5.2 Configurations du fluide et de la structure
5.2.1 Notations et d´efinitions des configurations de la structure
Nous distinguons trois configurations de la structure au cours de notre mod´elisation : (i) la configu-ration de r´ef´erence, (ii) la configuconfigu-ration courante statique non-lin´eaire et (iii) la configuconfigu-ration courante dynamique lin´earis´ee autour de l’´etat pr´econtraint.
Configuration de r´ef´erence : La configuration de r´ef´erence est d´efinie par une structure occu-pant un domaine Ωsde R3quand celle-ci est libre de chargement externe (cette configuration est connue sans calcul pr´ealable). Ce domaine est born´e par une surface ∂Ωs = ∂uΩs ∪ ∂tΩs avec ∂uΩs la sur-face avec d´eplacements impos´es et ∂tΩla surface avec chargements ext´erieurs impos´es. Cette derni`ere surface correspond en pratique `a l’image de la surface charg´ee et d´eform´ee issue de la configuration courante statique non-lin´eaire. Une attention particuli`ere est port´ee sur le type de chargement ext´e-rieur. Nous appelons Σ0 la surface mouill´ee ramen´ee `a la configuration de r´ef´erence telle que Σ0∈ ∂tΩs. Le reste de la surface ∂tΩs\ Σ0 correspond `a l’union de surfaces (i) libres d’efforts, (ii) soumise par une charge morte surfacique ou (iii) une charge suiveuse uniforme ext´erieure (issue d’une pressurisation par exemple). Un point de ce domaine est d´efini par un vecteur position X = X ex+ Y ey+ Z ez.
Configuration courante statique non-lin´eaire :A l’´equilibre non-lin´eaire, la structure occupe un domaine ωs de R3. Au mˆeme titre que la surface de r´ef´erence, ωs est born´e par ∂ωs= ∂uωs∪ ∂tωs. La surface mouill´ee (ou interface fluide-structure) sera not´ee Σ en configuration courante. Un point de ce domaine est d´efini par le vecteur position courant `a l’´equilibre statique x = X + u, avec x = xex+ yey+ zez et u = uex+ vey+ wez le vecteur d´eplacement statique non-lin´eaire. Le champ de d´eplacement statique non-lin´eaire u est connu, mais il n´ecessite un ou plusieurs calculs statiques non-lin´eaires associ´es aux d´eveloppements des Chapitres 2 et 3.
Configuration courante dynamique lin´earis´ee autour de l’´etat pr´econtraint :Nous appe-lons xd la position de la structure lorsque celle-ci est soumise `a une sollicitation harmonique f de faible amplitude, autour de son ´etat pr´econtraint. La fluctuation de d´eplacement d´efinie par ud = xd − x ´etant suppos´ee tr`es faible, nous confondons la configuration courante statique non-lin´eaire ωd `a la
5.2. CONFIGURATIONS DU FLUIDE ET DE LA STRUCTURE
configuration dynamique lin´earis´ee autour de l’´etat pr´econtraint ωt. Une repr´esentation graphique de ces trois configurations est propos´ee en Fig. 5.2.
ss ss ex ey ez X X u x x ud xd (a) (b) (c) Ωs ωs ωd ≃ ωs
Figure 5.2 – Repr´esentation graphique des configurations et des variables associ´ees aux configurations de la structure (voire Tab. 5.1) : (a) Configuration de r´ef´erence ; (b) Configuration courante statique non-lin´eaire ; (c) Configuration courante dynamique lin´earis´ee autour de l’´etat pr´econtraint.
Table 5.1 – Notations associ´ees `a la structure et ses configurations Notations D´efinitions
Ωs Domaine occup´e par la struct. en configuration de r´ef´erence
ωs Domaine occup´e par la struct. en configuration courante statique non-lin´eaire
ωd Domaine occup´e par la struct. en configuration courante dynamique lin´earis´ee Σ Interface fluide-structure en configuration courante statique
X Vecteur position en conf. de r´ef´erence
x Vecteur position en conf. statique non-lin´eaire xd Vecteur position en conf. dynamique lin´earis´e u Solution du probl`eme statique non-lin´eaire ud Fluctuations de d´eplacement u = xd− x ut D´eplacement total ut = u + ud
Notations des domaines et champs vectoriels
Ce qu’il faut retenir : La fluctuation de d´eplacement de la structure u est l’inconnue du pro-bl`eme cˆot´e structure. La configuration courante dynamique lin´earis´ee autour de l’´etat pr´econtraint est confondue `a la configuration courante de l’´etat statique non-lin´eaire Ωs.
5.2. CONFIGURATIONS DU FLUIDE ET DE LA STRUCTURE
5.2.2 Notations et d´efinitions des configurations du fluide
Autour d’un ´etat d’´equilibre non-lin´eaire de la structure, nous consid´erons deux configurations distinctes associ´ees au fluide interne : (i) une configuration du fluide `a l’´equilibre statique et (ii) une configuration dynamique lin´earis´ee autour de l’´equilibre.
Configuration statique du fluide : A chaque ´etat non-lin´eaire g´eom´etrique de la structure, le fluide occupe un domaine ωfde R3. Ce domaine est born´e par une surface ∂ωf= Σ ∪ Γ, avec Σ l’inter-face fluide-structure associ´ee au fluide en configuration courante et Γ la surl’inter-face libre. Nous rappelons que cette derni`ere est suppos´ee horizontale `a l’´equilibre car (i) la tension superficielle est n´eglig´ee et (ii) le champ de gravit´e est suppos´e constant en intensit´e et en direction au voisinage de Γ. Cette configuration est suppos´ee connue et d´epend du calcul non-lin´eaire comme l’illustre l’exemple en Fig. 5.3. Dans cet exemple, une structure est charg´ee par une pression hydrostatique ph d´ependante de la hauteur de fluide h et de la position courante dans le fluide. Notons que le type de chargement ext´erieur induisant l’´etat d’´equilibre de la structure peut ˆetre de nature vari´ee (i.e. pressurisation d’un r´eservoir ou un d´eplacement impos´e de la structure).
ss ss ss ss ωf ωf Ωs (a) (b) h ωs Forces suiveuses ph Γ Γ Γ ωf Σ Σ Σ
Figure 5.3 – (a) ´Etat d’´equilibre statique non-lin´eaire d’une structure soumise `a des forces suiveuses issues d’une pression hydrostatique ps param´etr´ee par une hauteur de fluide h (ωs et Ωs sont respec-tivements les configurations courante et de r´ef´erence de la structure) ; (b) Diff´erentes configurations statiques du fluide `a l’´equilibre occupant le domaine ωf born´e par la surface libre Γ et l’interface fluide-structure Σ.
Remarques sur le maillage volumique du fluide : Contrairement au calcul non-lin´eaire g´eo-m´etrique, il est n´ecessaire de g´en´erer un maillage volumique du fluide pour le calcul des vibrations hydro´elastiques lin´earis´ees autour de l’´etat pr´econtraint. D’un point de vue de la mise en donn´ee num´erique, nous supposons ˆetre en mesure de g´en´erer des maillages volumiques fluides et structures
5.2. CONFIGURATIONS DU FLUIDE ET DE LA STRUCTURE
compatibles pour chaque configuration courante statique non-lin´eaire. En effet, il s’agit d’un point dur (surtout avec l’utilisation d’´el´ements hexa´edriques volumiques) qui sera d´evelopp´e plus tard.
Configuration dynamique lin´earis´ee du fluide : Lors d’une sollicitation harmonique de tr`es faible amplitude, le d´eplacement du fluide uf occuperait une nouvelle configuration. Cependant, cette configuration est suppos´ee confondue `a la configuration statique car (i) les d´eplacements fluides ufsont suppos´es tr`es faibles et (ii) la fluctuation de pression de la surface libre est consid´er´ee nulle dans la plage de fr´equence d’int´erˆet de l’´etude (f > 10 Hz). La fluctuation de d´eplacement fluide uf est reli´ee `
a la fluctuation de pression p au sein du fluide comme l’illustre la Fig 5.4. La pression totale au sein du fluide est donc la somme d’une pression hydrostatique et d’une fluctuation de pression pt= ph+ p.
ps ss ωf ss p = 0 sur Γ Fluctuation de pression p f (a) (b) Γ Σ
Figure 5.4 – (a) ´Etat d’´equlibre statique ; (b) Fluctuations de pressions p au sein du fluide lors d’une sollicitation harmonique fs de faible amplitude.
Table 5.2 – Notations et d´efinitions des configurations du fluide Notations D´efinitions
ωf Domaine fluide Γ Surface libre
Σ Interface fluide-structure
∂uωf Fluctuations de d´eplacement du fluide
ph Pression hydrostatique au sein du fluide `a l’´equilibre statique
p Fluctuations de pression au sein du fluide autour de l’´equilibre
Remarques sur la pression de la surface libre : Fixer la condition p = 0 sur Γ n’implique en aucun cas que le d´eplacement de celle-ci soit nulle. Au contraire, cette derni`ere est libre de se d´eplacer