Pb 5 : Remplissage et rotation d’un r´eservoir h´emisph´erique couvert par une

Ce dernier exemple num´erique consiste `a calculer l’´etat d’´equilibre d’une membrane en caoutchouc recouvrant une demi-sph`ere rigide de rayon r = 0.2 m partiellement remplie de liquide. Le principe de

2.6. EXEMPLES NUM´ERIQUES DE PROBL`EMES STATIQUES NON-LIN´EAIRES 0 5 10 15 20 -2 -1 0 1 2

Figure 2.29 – ´Evolution de la hauteur de fluide en fonction du d´eplacement vertical au point de coordonn´ees de r´ef´erence (0, 0, 0).

Figure 2.30 – Diff´erentes configurations courantes de la structure d´eform´ee par la fluide pour diff´e-rentes hauteurs h : (a) h = −0.1 mm et q = 0.2 mm ; (b) h = −1 mm et q = 2 mm ; (a) h = 1.9 mm et q = 10 mm ; (a) h = −1.5 mm et q = 1.8 mm.

• Phase 1 : calcul d’un ´etat pr´e-´etir´e de la membrane ayant un rayon initial R0; • Phase 2 : remplissage du r´eservoir pilot´e par une hauteur de fluide ;

• Phase 3 : rotation de la partie rigide du r´eservoir `a volume de fluide constant.

Aucun effet d’inertie n’est pris en compte ´etant donn´e que les transformations sont suppos´ees quasi-statiques. L’objectif de cet exemple est de mettre en œuvre plusieurs types de chargements

2.6. EXEMPLES NUM´ERIQUES DE PROBL`EMES STATIQUES NON-LIN´EAIRES

Figure 2.31 – (a) Phase 1 : Extension de la membrane ayant un rayon initial de R0 = 0.10 m jusqu’au rayon final r = 0.20 m ; (b) Phase 2 : Remplissage d’un r´eservoir couvert par la membrane pilot´e par une hauteur de fluide h entre h = 0 to h = 0.160 m ; (c) Phase 3 : Rotation de la partie rigide h´emi-sph´erique `a volume de fluide constant.

lid´es pr´ec´edemment sur un exemple original, c’est-`a-dire : (i) chargement pilot´e par hauteur de fluide

het (ii) chargement `a d´eplacement impos´e pour une volume de fluide fix´e.

Phase 1 : Calcul `a d´eplacement impos´e sans fluide

La phase 1 consiste `a calculer le d´eplacement ustr tel que x = X + ustr, en consid´erant un d´e-placement impos´e sur son bord. Le rayon et l’´epaisseur initiale de la structure de la membrane sont respectivement R0 = 0.10m et T = 0.4 mm. Les param`etres mat´eriaux du caoutchouc sont les mˆemes que ceux utilis´es au Pb 3. Le maillage de la membrane ´elastique est compos´e de mailles hexa´edriques `

a 20 nœuds. La partie rigide du r´eservoir est maill´ee par des ´el´ements quadratiques `a 8 nœuds pour les calculs utilisant la m´ethode de ligne de niveau (le volume de fluide V_f et l’aire de la surface libre

Af). Les param`etres du maillage sont donn´es en Fig. 2.32. Les maillages d´eform´es pour diff´erents ´etats de la simulation sont donn´es Fig. 2.33).

2.6. EXEMPLES NUM´ERIQUES DE PROBL`EMES STATIQUES NON-LIN´EAIRES

Figure 2.32 – (a) Maillage de la membrane et de la partie rigide h´emisph´erique ; (b) param`etres du maillage compos´e d’hexa`edres `a 20 avec n_θ le nombre d’´el´ements d’un quart de la circonf´erence, le nombre d’´el´ements dans l’´epaisseur n_t= 1et n_r le nombre d’´el´ements sur la ligne radiale, la valeur a est donn´ee pour la construction du maillage hexa´edrique tel que a = 0.3Ri; (c) Maillage surfacique de la partie rigide du r´eservoir, ce maillage est n´ecessaire pour le calcul du volume de fluide et l’aire de la surface libre.

Figure 2.33 – Visualisation de la configuration courante du probl`eme `a d´eplacement impos´e pour passer d’un rayon intial de la membrane R0 = 0.1m `a un rayon final r = 0.2 m. λ est un param`etre de chargement tel que λ = 0 (aucun chargement) and λ = 1 (fin du chargement). Le point A^′ correspond `a la position courante du point A tel que X_A= (0, −0.3R_i, 0)en configuration de r´ef´erence et XA+ u_str(X_A) en configuration de r´ef´erence.

Phase 2 : Remplissage pilot´e par hauteur de fluide

L’objectif de la phase 2 est d’´evaluer le d´eplacement u_fil de la structure partiellement remplie de liquide tel que x = X + ustr+ u_fil(h). Dans la suite, notre quantit´e d’int´erˆet (QI) est la norme du d´eplacement q =|| u_fil(X_A) || illustr´ee en Fig. 2.34 lorsque la structure est compl`etement remplie. Le tableau 5.4 r´ecapitule les donn´ees du maillage et les valeurs de q pour diff´erents param`etres de maillage

2.6. EXEMPLES NUM´ERIQUES DE PROBL`EMES STATIQUES NON-LIN´EAIRES

nθ et nr. Comme le montre la Figure 2.34, le maillage s´electionn´e a pour param`etres (nθ = 5, n<sub>r</sub> = 5) avec moins de 0.5 % d’erreur par rapport `a une solution ”overkill” q_ref.

(n_θ,n_r) (1, 1) (2, 2) (5, 5) (10, 10) (20, 20) (40, 40)

n_elem 5 20 125 500 1200 8000

n_dof 144 489 1188 4623 18243 169209

q (mm) 11.03 11.77 11.81 11.83 11.85 q_ref = 11.86

Table 2.10 – Nombre d’´el´ements n_elem, nombre de degr´es de libert´e n_dof et valeur de la quantit´e d’int´erˆet q(QI). 102 104 106 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1

Figure 2.34 – Convergence de la QI norm´ee par la QI de r´ef´erence en fonction du nombre de degr´es de libert´e q_ref; (a) ´Etape 1 :Extension de la membrane en caoutchouc ; (b) Membrane charg´ee par un champ de pression hydrostatique si le r´eservoir est compl`etement rempli.

Figure 2.35 – Champ de d´eplacement ufil de la membrane pour plusieurs jeux de param`etres de maillages (n_θ,nr) : (a) (1, 1) ; (b) (2, 2) ; (c) (5, 5) ; (d) (10, 10) ; (e) (20, 20) ; (f) (40, 40).

Le remplissage de la structure s’effectue entre une hauteur h = 0 mm jusqu’`a h = 180 mm avec un pas de hauteur de fluide fixe de dh = 20 mm. Les r´esultats sont donn´es sur diff´erents maillages d´eform´es Fig. 2.36, avec la ligne de contact non co¨ıncidente au maillage de la structure. L’´evolution de

2.6. EXEMPLES NUM´ERIQUES DE PROBL`EMES STATIQUES NON-LIN´EAIRES

Figure 2.36 – Norme du champ de d´eplacement ufil de la membrane entre 0 mm (en bleu) et 10.6 mm (en rouge) pour diff´erentes hauteurs de fluide :(a) h = 50 mm ; (b) h = 100 mm ; (c) h = 120 mm ; (d) h = 160 mm. 0 50 100 150 200 0 2 4 6 8 10 12

Figure 2.37 – ´Evolution de q en fonction de la hauteur de fluide ; (a) D´eplacement du point

A = (0, 0, −0.3Ri) au A^′ lors de l’extension de la membrane ; (b) D´eplacement du point A^′ lors du remplissage.

´evidence l’influence de Kf sur la convergence de l’algorithme de Newton-Raphson (voir Fig. 2.38).

Phase 3 : Rotation de la partie rigide

Cette derni`ere phase consiste `a imposer un d´eplacement de la partie rigide du r´eservoir. Ce d´e-placement correspond `a une rotation impos´ee autour de l’axe (O, ex). Le volume de fluide est fix´e au cours de la simulation. Le d´eplacement de la membrane est not´e u_rot tel que x = X + u_str+ u_rot(V_f). Nous avons affich´e en Fig. 2.39 : (i) le maillage d´eform´e en configuration courante et (ii) le maillage

2.6. EXEMPLES NUM´ERIQUES DE PROBL`EMES STATIQUES NON-LIN´EAIRES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10^-10 10^-8 10^-6 10^-4 10^-2 10⁰ 10² 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10^-10 10^-8 10^-6 10^-4 10^-2 10⁰ 10² 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10^-10 10^-8 10^-6 10^-4 10^-2 10⁰ 10² 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10^-10 10^-8 10^-6 10^-4 10^-2 10⁰ 10²

Figure 2.38 – Influence de la matrice tagente des forces suiveuses sur la convergence de l’algorithme de Newton-Raphson pour diff´erents ´etats d’´equilibre (i.e. h = 40 mm, h = 80 mm, h = 120 mm and 160mm) de la Phase 2.

d´eform´e sur une configuration fixe par rapport `a la partie rigide du r´eservoir. La rotation est impos´ee par un angle θ ∈ [0, 360] degr´es avec un pas fixe de dθ = 1.8 degr´es. Le volume initial du fluide

V_f = 1.0 × 10⁻³ m3 est choisi comme ´etant le volume du r´eservoir de la phase 2 pour une hauteur de fluide de h = 0.1 m.

2.6. EXEMPLES NUM´ERIQUES DE PROBL`EMES STATIQUES NON-LIN´EAIRES

Figure 2.39 – Norme du champ de d´eplacement pour diff´erentes configurations de r´ef´erence || u_rot|| associ´es aux rotations de la partie rigide d’angle θ autour de l’axe (O, ex) pour un volume de fluide fix´e V_f= 1.0e⁻³ m3 (en bleu || urot||= 0 et en rouge || urot||= 4.55 mm).

de l’angle. Nous observons qu’entre θ = 230 et θ = 270 degr´es, la membrane n’est pas sollicit´ee par la pression du fluide. 0 100 200 300 60 70 80 90 100 110 120 130 140 0 100 200 300 0 1 2 3 4 5

Figure 2.40 – ´Evolution de la hauteur de fluide et de q en fonction de l’angle θ entre θ = 0 degr´es et

θ = 360degr´es.

2.6. EXEMPLES NUM´ERIQUES DE PROBL`EMES STATIQUES NON-LIN´EAIRES

Enfin, nous avons trac´e en Figure 2.41 l’´evolution du r´esidu d’´equilibre au cours des it´eration de Newton-Raphson pour quatre angles donn´ees. Une l´eg`ere d´ecroissance du taux de convergence peut ˆetre observ´ee, n´eanmoins le nombre d’it´erations n´ecessaire pour converger reste satisfaisant (entre 3 et 4 it´erations de Newton-Raphson). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10^-10 10^-8 10^-6 10^-4 10^-2 10⁰ 10² 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10^-10 10^-8 10^-6 10^-4 10^-2 10⁰ 10² 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10^-10 10^-8 10^-6 10^-4 10^-2 10⁰ 10² 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10^-10 10^-8 10^-6 10^-4 10^-2 10⁰ 10²

Figure 2.41 – Influence de la matrice tagente des forces suiveuses sur la convergence de l’algorithme de Newton-Raphson pour diff´erents ´etats d’´equilibre (a) θ = 45 degr´es ; (b) θ = 90 degrees ; (c) θ = 135 degr´es ; (d) θ = 180 degr´es.