Mat´ eriau orthotrope

La troisi`eme application pr´esent´ee ici porte sur la propagation des ondes de flexion 1 , de cisaillement plan 2 et de compression 3 dans une plaque homog`ene conservative, cette fois compos´ee d’un mat´eriau orthotrope.

Pour les besoins de la pr´esentation, on choisit un mat´eriau dont les propri´et´es m´ecaniques s’approchent de celles d’un ´epic´ea, avec les fibres orient´ees selon e₁. Les axes d’orthotropie co¨ıncident donc avec le rep`ere cart´esien. Les constantes de l’ing´enieur utilis´ees pour construire la matrice de comportement (voir annexe B.1, ´equation (B.1.29)) sont donn´ees en table I.1. L’´epaisseur h de la plaque est choisie ´egale `a 10mm. Un maillage de 10 ´el´ements est utilis´e, en accord avec l’´etude sur la convergence des r´esultats men´ee pr´ec´edemment.

Avec l’introduction de l’anisotropie, le nombre de param`etres n´ecessaires pour d´ecrire le mat´eriau augmente. En cons´equence, il n’est plus possible de repr´esenter les r´esultats sous une forme adimensionn´ee, d´ependant d’un nombre r´eduit de param`etres, comme dans le cas du mat´eriau isotrope.

Premiers modes propagatifs En premier lieu, la vitesse de phase correspondant aux pre- miers modes propagatifs est repr´esent´ee sur la figure I.10. Les calculs sont men´es pour deux directions de propagation fix´ees, selon e₁ (en bleu) et e₂(en rouge). On a repr´esent´e les r´esultats pour des fr´equences allant de 2500 Hz `a 250 kHz. Les diff´erents labels ajout´es (de 1 `a 5 ) correspondent au num´ero du mode correspondant dans le cas isotrope (voir figures I.7 etI.8).

L’observation de la figure I.10 permet de remarquer que malgr´e la complexit´e amen´ee par l’anisotropie du mat´eriau, des similitudes existent avec le cas isotrope :

— en basse fr´equence, la vitesse de phase de la branche de flexion 1 est proportionnelle `a la racine carr´ee de la fr´equence (pente 1/2 en log/log), de fa¸con analogue au cas isotrope (´equation (I.2.33)). Avec l’augmentation de la fr´equence, la vitesse des ondes de flexion tend vers une valeur asymptotique, proche de la vitesse de cisaillement associ´ee (c13 =

2120m/s et c23 = 500m/s, voir ´equation (I.2.9)) ; on peut supposer que cette vitesse

asymptotique correspond `a la vitesse des ondes de Rayleigh en milieu anisotrope.

— le mode de cisaillement plan 2 est caract´eris´e par une vitesse de phase constante sur tout le domaine fr´equentiel, comme dans le cas isotrope. De plus, elle est ´egale dans les directions e₁ et e₂; ce mode ´etant dans ces directions la source de contraintes et d´eformations de cisaillement planes uniquement (ε12 et σ12), ce ph´enom`ene illustre la

sym´etrie mineure du tenseur de comportement C1212 = C2121.

— le mode de compression 3 , tout d’abord caract´eris´e par une vitesse asymptotique constante en basse fr´equence, poss`ede un domaine de transition (dans le cas ´etudi´e ici, entre 50 kHz et 150 kHz) qui voit sa vitesse diminuer pour tendre vers la vitesse des ondes de Rayleigh. — les modes d’ordre sup´erieur 4 et 5 deviennent propagatifs `a partir d’une fr´equence donn´ee. Cette fr´equence, en ad´equation avec les r´esultats analytiques (´equation (I.4.22)), correspond `a la situation pour laquelle l’´epaisseur de la plaque est ´egale `a la demie- longueur d’onde des ondes de cisaillement (i.e pour f = c23/(2h) = 25 kHz et f =

c13/(2h) = 106 kHz).

Malgr´e les similitudes avec le cas isotrope, l’anisotropie du mat´eriau am`ene une complexit´e suppl´ementaire, principalement contenue dans la d´ependance de la vitesse des ondes en fonction de la direction de propagation de celles-ci.

c23 2h c23 h c13 2h c12 c23 c13 1 3 4 5 1 3 4 5 2/2 104 ₁₀5 103 104 fr´equence (Hz) v it esse d e p h ase (m / s)

Figure I.10 – Plaque homog`ene conservative, mat´eriau orthotrope. Trac´e de la vitesse de phase des premiers modes propagatifs en fonction de la fr´equence, pour une direction de propagation fix´ee selon e<sub>1</sub> (bleu) et e<sub>2</sub> (rouge). Les num´eros de 1 `a 5 d´enotent les modes qui correspondent aux 5 premi`eres solutions propagatives dans le cas isotrope (voir figureI.7).

En particulier, les modes 4 et 5 ne deviennent pas propagatifs `a la mˆeme fr´equence, contrairement au cas isotrope (voir figureI.7) ; cela est du `a la diff´erence des vitesses de cisaille- ment hors-plan ´el´ementaires ci3, qui entrent dans la d´etermination des fr´equences de coupure

de ces modes (´equation (I.4.22)). Dans le cas ´etudi´e ici, le fort contraste entre les modules

G13 et G23 est bien visible sur la figure I.10 : contrairement au cas isotrope, le mode 5 n’est

pas le second mode d’ordre sup´erieur `a devenir propagatif. En effet, dans cette direction la fr´equence correspondant `a l’apparition du second mode de cisaillement hors-plan polaris´e selon

e₂ (pour f = c23/h, ligne bleue pointill´ee) est inf´erieure `a la fr´equence d’apparition du mode

5 (f = c13/(2h)).

Couplage des mouvements plans Dans le cas isotrope homog`ene, on a vu (voir figure

I.8, 2 et 3 .b) que les deuxi`eme et troisi`eme modes propagatifs correspondent en basse fr´e- quence respectivement `a une sollicitation de la plaque en cisaillement pur (composante ”12”) et en contrainte plane (composante ”11” dans le rep`ere li´e `a la direction de propagation des ondes). Avec l’introduction d’un comportement anisotrope monoclinique, les m´ecanismes r´egis- sant les contraintes et d´eformations planes peuvent pr´esenter certains couplages en fonction de

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 15/ 30/ 45/ 60/ 75/ 90/ A B 2 3 3 2

(a) Vitesse de phase (m/s) `a 1000 Hz en fonction de la direction de propagation. Les labels 2, 2,

3 et 3 correspondent respectivement aux mˆemes labels sur la figure I.10.

A `a 0◦ A `a 30◦ A `a 60◦ A `a 90◦ B `a 0◦ B `a 30◦ B `a 60◦ B `a 90◦ U E Σ U 1 2 3 4 5 6

(b) Profils des d´eplacements U, d´eformations E, contraintes Σ et densit´es d’´energie U correspondant aux solutions A et B de la figureI.11aet pour diff´erentes directions de propagation. Les couleurs

d´enotent les diff´erentes composantes (en notation de Voigt).

la direction de propagation des ondes.

La figure I.11 illustre ce ph´enom`ene. A la fr´equence de 1000 Hz, les trois premiers modes propagatifs de la plaque orthotrope ´etudi´ee sont calcul´es pour une collection d’angles de pro- pagation des ondes. Le premier mode, correspondant aux ondes de flexion, est ´ecart´e. Sur la figure I.11a on a trac´e la vitesse de phase des deux autres solutions (d´enot´ees A et B ), qui correspondent `a une polarisation du d´eplacement contenue dans le plan de la plaque. La plaque ´

etant orthotrope, on se contente de repr´esenter la vitesse des ondes pour des angles de propaga- tion allant de 0◦ `a 90◦. On a ´egalement report´e les labels (2, 3, 2 et 3) sur le diagramme, qui correspondent aux branches labellis´ees sur la figure I.10. La figureI.11b donne le profil des champs m´ecaniques associ´es aux solutions A et B pour diff´erentes directions de propagation des ondes.

Ces figures permettent d’illustrer l’influence de l’anisotropie du mat´eriau sur les modes de propagation. En particulier, on remarque que le mode A est caract´eris´e par une forte polarisation du d´eplacement selon e₂, quelque soit la direction de propagation φ des ondes. Lorsque celle-ci est orient´ee selon e₁ (φ = 0◦), cette polarisation sollicite la plaque en cisaillement pur (ε6 = 2ε12). Dans le cas o`u φ = 90◦, la polarisation de l’onde et la direction de propagation

de l’onde sont align´ees ; le mode est alors responsable d’une sollicitation du mat´eriau en traction- compression (ε1, ε2 et ε3). Concernant le mode B , le mˆeme type d’observation est possible :

ce mode est caract´eris´e par un d´eplacement fortement polaris´e selon e₁. pour φ = 0◦, cette direction de polarisation et la direction de propagation de l’onde sont align´ees ; la plaque est alors sollicit´ee en traction-compression. Lorsque φ = 90◦, ces deux directions sont orthogonales ; la plaque est alors sollicit´ee en cisaillement.

Lorsque la direction de polarisation du mode et la direction de propagation de l’onde ne sont ni align´ees ni orthogonales (φ 6= 0◦ et φ 6= 90◦), diff´erents couplages apparaissent sur les profils de d´eformation, de contrainte et de densit´e d’´energie li´es aux modes A et B . Ces modes ne sollicitent alors pas la plaque purement en cisaillement ou en traction-compression ; les sollicitations sont mixtes. De plus, on a vu que le mode A passe d’un r´egime de cisaillement (pour φ = 0◦) `a un r´egime de traction-compression (pour φ = 90◦) ; le mode B op`ere la transition inverse. En cons´equence, l’introduction du comportement anisotrope entraˆıne une d´ependance non seulement de la vitesse des ondes mais aussi de la nature des ondes en fonction de leur direction de propagation.

Dans le pr´esent travail, on se limite aux cas des plaques compos´ees de mat´eriaux monocli- niques (voir annexe B.1, expression (B.1.16)). Dans ce cas, une plaque homog`ene de pr´esente pas de couplage, en basse fr´equence, entre les ondes de flexion et les ondes polaris´ees dans le plan de la plaque. En cons´equence, on distingue deux comportements : le comportement en flexion et le comportement en membrane, ce dernier correspondant aux mouvements plans. Dans le cas isotrope, on a vu qu’on peut d´ecomposer le comportement en membrane selon deux sollicitations ´el´ementaires : le cisaillement plan (mode 2 ) et la compression (mode 3 ). Lorsque le comportement est anisotrope, ces deux sollicitations ´el´ementaires sont dans le cas g´en´eral pr´esentes simultan´ement ; en cons´equence, il devient difficile de d´eterminer la nature d’un mode.

Les deux modes caract´erisant le comportement en membrane de la plaque sont donc, dans la suite du travail, d´enot´es par les lettres A et B pour les diff´erencier du mode de flexion 1 ; ils prennent ´egalement l’appellation de modes de membrane. Par convention, on d´enote par la lettre A le mode associ´e de membrane dont la vitesse de phase asymptotique en basse fr´equence est la plus faible.

Surfaces de dispersion Afin d’´etudier l’effet de l’anisotropie sur les propri´et´es de dispersion des ondes dans une plaque, il est n´ecessaire d’effectuer le calcul des modes pour une collection repr´esentative d’angles de propagation et de fr´equences. Une fois le calcul effectu´e, il est alors possible de reconstruire des surfaces en trois dimensions ; en coordonn´ees cylindriques, elles sont param´etr´ees par la fr´equence (axe x3) et la direction de propagation des ondes (angle

polaire). La distance entre l’axe vertical et la surface est donn´ee par le nombre d’onde (surfaces de lenteur) ou la vitesse de phase (surface de vitesse).

Un exemple de ce type de repr´esentation est donn´e en figure I.12. Le calcul des modes propagatifs est effectu´e pour 20 fr´equences entre 500 Hz et 20 kHz et pour 100 directions de propagations uniform´ement r´eparties sur le domaine [0, 2π]. A partir de ces calculs sont recons- truites les surfaces de lenteur et de vitesse correspondant aux trois premiers modes propagatifs : le mode de flexion 1 en bleu et les deux modes de membrane A et B , respectivement en rouge et vert. Aux fr´equences consid´er´ees, les modes d’ordre sup´erieur ( 4 , 5 , etc.) ne sont pas encore propagatifs (voir figure I.10).

Les deux types de repr´esentation (surfaces de lenteur et de vitesse) ont leur int´erˆet ; on a pour cette raison choisi de les donner toutes deux ici. Les surfaces de lenteur sont donn´ees par le nombre d’onde k = |k|, r´esultat direct du calcul par la m´ethode SFEM. On verra que la m´ethode d’analyse en vecteurs d’onde propos´ee dans ce travail (voir chapitreVII) permet d’identifier une collection de vecteurs d’onde sur la r´eponse harmonique d’une structure. Sans post-traitement suppl´ementaire, il est alors possible de repr´esenter un nuage de points exp´erimentaux (k, ω) dans lequel on cherche `a reconnaˆıtre les surfaces de lenteur de la structure mesur´ee.

Les surfaces de vitesse (donn´ees par la vitesse de phase c = |c_φ|) permettent quant `a elles de distinguer facilement les modes par leur dispersion en fr´equence. Dans l’exemple donn´e ici, les surfaces de vitesse correspondant aux modes de membrane A (en rouge) et B (en vert) semblent invariantes par rapport `a la fr´equence (axe vertical) sur la figure I.12. En effet, on peut voir sur la figure I.10 que sur le domaine de fr´equence ´etudi´e ici (500 Hz `a 20 kHz), la vitesse de ces ondes ne d´epend que tr`es peu de la fr´equence. La seule dispersion de ces ondes est donc contenue dans la d´ependance de la vitesse en fonction de l’angle de propagation. Cette observation peut ˆetre utilis´ee dans un cadre exp´erimental pour d´eterminer la nature des ondes correspondant `a une collection de vecteurs d’onde identifi´es, lorsque la fonction de polarisation associ´ee est inconnue.

La surface de vitesse correspondant au mode de flexion 1 (en bleu sur la figureI.12) est donc la seule `a pr´esenter, dans le domaine de fr´equence ´etudi´e, une dispersion en fr´equence. En basse fr´equence, cette surface s’apparente `a un cˆone (en sens g´en´eral), puisque la vitesse de phase de ces ondes y est proportionnelle `a la racine carr´ee de la fr´equence. Plus la fr´equence augmente et plus les effets dispersifs diminuent ; la vitesse des ondes de flexion tend alors, comme on l’a vu, vers la vitesse de Rayleigh. En cons´equence, la surface de vitesse associ´ee s’apparente, pour les fr´equences les plus ´elev´ees du domaine ´etudi´e, `a un cylindre. Un nouvelle fois, ces observations qualitatives permettent, dans un cadre exp´erimental, d’identifier des vecteurs d’onde li´es aux ondes de flexion sans connaˆıtre la forme du mode associ´e.

Les surfaces repr´esent´ees sur la figureI.12peuvent ˆetre consid´er´ees comme la carte d’identit´e du comportement dynamique lin´eaire conservatif de la plaque, loin des singularit´es, et pour des fr´equences inf´erieures `a l’apparition des premiers modes d’ordre sup´erieur. Elles caract´erisent la fa¸con dont l’information m´ecanique est transport´ee `a travers la plaque.

Ces surfaces revˆetent un int´erˆet tout particulier pour les probl´ematiques qui motivent le pr´esent travail : (i) pour la construction d’un mod`ele r´eduit de plaque, on peut chercher `a d´ecrire de fa¸con optimale ces surfaces avec un nombre r´eduit de param`etres ; (ii) pour l’identification

(a) Surfaces de lenteur (k)

(b) Surfaces de vitesse (c_φ)

Figure I.12 – Surfaces caract´erisant la dispersion des ondes dans une plaque orthotrope, param´etr´ees par l’angle de propagation et la fr´equence (axe x3). Mode de flexion 1 (surfaces

bleues) et modes de membrane ( A en rouge et B en vert). Lignes iso-fr´equence en pointill´es (de bas en haut : 500 Hz, 5 kHz, 10 kHz, 15 kHz et 20 kHz).

exp´erimentale des propri´et´es du mat´eriau constitutif d’une plaque, on cherche `a minimiser la distance entre les surfaces de lenteur th´eoriques et exp´erimentales ; (iii) dans le cadre du remplacement du mat´eriau de la table d’harmonie par des composites, on cherche `a trouver une stratification dont les surfaces de lenteur sont identiques aux surfaces de lenteur de la table en bois.