Le mod`ele de poutre mince, formul´e `a partir de la cin´ematique d’Euler-Bernouilli, peut ˆetre obtenu de fa¸con ´equivalente `a ce qui a ´et´e fait dans le cas des plaques (voir section II.3).
Le mod`ele de poutre de Timshenko est repris, en consid´erant uniquement les poutres dont la distribution de propri´et´es m´ecaniques dans la section est sym´etrique par rapport `a la fibre neutre. Il est alors suppos´e que les sections de la poutre, en plus de rester planes au cours du mouvement, demeurent perpendiculaires `a la fibre neutre. Cela permet d’ajouter une liaison cin´ematique entre chaque degr´e de libert´e Φα et la fl`eche associ´ee Ψ3−α :
Φ1 = Ψ2,3 (II.5.1)
Φ2 = −Ψ1,3 (II.5.2)
On obtient alors un mod`ele tr`es simple, caract´eris´e par 4 ´equations du mouvement, portant sur les deux mouvements de flexion (selon e1 et e2), le mouvement de torsion et la traction- compression. Ces ´equations permettent finalement de d´eduire les lois de dispersion associ´ees au
mod`ele de poutre mince : kb,14 = ω2 M D22 = ω212 h2 1 ρ E3 (II.5.3) kb,24 = ω2 M D11 = ω212 h2 2 ρ E3 (II.5.4) kt2 = ω2 I3 K = ω 2ξ2 t h2 1G13+ h22G23 ρ(h2 1+ h22) (II.5.5) ka2 = ω2M A = ω 2 ρ E3 (II.5.6) (II.5.7) o`u kb,α, kt et ka d´enotent respectivement les nombres d’onde associ´es aux ondes de flexion,
torsion et traction-compression. Comme dans le cas du mod`ele de Timoshenko, le comportement en torsion doit ˆetre corrig´e. Le mod`ele d’Euler-Bernouilli est ´egalement utilis´e dans le cadre de la proposition de la m´ethode d’analyse en nombre d’onde, pour l’identification des modules d’Young et de cisaillement complexes E et G d’une poutre isotrope (voir chapitre VI). A cette occasion, les mod`eles de poutre ´epaisse et minces sont compar´es.
II.6
Conclusion
Ce chapitre a ´et´e consacr´e `a la d´erivation des ´equations de dispersion associ´ee aux mo- d`eles r´eduits classiques de structures ´elanc´ees : mod`ele de plaque ´epaisse (cin´ematique de Hencky-Mindlin) et de plaque mince (Kirchhoff), poutre ´epaisse (Timoshenko) et mince (Euler- Bernouilli). A chaque fois, les solutions particuli`eres des ´equations obtenues ont ´et´e explicit´ees. Sur la base de la comparaison des surfaces de dispersion obtenues avec leur ´equivalent donn´e par les solutions de r´ef´erence d´evelopp´ees au chapitre pr´ec´edent, le comportement de chaque mod`ele a pu ˆetre critiqu´e. La n´ecessaire correction du comportement obtenu par la d´erivation du mod`ele a ainsi pu ˆetre montr´ee, et certains choix possibles explicit´es.
Dans le cas du mod`ele de Hencky-Mindlin, on a pu montrer que la correction du comporte- ment en cisaillement hors-plan par un coefficient correcteur (ξt2 = π2/12) permet de d’obtenir un
mod`ele de plaque tr`es satisfaisant, en ce qui concerne la description du comportement en flexion et en membrane, et pour des fr´equences au pire de l’ordre de grandeur des premi`eres fr´equences de coupure des modes d’ordre sup´erieur. Dans le cas des plaques sandwiches caract´eris´ees par un fort contraste de raideur entre les peaux et l’ˆame, on a montr´e la n´ecessit´e d’utiliser une loi de m´elange particuli`ere pour le comportement en cisaillement transverse : celle-ci est formul´ee comme l’inverse de la somme des souplesses, et permet de corriger le comportement du mod`ele `
a la fois en raideur et en amortissement.
On s’est ensuite int´eress´e au cas des plaques minces stratifi´ees, dont le mod`ele correspondant peut ˆetre d´eriv´e du mod`ele de Hencky-Mindlin par ajout d’une liaison cin´ematique. Une fois les ´
equations de dispersion obtenues, la formulation polaire a ´et´e pr´esent´ee et appliqu´ee. Celle-ci permet de rendre explicite la d´ependance en angle du tenseur des raideurs en contraintes planes, qui entre dans l’expression de toutes les matrices du comportement g´en´eralis´e de plaque mince. Quelques r´esultats sur les diff´erentes solutions d’onde ont pu ˆetre d´eriv´es, faisant l’´etat d’un travail encore en cours.
Dans un troisi`eme temps, le mod`ele de poutre ´epaisse a ´et´e d´eriv´e. De nouveau, les lois de dispersion qui lui sont associ´ees ont ´et´e donn´ees. Les r´esultats obtenus ont ´et´e compar´es aux solutions de r´ef´erence correspondantes, permettant de montrer la n´ecessit´e de corriger le comportement du mod`ele en cisaillement hors-plan et en torsion. dans le cas des poutres homog`enes de section rectangulaire, le choix de ξ2
t = π2/12 en tant que coefficient correcteur en
cisaillement hors plan a ´et´e justifi´e. La correction du comportement en torsion n’a toutefois pas ´
et´e discut´ee ; celle-ci constitue une perspective de travail int´eressante, quoique d´ej`a trait´ee par de nombreux travaux acad´emiques. Enfin, les ´equations de dispersion donn´ees par le mod`ele de poutre mince ont ´et´e donn´ees.
Tous les mod`eles d´eriv´es dans ce chapitre sont utilis´es pour la formulation des proc´edures d’identification inverses propos´ees dans les chapitres qui suivent ; que ce soit pour la caract´e- risation par analyse modale propos´ee au chapitre V, l’analyse en nombre d’onde propos´ee au chapitre VI ou l’analyse en vecteur d’onde propos´ee au chapitreVII.
Un nouveau moyen de mesure
plein-champ
The Robotized Laser Doppler
Vibrometer : on the use of an
industrial robot arm to achieve 3D
full-field velocity measurements
R´esum´e
Le pr´esent chapitre d´ecrit rapidement un dispositif exp´erimental original qui a ´et´e d´e- velopp´e au cours de ce travail de th`ese. Le travail pr´esent´e ´etant destin´e `a ˆetre publi´e, le chapitre est en anglais.
On pr´esente donc un dispositif de vibrom´etrie robotis´e, appel´e en cons´equence Robotized Laser Doppler Vibrometer (RLDV). Un vibrom`etre laser fixe est assembl´e sur un bras robot 6 axes, permettant le positionnement pr´ecis du capteur. Ainsi, le champ de vitesse tridimensionnel instantan´e de structures de g´eom´etries diverses et soumises `a une excitation r´ep´etable peut ˆetre mesur´e.
Toutefois, l’utilisation d’un bras robot am`ene un certain degr´e de complexit´e, qu’il est n´ecessaire de prendre en compte. Une discussion est men´ee `a ce sujet. De mani`ere `a faci- liter la conception d’exp´erimentations utilisant le dispositif, une solution logicielle a ´et´e impl´ement´ee. Celle-ci est divis´ee en deux partie : la premi`ere, impl´ement´ee dans le logiciel de CAO Rhinoceros3D, est d´edi´ee `a la d´efinition d’un mod`ele virtuel du dispositif ex- p´erimental. Ce mod`ele permet la d´efinition du maillage de mesure, la pr´e-visualisation des mouvements du robot ainsi que l’´ecriture du code de commande permettant la mise en mouvement automatis´ee de celui-ci, rendue possible par le plug-in HAL. La seconde partie du logiciel, impl´ement´ee dans Matlab, est d´edi´ee `a l’acquisition, le traitement et la pr´evisualisation des mesures.
La pr´esentation se conclut par un cas d’application. La r´eponse transitoire libre d’une poutre courbe est mesur´ee. Les modes tridimensionnels de celle-ci sont extraits de la mesure grˆace `a la technique d’analyse modale propos´ee au chapitreV. Ces modes sont com- par´es `a des pr´edictions num´eriques. Un bon accord est obtenu entre les modes num´eriques et exp´erimentaux, permettant de juger de la pertinence des mesures obtenues.
III.1
Introduction
During the last few decades, full-field measurement techniques were developed. They allow the contactless measurement of the kinematic field of a structure submitted to a dynamic excitation. In comparison to single point measurement, a great number of measurement data can be acquired. An increasing number of identification methods use the data redundancy offered by these measurement techniques [10]. In dynamics, one can mention the Modal Analysis [70], the Force Analysis Technique [118], the Virtual Field Method [164] or the High-Resolution Wavevector Analysis [134,135].
A very popular tool to achieve dynamical measurements is the Laser Doppler Vibrometers (LDV). It allows a direct measurement of the velocity. Compared to high-speed cameras, it is an asset in high frequency, as the displacement amplitudes decreases with the frequency. As a consequence, measurements with a good signal-to-noise ratio can be achieved in a wide range of frequencies. By moving the laser beam thanks to galvo scanners, the Scanning Laser Doppler Vibrometer (SLDV) is now considered as a versatile tool to perform full-field measurement over a wide frequency range [186].
However, some identification methods need the measurement of the 3D kinematic field of the structure. As the LDV measures the instantaneous velocity in the direction of its laser beam, one has to perform the velocity measurement for a number of laser incidence angles in order to retrieve the three components of the displacement. As a consequence, either the scanning head has to be moved [133,107] or three LDVs have to be used simultaneously [142], thus leading to a high price of the overall setup. Moreover, these solutions requires a number of manual handling steps that limits the number of points that can be measured. In addition, uncertainties can arise from incorrect positioning of the laser head.
Recently, automated solutions were developed in order to overcome these limitations. Per- haps the most complete solution can be found in [153], where three SLDVs are assembled on the head of an industrial robot arm. However, this commercially available solution is offered at a very high price.
The aim of the present letter is to propose a setup which is able to perform 3D full-field velocity measurements at a reduced price. The idea is to assemble a single point LDV on an industrial robot arm. The weight to be held being reduced, the robot arm can be smaller hence the price kept affordable. The setup is consequently called the Robotized Laser Doppler Vibro- meter (RLDV). A software solution is described. The first part, integrated in the Rhinoceros CAD software1 by means of the Grashopper plug-in, is used to build the virtual experimental
setup. This virtual environment is then the basis to define the mesh of measurement points. The preview and control of the robot motion is implemented by the use of the HAL plug-in2. The second part of the proposed software solution is devoted to signal acquisition, processing and preview. It is implemented in Matlab.
The letter is organized as follows : first, a discussion is given about the advantages of performing LDV measurements with an industrial robot arm and difficulties that arise when using such a manipulator. Second, the proposed software solution is briefly described in order to give an overview of its operation. Third, an experimental application is presented to validate the setup. The 3D mode shapes and frequencies of a curved beam are measured and compared to predicted mode shapes.
1. www.rhino3d.com/en 2. www.hal-robotics.com