L’´etude de la propagation des ondes planes implique plusieurs hypoth`eses, qui permettent `
a la fin de consid´erer le champ de d´eplacement sous forme harmonique.
I.1.1.1 Eloignement des sources´
Tout d’abord, on se place suffisamment loin des singularit´es que repr´esentent les conditions aux limites et les chargements. Celles-ci sont les sources de l’information m´ecanique, dont le transport uniquement nous int´eresse ici. Cette hypoth`ese revient `a consid´erer le domaine Ω infini dans la direction de propagation des ondes.
Sous cette premi`ere hypoth`ese, le probl`eme de la dynamique se simplifie ; si l’on r´e´ecrit les ´
equations de la dynamique (voir annexeA.1, expression (A.1.14)) en annulant les chargements
f , T sur la fronti`ere compl`ete ∂Ω du domaine, les ´equations du mouvement deviennent, sur Ω :
cinématique : εij = 1 2(ui,j+ uj,i) comportement : σij = Cijklεkl équilibre : σij,j = ρ ¨ui (I.1.1)
I.1.1.2 R´egime harmonique stationnaire
Pour ´etudier la propagation des ondes dans les structures visco´elastiques, on utilise le prin- cipe de correspondance (voir annexe B.2, expression (B.2.5)). Les ´equations (I.1.1) sont alors exprim´ees dans l’espace de Fourier ; on remplace la d´ependance des champs en temps t par un d´ependance en fr´equence ω.
I.1.1.3 S´eparation des variables
Il est possible de chercher des solutions du probl`eme homog`ene obtenu apr`es passage des ´
equations (I.1.1) dans le domaine des fr´equences sous forme s´eparables. La s´eparation des va- riables d’espace se fait en deux groupes : (i) les dimensions y correspondent aux dimensions selon lesquelles les ondes peuvent se propager ; (ii) les dimensions z restantes d´ecrivent la section caract´eristique travers´ee par l’onde.
On ´ecrit le d´eplacement sous forme s´epar´ee :
u(z, y, ω) = Z(z, ω) ◦ Y(y, ω) (I.1.2)
`
I.1.1.4 Homog´en´eit´e des propri´et´es m´ecaniques
On peut exprimer les ´equation du mouvement (I.1.1) en fonction du champ de d´eplacement
u uniquement ; soit apr`es passage dans l’espace des fr´equences :
Cijkluk,lj+ Cijkl,juk,l+ ω2ρ ¨ui = 0 (I.1.3)
o`u on a utilis´e les propri´et´es de sym´etrie du tenseur C∼
∼ (annexe B.1, expression (B.1.1)). On
voit en cons´equence que la divergence du tenseur des raideurs C∼
∼ entre en compte ; celle-ci peut
s’´ecrire en utilisant la s´eparation des variables y et z : Cijkl,j = ∂Cijkl ∂xj = ∂Cijkl ∂zj + ∂Cijkl ∂yj (I.1.4) Une hypoth`ese qui permet d’´etudier les ondes planes concerne le dernier terme de l’´equation (I.1.4) : on consid`ere que la variation des propri´et´es m´ecaniques le long des directions y de propagation des ondes pr´esente des variations lentes compar´ees `a la longueur d’onde. On peut alors n´egliger le second terme de l’´equation (I.1.3).
Dans cette partie, on consid`ere mˆeme les propri´et´es m´ecaniques invariantes selon les direc- tions y. Ajout´e `a l’hypoth`ese d’´eloignement des sources, le probl`eme complet devient invariant par translation selon ces directions.
Remarque I.1.1 (´Echelle des h´et´erog´en´eit´es). En fait, on peut consid´erer une distribution des propri´et´es m´ecaniques C∼
∼(x) p´eriodique, de p´eriode arbitraire λC. Si on compare cette p´eriode `a
la longueur d’onde caract´eristiqueλ du mouvement du milieu, on peut distinguer trois r´e egimes :
— λC λ : les propri´e et´es m´ecaniques peuvent ˆetre consid´er´ees constantes dans les ´equations ;
leur variation n’influe pas sur le probl`eme.
— λC λ : les propri´e et´es m´ecaniques varient tr`es rapidement par rapport `a la longeur
d’onde ; l’´echelle des h´et´erog´en´eit´es est donc diff´erente de celle du mouvement ; on peut alors prendre la version homog´en´eis´ee des propri´et´es m´ecaniques pour r´esoudre le pro- bl`eme.
— λC = O(λ) : dans ce cas, la variation des propri´e et´es m´ecaniques doit ˆetre prise en compte ;
on sort alors du cadre de ce travail.
On peut faire le parall`ele avec le ph´enom`ene de diffraction : une variation de l’indice du milieu influe sur la propagation de l’information seulement si la longueur d’onde est de l’ordre de grandeur des h´et´erog´en´eit´es.
Dans ce travail, seules les deux premi`eres configurations sont rencontr´ees. Le premier cas
(λC λ) correspond aux structures homog`e enes selon la direction de propagation de l’onde. Le
second cas est rencontr´e dans les situations o`u le mat´eriau constitutif pr´esente des h´et´erog´en´eit´es petites devant la longueur d’onde ; par exemple dans le cas du complexe fibres/matrice dans les plaques composites, ou de la micro-structure du bois. Dans ces cas pr´ecis, on prendra la version homog´en´eis´ee des propri´et´es constitutives du mat´eriau.
I.1.1.5 Forme spatiale des champs
L’homog´en´eit´e des propri´et´es m´ecaniques que l’on a suppos´e donne des ´equations (I.1.3) diff´erentielles `a coefficients invariants selon y. Alors la partie Y peut ˆetre ´egalement cherch´ee sous une forme s´epar´ee dont les fonctions ´el´ementaires sont exponentielles, soit :
Finalement, on peut ´ecrire une solution ´el´ementaire du probl`eme de dynamique homog`ene associ´e sous la forme :
u(z, y, ω) = U(z, ω) e− i k(ω)·y (I.1.6)
o`u U= α ◦ Z est le d´eplacement g´en´eralis´e associ´e au vecteur d’onde k.
Cette forme permet d’obtenir les d´eriv´ees partielles du d´eplacement en fonction des variables
y facilement. Puisque les champs de contraintes et de d´eformation sont des combinaisons li-
n´eaires des diff´erentes d´erives partielles du d´eplacement, on peut g´en´eraliser la forme donn´ee ci-dessus `a toutes les composantes des champs tensoriels impliqu´es dans le probl`eme de dyna- mique.
Definition I.1.1 (Forme des champs). Soit ψ une fonction des variables d’espace et de la fr´equence impliqu´ee dans le probl`eme de propagation des ondes planes ; elle prend la forme suivante :
ψ(x, ω) = Ψ(z, ω) e− i k(ω)·y (I.1.7)
o`u Ψ est la fonction d’amplitude g´en´eralis´ee, dont aucune hypoth`ese sur la d´ependance en z ou
ω n’est faite a priori. On prend notamment la convention suivante :
— solide 3D : y = x et z = ∅
— plaques : y = [x1 x2] et z = x3 pour une plaque contenue dans le plan (x1, x2)
— poutres : y = x3 et z = [x1 x2] pour une poutre orient´ee selon x3
Dans cette construction, la pulsation ω devient en fait un param`etre. La recherche des solutions en onde plane revient alors `a trouver, pour ω fix´e, les solutions k qui annulent (I.1.1). A chacune de ces solutions est li´ee un d´eplacement g´en´eralis´e U particulier.
Si la dimension du vecteur d’onde k (et donc de y) est sup´erieure `a un (comme dans les solides 3D et les plaques), alors il existe, `a ω fix´e, une infinit´e de solutions au probl`eme de propagation. En effet, la direction de l’onde devient ´egalement un param`etre, qui est continu. Lorsque la direction est fix´ee, on verra qu’il existe ´egalement un infinit´e de solutions. Toutefois, seulement un nombre fini d’entre elles sont caract´eris´ees par des vecteurs d’onde k r´eels et peuvent en cons´equence donner lieu `a un transport d’information m´ecanique.