III.5 Conclusion and Perspectives
IV.1.4 Contribution propos´ ee
La m´ethode ESPRIT unifi´ee pr´esent´ee dans ce travail est le r´esultat d’une revue personnelle de la bibliographie consacr´ee `a ce type d’approches. L’apport r´eside dans la mise en commun de diff´erents d´eveloppements qui ont ´et´e propos´es au cours des trois d´ecennies pr´ec´edentes (la proposition originale de la m´ethode ESPRIT remontant `a l’article de Roy & al de 1989 [189]) et qui pr´esentent un int´erˆet substantiel pour les applications sur des mesures plein-champs. Les lignes qui suivent d´ecrivent succinctement ces diff´erents d´eveloppements. Les trois premiers sont d´edi´es `a une g´en´eralisation du mod`ele de signal ; les trois suivants s’int´eressent `a l’estimation de la covariance des mesures ; les deux suivants sont respectivement d´edi´es `a l’estimation de l’ordre du signal et `a la quantification des incertitudes.
Signaux multidimensionnels Les aspects li´es aux signaux multidimensionnels sont trait´es par la version de la m´ethode dite ND-ESPRIT [191] ; le mod`ele de signal est g´en´eralis´e `a une combinaison d’ondes planes dont la d´ependance harmonique selon plusieurs dimensions spatio- temporelles x est param´etr´ee par R vecteurs d’onde kr complexes. Le mod`ele du signal pur associ´e s’´ecrit : u(x) = R
X
r ar ei kr·x (IV.1.8)Cette g´en´eralisation permet notamment l’utilisation des m´ethodes ESPRIT pour l’extraction de vecteurs d’onde `a partir de la r´eponse harmonique de plaques ; ceci est l’objet de la contribution des chapitres VI et VII.
Vecteurs d’onde appari´es La version de la m´ethode dite Real-Valued ESPRIT [132] propose l’identification d’une somme de sinuso¨ıdes ; le mod`ele de signal pur correspondant s’exprime sous la forme : u(x) = R
X
r arcos(krx + φr) (IV.1.9)o`u le cosinus est d´efinit au sens g´en´eral (kr peut donc ˆetre complexe, 2cos(k x) = exp(i k x) +
exp(− i k x)). L’´ecriture du signal sous la forme u = ¯VLa ainsi que la propri´et´e d’invariance rotationnelle modifi´ee utilisent l’identit´e remarquable suivante :
Cette impl´ementation en somme de sinuso¨ıdes permet de prendre en compte, dans les applica- tions sur des signaux issus de la r´eponse de structure, l’´egalit´e des vitesses d’ondes de directions oppos´ees.
Invariances rotationnelles multiples La m´ethode ESPRIT originale exprime la propri´et´e d’invariance rotationnelle sur deux versions du maillage de mesure d´ecal´ees d’un pas h. Lorsque la longueur d’onde 2π/kr des ondes `a identifier est tr`es grande devant h, les pˆoles du signal
ei h kr sont tr`es proches de 1 ; en cons´equence, l’incertitude relative sur k
r devient grande. Dans
ce cas, l’utilisation de la propri´et´e d’invariance rotationnelle formul´ee sur deux grilles d´ecal´ees d’un multiple de h peut am´eliorer l’estimation des nombres d’onde [212, 120, 83]. Fort de ce constat, la m´ethode ESPRIT est g´en´eralis´ee dans les impl´ementations MR-ESPRIT [216] et MI-ESPRIT [239], qui proposent d’utiliser simultan´ement plusieurs propri´et´es d’invariance rotationnelle d’une mˆeme grille. En pratique, plusieurs matrices spectrales Fq sont estim´ees `a partir de diff´erents couples W↑q/↓q = JL↑q/↓qW (IV.1.7) correspondant `a deux sous-grilles de
mesures translat´ees de q × h :
JL↑q = [IL−q O(L−q)×q]
JL↓q = [O(L−q)×q IL−q] (IV.1.11)
avec Fq = W†↑qW↓q = TΠqT−1 permettant d’identifier les nombres d’onde param´etrant le signal.
Les trois d´eveloppements qui suivent concernent l’estimation de la matrice de covariance des mesures. En effet, le cas o`u tr`es peu de r´ealisations (voir une seule r´ealisation) d’une mˆeme mesure sont disponibles est fr´equemment rencontr´e. Dans ce cas, la matrice de covariance (IV.1.4) est form´ee d’un nombre trop faible de vecteurs s(t) diff´erents ; son rang d´eg´en`ere. Il est alors n´ecessaire, par des techniques adapt´ees, de r´etablir ce rang afin d’estimer correctement les param`etres du signal.
Utilisation simultan´ee des donn´ees Si la disponibilit´e de diff´erentes r´ealisations d’une mesure identique n’est pas forc´ement garantie, il peut ˆetre possible d’utiliser la mesure d’une mˆeme r´eponse, mais observ´ee `a un point diff´erent. On donne ici l’exemple de la r´eponse libre d’une structure, qui peut ˆetre approxim´ee sous la forme suivante :
u(x, t) =
R
X
r
ar(x) ei ωrt (IV.1.12)
o`u les ωr et les ar(x) sont respectivement les R fr´equences et d´eform´ees modales de la structure
que l’on cherche `a extraire avec la m´ethode ESPRIT. En supposant que l’on dispose de N vecteurs u(x) contenant les mesures non bruit´ees de la r´eponse u(x, t) en N points distincts xn
et pour L instants t r´eguli`erement espac´es, on peut ´ecrire :
U = [u(x1) . . . u(xN)] = VL[a(x1) . . . a(xN)] (IV.1.13)
o`u U ∈CL×N est appel´ee matrice de signal. Il est alors possible de d´efinir un estimateur de la
covariance des mesures S = U + B de la forme :
Css= SHS = UHU + σ2IL= VL N
X
n a(xn)Ha(xn) HVL + σ2IL (IV.1.14)o`u on a suppos´e que le bruit additionnel est blanc gaussien uniforme, d’o`u HUB = 0. Cet
estimateur de la covariance suppose que les mesures de la r´eponse de la structure en diff´erents points sont des r´ealisations ind´ependantes ; il permet finalement, de par sa g´en´eration par la matrice de Vandermonde VL, d’appliquer la m´ethode ESPRIT. Ceci repr´esente une contribution importante pour les techniques d’analyse modale utilisant la m´ethode ESPRIT ; jusque l`a, les auteurs identifient les fr´equences et amplitudes modales de fa¸con ind´ependante en chaque point [70, 174], ce qui pose ensuite le probl`eme de l’appariement de ces fr´equence pour reconstruire les modes de la structure compl`ete. L’application de la m´ethode ESPRIT unifi´ee pour l’analyse modale est d´evelopp´ee au chapitreV.
Lissage spatial Il existe des situations exp´erimentales pour lesquelles une seule r´ealisation de la mesure sur un maillage est disponible. Il est aussi possible que les diff´erentes mesures de la r´eponse d’une structure en diff´erents points soient fortement corr´el´ees. Dans ce cas, le rang de l’estimateur de la covariance des mesures propos´e ci-dessus est faible ; le sous-espace signal
W (IV.1.4) est alors mal estim´e. Pour pallier `a ce ph´enom`ene est impl´ement´ee la technique dite de lissage spatial (ou spatial smoothing) [201]. Celle-ci propose de diviser le vecteur des mesures
s = [s1 . . . sL] obtenu en K sous-vecteurs s0m =
>
[sm . . . sm+K−1] de taille K = K − K + K. Ceux-
ci sont alors consid´er´es comme des r´ealisations diff´erentes de la mesure. A partir de ceux-ci est d´efini l’estimateur de la covariance des donn´ees suivant :
CSSss = M
X
m s0mHs0m = VKcA H VK+ σ2IK (IV.1.15)oucA est une matrice hermitienne de rang plein. En cons´equence, si K > R et K > R, l’estima-
teur CSSss est au pire de rang R. La m´ethode ESPRIT peut donc ˆetre appliqu´ee normalement avec l’utilisation du lissage spatial, mˆeme si une unique r´ealisation de la mesure est disponible.
D´ecimation Les dispositifs de mesure actuels permettent l’acquisition de signaux sur des grilles de mesure de grande taille ; en cons´equence, la taille des estimateurs de la covariance
Css peut rapidement devenir grande. L’op´eration de d´ecomposition de cet op´erateur en sous-
espaces peut alors repr´esenter un coˆut de calcul trop important. Il est donc parfois souhaitable de r´eduire la taille du signal disponible. De plus, on a d´ej`a abord´e, pour justifier l’utilisation d’invariances rotationnelles multiples, la question de l’identification d’ondes dont la longueur d’onde est grande devant le pas du maillage. Dans ce cas, il semble pr´ef´erable d’appliquer la m´ethode ESPRIT sur des maillages plus grossiers. Les strat´egies de d´ecimation des donn´ees classiques (filtrage passe-bas puis d´ecimation du maillage de mesure) pr´esentent deux principaux d´esavantages : (i) le filtrage introduit des artefacts aux bords du signal ; (ii) une partie des donn´ees n’est pas utilis´ee. Pour r´epondre `a cette probl´ematique, on ajoute `a la m´ethode ESPRIT propos´ee une strat´egie de d´ecimation qui permet de r´eduire la taille des op´erateurs mis en jeu, tout en conservant la totalit´e des donn´ees. Ce d´eveloppement est adapt´e de la proposition de Halder [83]. De plus, on montre dans un cas simple que cette strat´egie de d´ecimation ne d´egrade pas les performances de la m´ethode propos´ee.
Avec la mise en œuvre de la m´ethode ESPRIT se posent deux probl`emes fondamentaux : (i) le choix de l’ordre du signal R ; (ii) la quantification des l’incertitude sur les param`etres obtenus. La pr´esente contribution tente ´egalement de r´epondre `a ces deux questions.
Estimation de l’ordre du signal Dans les applications abord´ees dans ce travail, l’ordre exact R du signal est inconnu, mˆeme si des bornes sur ses valeurs maximales et minimales peuvent souvent ˆetre donn´ees (densit´e de modes, nombre d’ondes propagatives dans une poutre, etc.). Il est donc n´ecessaire d’estimer celui-ci a priori. Pour cela, une revue des diff´erents crit`eres propos´es dans la litt´erature est donn´ee.
Propagation des incertitudes La m´ethode de quantification des incertitudes propos´ee s’ins- pire fortement de r´esultats r´ecents sur la propagation de la variance des mesures dans l’esti- mateur ND-ESPRIT propos´es par Sahnoun et al. [191] ainsi que par Steinwandt et al. [208]. Ces r´esultats sont ici adapt´es `a la m´ethode ESPRIT unifi´ee propos´ee. Ils peuvent alors ˆetre utilis´es : (i) pour choisir les param`etres intrins`eques de l’algorithme (lissage spatial, facteur de d´ecimation, etc.) ; (ii) pour estimer l’´ecart-type des param`etres du mod`ele identifi´e.