II.3 Cin´ ematique de Kirchhoff
II.3.1 D´ efinition du mod` ele
Comme la formulation du mod`ele de plaque mince est classique et similaire `a celle du mod`ele de plaque ´epaisse, les paragraphes qui suivent d´ecrivent tr`es succinctement les diff´erentes hypoth`eses suppl´ementaires qui permettent cette formulation ainsi que les ´equations d’´equilibre
finalement obtenues. La d´emarche de formulation du mod`ele de plaque mince est d´ecrite plus en d´etail en annexe C, section II.3.
II.3.1.1 Hypoth`eses suppl´ementaires
Le mod`ele de Kirchhoff peut ˆetre d´eduit du mod`ele de plaque ´epaisse par la formulation de deux hypoth`eses suppl´ementaires.
Ajout d’une liaison cin´ematique Lorsque la longueur d’onde est tr`es grande devant l’´epais- seur de la plaque on a pu montrer dans diff´erents cas tout au long de cette premi`ere partie (solutions de Lamb (I.2.33), plaques ´epaisses orthotropes (II.2.30)) que le nombre d’onde des ondes de flexion est proportionnel `a la racine carr´ee de la fr´equence. Si on injecte en l’occur- rence une pulsation de la forme ω2 = k4 dans l’´equation caract´eristique (II.2.14) r´egissant la
propagation des ondes planes dans le mod`ele de Hencky-Mindlin et que l’on ne conserve que les termes du premier ordre en k, on obtient :
FαβΦeβ− i FαβkβUe3 = 0 (II.3.1)
Cette relation ´etant v´erifi´ee pour tout tenseur sym´etrique d´efinit positif F, on peut ´ecrire :
e
Φ − iUe3k = 0 (II.3.2)
De nouveau, cette expression est valable quelque soit le vecteur d’onde k ; on peut donc, en rappelant la forme de la fonction U(ω, y) (II.2.11), ´ecrire :
Φ(ω, y) = −gradU3(ω, y)
(II.3.3) Cette ´equation, portant sur les d´eplacements g´en´eralis´es du mod`ele de plaque ´epaisse, est en fait l’hypoth`ese de base du mod`ele de Kirchhoff ; elle constitue l’ajout d’une liaison cin´ematique dans le mod`ele de plaque ´epaisse.
La proposition du mod`ele de plaque mince [128], ant´erieure `a la proposition de Hencky- Mindlin, part de l’hypoth`ese qu’une section de plaque reste droite et perpendiculaire `a la fibre neutre lors du mouvement ; cette hypoth`ese m`ene ´egalement `a la liaison cin´ematique entre la rotation de section Φ et la fl`eche U3.
La relation (II.3.3) peut ´egalement correspondre, dans le mod`ele de plaque ´epaisse, au souhait de n´egliger le travail Uα3 des composantes de la d´eformation associ´ees au cisaillement
hors-plan, ce qui revient `a poser γ→ 0 ou Fαβ → ∞.
la liaison cin´ematique ainsi d´efinie permet d’exprimer le champ cin´ematique correspondant au mod`ele de Kirchhoff :
uα = Ψα− z U3,α (II.3.4)
u3 = U3 (II.3.5)
Inerties de rotation n´eglig´ees Une hypoth`ese suppl´ementaire du mod`ele de plaque mince, tr`es largement utilis´ee, consiste `a n´egliger les termes d’inertie associ´es `a la rotation de la section. En cons´equence, les inerties g´en´eralis´ees J et I n’entrent plus en compte dans le travail des ef- forts d’acc´el´eration (voir annexeC, matrice des inerties g´en´eralis´ees Γ, expression (C.2.39)). On ´
ecrit alors. Seules les translations de section sont donc prises en compte par l’inertie g´en´eralis´ee
II.3.1.2 Comportement
De fa¸con ´equivalente au mod`ele de plaque ´epaisse, la cin´ematique postul´ee (II.3.5) ne permet pas de d´ecrire convenablement l’effet Poisson ; en cons´equence, les comportement en contraintes planes est utilis´e. Finalement, la loi constitutive g´en´eralis´ee du mod`ele de plaque mince prend la forme : " N M # = " A B B D # " ω κ # (II.3.6) o`u N et M d´enotent respectivement les tenseurs des efforts membranaires et des moments de flexion en notation de Voigt et ω et κ sont les d´eformations g´en´eralis´ees associ´es. Les trois tenseurs d’ordre 4 A∼
∼, D∼∼ et B∼∼ (ici en notation de Voigt) d´ecrivent respectivement les raideurs
g´en´eralis´ees en membrane, flexion et de couplage, de fa¸con identique au mod`ele de plaque ´epaisse (voir leurs expressions en annexe C, expressions (C.2.25), (C.2.26) et (C.2.27)).
II.3.1.3 Equations d’´´ equilibre
Le mod`ele de Kirchhoff est caract´eris´e par trois ´equations locales du mouvement (voir (C.3.17)) :
Nαβ,β+ pα = M ¨Ψα (II.3.7)
Mαβ,αβ = M ¨U3 (II.3.8)
Ces ´equations d’´equilibre, associ´ees `a la formulation forte des ´equations du mouvement des plaques minces, sont utilis´ees dans ce qui suit pour d´eriver les surfaces de dispersion du mod`ele.
II.3.2
Surfaces de dispersion
On reprend les hypoth`eses permettent d’´etudier la propagation des ondes planes dans les structures : (i) sources ´eloign´ees ; (ii) r´egime harmonique permanent ; (iii) s´eparation des va- riables d’espace ; (iv) homog´en´eit´e des propri´et´es m´ecaniques. Dans ce cas, les ´equations du mouvement peuvent ˆetre r´e´ecrites en fonction des degr´es de libert´e U du mod`ele seulement :
AαβγδUγ,δβ − BαβγδU3,γδβ+ ω2M Uα= 0 BαβγδUγ,δαβ− DαβγδU3,γδαβ + ω2M U3 = 0 (II.3.9)
Il faut donc r´esoudre ce syst`eme de trois ´equations aux d´eriv´ees partielles du quatri`eme ordre homog`enes. Pour cela, on injecte la forme du d´eplacement en onde plane :
U(ω, y) =fU(ω, k) e− i k·y (II.3.10)
celle-ci permet de r´e´ecrire le syst`eme d’´equations ci-dessus sous la forme :
kδkβAαβγδUeγ+ i kγkδkβBαβγδUe3− ω2MUeα = 0 kγkδkαkβDαβγδUe3− i kδkαkβBαβγδUeγ− ω2MUe3 = 0 (II.3.11)
Raideur sp´ecifique ´equivalente en flexion Lorsque la distribution des propri´et´es m´eca- niques dans la section de la plaque est sym´etrique, le tenseur B∼
∼ s’annule (voir son expression
en C.2.26). Dans ce cas, les trois ´equations obtenues ci-dessus peuvent ˆetre divis´ees en deux groupes : les deux premi`eres font intervenir le tenseur des raideurs de membrane A∼
∼ et les degr´es
de libert´e Uα associ´es au d´eplacement dans le plan de la plaque ; elles correspondent donc aux
ondes de membrane. La troisi`eme fait intervenir le tenseur des raideurs en flexion D∼
∼ et la fl`eche
de la plaque U3; elle est donc scalaire et associ´ee aux ondes de flexion.
La caract`ere scalaire de cette troisi`eme ´equation est int´eressant. En particulier, on peut poser le vecteur d’onde sous la forme k = k(θ)[cos(θ) sin(θ)]. On peut alors exprimer la raideur sp´ecifique en flexion ´equivalente d’une plaque B(θ) en fonction de la direction de propagatione
de l’onde θ : e B(θ) = ω 2 k(θ)4 = c4D 11+ s4D22+ 2c2s2(D12+ 2D66) + 4c3sD16+ 4cs3D26 M (II.3.12)
avec c = cos(θ), s = sin(θ) et D est exprim´e en notation de Voigt. Cette expression simple permet, sur la base de vecteurs d’onde k identifi´ees exp´erimentalement et de la connaissance de la densit´e de la plaque, d’identifier les 5 termes D11, D22, D12+ 2D66, D16 et D26. Cette
d´emarche est mise en œuvre au chapitreVII pour l’identification de la raideur sp´ecifique locale en flexion d’une plaque stratifi´ee mince `a partir des r´esultats de l’analyse en vecteur d’onde propos´ee.
Dans ce qui suit, on se propose de reformuler la r´esolution du probl`eme de propagation des ondes dans les plaques minces en utilisant la formulation polaire de l’´elasticit´e plane.