avec le sch´ema SFEM propos´e, le nombre d’onde complexe correspondant aux trois premier modes propagatifs, pour une collec- tion d’angles de propagation et de fr´equences. A partir des r´esultats obtenus, il est alors possible de construire des surfaces `a partir du taux de d´ecroissance spatiale χ li´e `a chaque onde ; celles-ci sont param´etr´ees par l’angle de propagation et la fr´equence. Cette repr´esentation est donn´ee sur la figure I.19; le mˆeme code couleur que celui utilis´e pour les surfaces de lenteur et de

Figure I.19 – Surfaces caract´erisant la d´ecroissance spatiale des ondes dans une plaque orthotrope, param´etr´ees par l’angle de propagation et la fr´equence (axe x3). La distance `a

l’axe vertical est d´etermin´ee par le taux de d´ecroissance spatiale χ(c) (en %). Mode de flexion 1 en bleu et modes de membrane A en rouge et B en vert. Lignes iso-fr´equence en

vitesse est employ´e : la surface bleue correspond au mode de flexion 1 , tandis que les modes de membrane A et B sont respectivement repr´esent´es en rouge et vert.

L’observation de la figureI.19, conjointement avec les profils des champs m´ecaniques dans le cas conservatif sur la figure I.11b, permet d’interpr´eter certaines observations sur les modes de membrane, valables pour le cas ´etudi´e ici. Notamment, le mode A (en rouge) est globalement plus amorti que le mode B (en vert). En effet, celui-ci sollicite des m´ecanismes pour lesquels les effets visqueux sont forts ; `a 0◦, il est caract´eris´e par une ´energie de d´eformation en cisaillement plan pur (composante ε6, voir figure I.11b A `a 0◦). Logiquement, son taux de d´ecroissance

spatiale est donc ´egal `a la moiti´e du facteur de pertes li´e `a C66. Dans la direction `a 90◦, on a

vu que le mode A sollicite la plaque en traction-compression dans la direction 2 (figure I.11b, composante 2) ; en cons´equence, χ(c) est ´egal, pour ce mode et `a 90◦, `a la moiti´e du facteur de pertes li´e `a C22. Le mˆeme type de raisonnement sur le mode B permet de justifier son taux de

d´ecroissance spatiale relativement plus faible.

Concernant le mode de flexion 1 , on remarque une augmentation du taux de d´ecroissance spatiale avec la fr´equence. Cette transition est due, comme dans le cas isotrope (voir figure

I.17), `a l’augmentation des effets de cisaillement transverse. Ces effets, li´es `a facteurs de pertes plus ´elev´es que ceux li´es aux m´ecanismes plans (χ(C13) > χ(C11) et χ(C23) > χ(C2)), font donc

augmenter le taux de d´ecroissance spatiale des ondes de flexion.

La surface li´ee au taux de d´ecroissance spatiale repr´esent´ee sur la figure I.19 s’ajoute aux surfaces de lenteur et de vitesse de la figure I.12; ces surfaces caract´erisent compl`etement la fa¸con dont l’information m´ecanique est transport´ee (et perdue) dans une plaque visco´elastique. De nouveau, ces surfaces peuvent ˆetre vues comme la signature du comportement dynamique de la plaque ; l’identification exp´erimentale de ces surfaces permettrait de caract´eriser finement les propri´et´es des mat´eriaux constitutifs.

I.6.5

Couplage acoustique

La derni`ere application de cette partie concernent la prise en compte du couplage acoustique dans le calcul des solutions du probl`eme de propagation des ondes planes dans les plaques (voir section I.3.3).

L’effet du couplage acoustique intervient principalement sur les ondes de flexion 1 . Les modes de membrane A et B pr´esentent en effet une composante transverse du d´eplacement U3

faible ; celle-ci ´etant `a l’origine du couplage, l’effet de celui-ci sur les propri´et´es dispersives de ces modes peut ˆetre n´eglig´ee. Certains modes d’ordre sup´erieur peuvent pr´esenter une composante transverse du d´eplacement non n´egligeable ; toutefois, ceux-ci sortent du cadre de ce travail car la fr´equence `a laquelle ils deviennent propagatifs est hors du domaine d’´etude.

Le probl`eme complet est r´esolu `a l’aide du sch´ema SFEM incluant le terme de couplage (voir sectionI.5.5). Pour cela, la solution d´ecoupl´ee est utilis´ee comme initialisation du probl`eme de recherche aux valeurs propres non-lin´eaire (syst`eme d’´equations (I.5.22)). Ensuite, un calcul it´eratif type Inverse Iteration (voir section pr´ec´edente) est men´e jusqu’`a convergence du nombre d’onde k (ici, le crit`ere d’arrˆet est tel quel |ki+1− ki| < 10−9 × ki). Dans la plupart des cas, un

nombre tr`es r´eduit d’it´erations (2 ou 3) permet d’atteindre la convergence.

La masse volumique de l’air ρa et la vitesse du son ca choisies correspondent `a des conditions

normales de pression et de temp´erature (pression atmosph´erique et temp´erature de 20◦Celsius). On rappelle alors les valeurs de ces grandeurs (eq. (I.3.34)) : ρa = 1.204 kg/m3 et ca = 343.3