Figure 3.4 – Discr´etisation EF de la structure. Configuration de r´ef´erence et configuration courante d’un ´el´ement de surface iso-param´etrique.
3.4 Discr´etisation EF du probl`eme en espace
Cette Section a deux objectifs : (i) exprimer le probl`eme non-lin´eaire discr´etis´e δG associ´e `a l’Eq. (3.34) et (ii) exprimer le probl`eme lin´eaire tangent utilis´e dans un algorithme de r´esolution non-lin´eaire de type Newton-Raphson. Nous rappelons que δG est la somme de deux termes δGint et
δGext. Afin de faciliter nos d´eveloppements, nous exprimerons d’abord la forme discr`ete de δGint, puis celle de δGext.
3.4.1 Forme discr`ete de δGint
La discr´etisation EF associ´ee `a la fonction Λ est not´ee Λh = Φret sa forme virtuelle δΛh = Φδr avec r le vecteur d’inconnues nodales et δr sa forme virtuelle. La forme discr´etis´ee de δGh
int permet d’´ecrire le vecteur Gint, qui d´epend du vecteur inconnu r, tel que :
δGhint = δrTGint(r) (3.36)
Le vecteur Gint est la somme de nombreux termes, d´ependant des k couples de modes connues. 118
3.4. DISCR´ETISATION EF DU PROBL`EME EN ESPACE
Son expression est donn´ee ci-dessous :
Gint = α1G1+ α2G2+ α3G3+ α4G4 +
k ∑︂
i=1
α5iG5i+ α6iG6i+ α7iG7i+ α8iG8i+ α9iG9i+ α10iG10i
+ k ∑︂ i=1 k ∑︂ j=1
α5ijG5ij+ α7ijG7ij+ α11ijG11ij+ α12ijG12ij
+ k ∑︂ i=1 k ∑︂ j=1 k ∑︂ l=1 α11ijlG11ijl (3.37)
Les coefficients associ´es `a la lettre grecque α d´ependent des fonctions λ et λi et sont r´ecapitul´es dans le tableau Tab. D.1 de l’Annexe D.2.1. L’expression des vecteurs sont tous explicit´es en Annexe D.2.2. La construction de tous ces vecteurs fait intervenir des op´erateurs discr´etis´es analogues `a ceux utilis´es pour construire le vecteur des efforts int´erieurs.
Un probl`eme num´erique majeur apparaˆıt lors de la construction de Gint. Les doubles sommes et triples sommes de l’Eq. (3.36) conduisent `a la construction d’un tr`es grand nombre de termes, si le nombre de modes n est grand (n > 10). Le temps de calcul et la m´emoire n´ecessaire `a la construction des op´erateurs peuvent ˆetre impact´ee. Nous verrons que pour les exemples num´eriques, le nombre de modes n´ecessaires `a la reconstruction d’une solution satisfaisante reste inf´erieur `a 10. Si le nombre de modes s’av`ere devoir ˆetre sup´erieur `a 10, peut-ˆetre qu’une m´ethode d’orthogonalisation des modes en espaces serait une piste judicieuse pour minimiser le nombre de termes `a calculer.
3.4.2 Forme discr´etis´ee de δGext
De fa¸con analogue `a la sous-section pr´ec´edente, la forme discr´etis´ee de l’Eq. (3.28) s’´ecrit sous forme de produits de vecteurs, tel que :
δGhext = δrTGext(r) (3.38) avec Gext exprim´e sous forme d’une somme :
Gext= β1Ge1+ β2Ge2+ β3Ge3+ k ∑︂
i=1
3.4. DISCR´ETISATION EF DU PROBL`EME EN ESPACE
Les coefficients associ´es `a la lettre grecque β, qui d´ependent des fonctions λ et λi connus, sont expli-cit´es dans le tableau D.2 de l’ Annexe D.2.3. Les vecteurs sont d´etaill´es en Annexe D.2.4. Notons que la construction de ces vecteurs est analogue `a la construction du vecteur des efforts ext´erieurs avec forces suiveuses.
Dans le cadre de ce Chapitre, nous supposons que le champ de pression est uniforme. Si nous avions utilis´e un champ de pression hydrostatique d´ependant de la configuration courante, de nombreux termes additionnels seraient `a prendre en compte dans l’´equation (3.39). L’expression d’un tel champ serait `a pr´evoir en perspective de ces travaux de recherches.
3.4.3 Equation non-lin´´ eaire discr´etis´ee du probl`eme spatial
Le sous-probl`eme spatial discr´etis´e est un probl`eme non-lin´eaire vectoriel de la forme suivante : G(r) = Gint(r) − Gext(r) = 0 (3.40) Il est analogue au probl`eme non-lin´eaire pr´esent´e au chapitre 2 dans la mesure o`u Gint et Gext sont assez proches des vecteurs des efforts int´erieurs et ext´erieurs Fint et Fext. La Fig. 3.5 r´ecapitule sous forme de sch´ema les op´erateurs discr´etis´es associ´es aux formes continues du probl`eme spatial. Malgr´e l’analogie, les difficult´es des expressions reposent d’une part sur le nombre de termes `a construire et d’autre part sur l’expression des coefficients (voir Tabs. D.1 et D.2 d´etaill´es en Annexe D).
Figure 3.5 – Forme continue et forme discr´etis´ee par MEF associ´e `a l’´equation non-lin´eaire en espace. A cette ´etape, les λ sont connus, donc les coefficients qui d´ependent de λ peuvent ˆetre calcul´es avant la r´esolution du probl`eme.
Afin de r´esoudre cette ´equation non-lin´eaire, la sous-section 3.4.4 est consacr´ee `a la lin´earisation 120
3.4. DISCR´ETISATION EF DU PROBL`EME EN ESPACE
de G. Nous d´etaillons en particulier l’expression des matrices tangentes qui seront utilis´ees dans un algorithme de Newton-Raphson.
3.4.4 Lin´earisation de δG fonction de Λ sachant λ
Rappelons que le probl`eme `a r´esoudre est de la forme suivante : δG = δGint−δGext. Afin d’exprimer les matrices tangentes, un travail pr´eliminaire consiste `a lin´eariser la forme continue de δGinttelle que :
∆δGint(Λ, λ) = ∫︂ I ∫︂ Ω ∆δEΛ : D : E dV dp ⏞ ⏟⏟ ⏞ ∆δGg(δΛ, ∆Λ) + ∫︂ I ∫︂ Ω δEΛ: D : ∆E dV dp ⏞ ⏟⏟ ⏞ ∆δGm(δΛ, ∆Λ) (3.41)
o`u ∆E et ∆δEΛ sont respectivement la lin´earisation du tenseur de Green-Lagrange et de sa forme virtuelle par rapport `a Λ. Leurs expressions sont donn´ees ci-dessous :
∆δEΛ= λ2(γ(δΛ, ∆Λ) + γ(∆Λ, δΛ)) (3.42)
∆E = λ[ε(∆Λ) + γ(u, ∆Λ) + γ(∆Λ, u)] + λ2[γ(∆Λ, Λ) + γ(Λ, ∆Λ)] (3.43)
Ensuite, ´etant donn´e que la variable p ne d´epend pas de Λ, la lin´earisation de δGext est donn´ee ci-dessous : ∆δGext(Λ, λ) = − ∫︂ I ∫︂ ∂tω δΛλ · p ∆n ds dp ⏞ ⏟⏟ ⏞ ∆δGf(δΛ, ∆Λ) (3.44)
avec ∆n, la variation de la normale. A l’aide d’un changement de variable et de l’hypoth`ese de la PGD, la variation de normale s’´ecrire de fa¸con suivante :
∫︂ ∂tω ∆nds = ∫︂ ∂tΩ λ∆Λ,ξ× (X,η+ u,η+ λΛ,η) dξdη + ∫︂ ∂tΩ (X,ξ+ u,ξ+ λΛ,ξ) × λ ∆Λ,ηdξdη (3.45) Les discr´etisations par la MEF des Eqs.(3.41) et (3.44) font apparaˆıtre les expressions des matrices tangentes, pour r´esoudre le sous-probl`eme non-lin´eaire discr´etis´e G(r) = 0.
3.4.5 Contributions analogues aux matrices de raideurs mat´eriaux, g´eom´etriques et de forces suiveuses
3.4. DISCR´ETISATION EF DU PROBL`EME EN ESPACE
avec la matrice Kmd´etaill´ee en Annexe D.3.1. La mˆeme d´emarche permet d’´ecrire la forme discr´etis´ee de ∆δGgeo tel que :
∆δGhg = δrTKg∆r (3.47)
avec le d´etail de la matrice Kg donn´ee en Annexe D.3.2. Ces deux matrices d´ependent de deux coeffi-cients associ´es aux lettres grecques α d´etaill´es en Tab. D.1. Leurs expressions d´ependent d’op´erateurs utilis´es pour construire les matrices tangentes g´eom´etrique et mat´eriau.
Enfin, la forme discr´etis´ee ∆δGh
f s’´ecrit de la forme suivante :
∆δGhf = δrTKf∆r (3.48)
dont l’expression de Kf est d´etaill´ee en Annexe D.3.3.
3.4.6 R´esolution du probl`eme lin´eaire tangent en espace
Le probl`eme lin´eaire tangent, utilis´e dans un algorithme de Newton-Raphson pour r´esoudre le sous-probl`eme non-lin´eaire en espace, s’´ecrit de fa¸con suivante :
(Km+ Kg− Kf)∆r = −G(r) (3.49)
Les matrices tangentes sont associ´ees aux formes lin´earis´ees de ∆G rappel´ees en Fig. 3.6.
Figure 3.6 – Formes continues et formes discr`etes du probl`eme spatial lin´earis´e. Les matrices tangentes sont analogues aux matrices du probl`eme non-lin´eaire avec forces suiveuses.
L’utilisation des matrices tangentes garantit une convergence quadratique de la solution du pro-bl`eme spatial Λ. Cette solution calcul´ee est ensuite utilis´ee pour r´esoudre le propro-bl`eme en param`etre de pression Eq. (3.33), abord´e dans la Section 3.5.