4.6 Conclusion
Dans le cadre de ce chapitre, nous nous sommes int´eress´es au calcul des fr´equences et des modes hydro´elastiques d’une structure ´elastique lin´eaire partiellement remplie de liquide. Une formulation sym´etrique condens´ee sur les degr´es de libert´e de la structure, faisant apparaˆıtre une matrice de masse ajout´ee, a ´et´e impl´ement´ee. Au travers d’une comparaison entre les r´esultats de nos simulations et une exp´erience de litt´erature, nous montrons que nos calculs sont conformes validant ainsi notre impl´ementation num´erique. N´eanmoins, le temps de calcul est prohibitif (quelques heures) si nous souhaitons faire ´evoluer un param`etre tel que la hauteur de fluide. Nous avons alors propos´e une approche par projection sur base de structure in vacuo limit´ee `a un nombre de modes sur une fr´equence d’int´erˆet. Cette m´ethode `a l’avantage d’ˆetre parall´elisable et ne n´ecessite pas une grande capacit´e de stockage contrairement `a la construction d’une matrice de masse ajout´ee du probl`eme complet. A partir des r´esultats num´eriques de r´ef´erence, nous avons montr´e la convergence de l’approche par projection. Les temps de calcul sont de l’ordre de quelques minutes ce qui nous permet d’effectuer des ´etudes param´etriques. Le chapitre suivant traite de la prise en compte d’une pr´econtrainte sur le comportement hydro´elastique.
4.6. CONCLUSION
Chapitre 5
Vibrations hydro´elastiques autour d’un
´etat pr´econtraint
Ce chapitre porte sur les vibrations hydro´elastiques de r´eservoirs partiellement remplis de liquide autour d’´etats pr´econtraints. Nous supposons que chaque ´etat de pr´econtrainte est connu (cf. Chapitre 2). A partir d’une lin´earisation du principe des travaux virtuels autour d’un ´etat d’´equilibre avec non-lin´earit´e g´eom´etrique, nous montrons que le probl`eme coupl´e fluide-structure est de la mˆeme forme celui du Chapitre 4. La diff´erence majeur vient du fait que l’op´erateur de raideur prend en compte les non-lin´earit´es mat´eriaux, g´eom´etriques et de forces suiveuses. Une comparaison entre notre nos d´eveloppements bas´es sur la m´ethode des ´el´ements finis et une exp´erience de la litt´erature montre la validit´e d’une telle approche. Si la pr´econtrainte joue un rˆole significatif, nous sommes donc en mesure d’estimer rigoureusement son influence sur le comportement hydro´elastique lin´earis´e.
Contenu
5.1 Introduction et ´etat de l’art . . . 184
5.2 Configurations du fluide et de la structure . . . 186
5.3 Probl`eme hydro´elastique autour d’un ´etat pr´econtraint . . . 190
5.4 Discr´etisation ´el´ements finis . . . 195
5.5 Validation de l’approche propos´ee : Exp´erience de Chiba . . . 200
5.6 R´eservoir ellipso¨ıdal avec pr´econtrainte . . . 213
5.1. INTRODUCTION ET ´ETAT DE L’ART
5.1 Introduction et ´etat de l’art
Ce chapitre concerne l’estimation du comportement hydro´elastique de structures ´elastiques autour d’un ´etat pr´econtraint via la MEF.
Nous rappelons que nous consid´erons des structures tr`es fines et tr`es flexibles (e.g. des r´eservoirs de lanceurs pressuri´es). Dans ce cas, nous faisons l’hypoth`ese que les d´eplacements de la structure charg´ee par le fluide `a l’´equilibre sont grands vis-`a-vis d’une longueur caract´eristique (e.g. l’´epaisseur du r´eservoir). La raideur globale de la structure est modifi´ee provoquant un d´ecalage des fr´equences hydro´elastiques [100, 113, 114, 115]. Nous verrons que les approches classiques bas´ees sur la configura-tion de r´ef´erence ne peuvent pas capter ces ´ecarts [37, 116, 99, 62]. L’objectif de ce chapitre est donc d’estimer l’influence des non-lin´earit´es g´eom´etriques sur le comportement dynamique coupl´e fluide-structure. Nous rappelons que le calcul de l’´etat d’´equilibre non-lin´eaire a ´et´e abord´e au Chapitre 2. Nous consid´erons ici que l’´etat d’´equilibre non-lin´eaire est connu. Seul l’aspect dynamique lin´earis´e autour de l’´etat pr´econtraint est d´evelopp´e sur dans chapitre (voir Fig. 5.5).
Figure 5.1 – (a) ´Etat d’´equilibre statique non-lin´eaire connu soumis `a un champ de pression hydro-statique ; (b) Vibrations hydro´elastiques autour d’un ´etat pr´econtraint
Une ´etude exp´erimentale m´ettant en ´evidence l’influence de la pr´econtrainte a ´et´e effectu´ee dans [36]. Cette exp´erience consiste `a calculer les vibrations hydro´elastiques d’une plaque en plexiglas tr`es fine circulaire encastr´ee `a son bord, situ´ee en dessous d’une colonne d’eau. Les fr´equences de r´esonance des premiers modes coupl´es ont ensuite ´et´e calcul´ees pour diff´erentes hauteurs de fluide. Pour de faibles hauteurs de fluides, les fr´equences de r´esonance diminuent, due `a l’effet de masse ajout´ee, comme le
5.1. INTRODUCTION ET ´ETAT DE L’ART
pr´edit les approches lin´eaires classiques. N´eanmoins, contrairement `a la th´eorie lin´eaire, pour des hauteurs de fluide de plus en plus grandes, les fr´equences de r´esonance exp´erimentales augmentent (`a l’exception du premier mode). Une approche semi-alalytique, prenant en compte le couplage membrane flexion a ´et´e d´evelopp´e dans [117]. Mˆeme si cette approche permet d’obtenir des tendances similaires `
a l’exp´erience, aucune comparaison entre l’exp´erience et la solution du probl`eme semi-analytique n’a ´et´e propos´ee. Une autre exp´erience r´ecente [118] effectu´ee sur une plaque rectangulaire en contact a un liquide a ´et´e propos´ee dans [118].
L’une des originalit´es de ce chapitre consiste `a proposer une m´ethode de cacul des vibrations hy-dro´elastiques adapt´ee `a des structures pr´econtraintes en 3D. La m´ethode peut ˆetre utilis´ee sur des structures de formes complexes discr´etis´ees par la m´ethode des ´el´ements finis. De plus, nous proposons une validation de la m´ethode par une comparaison entre nos simulations et les r´esultats de l’exp´erience de Chiba [36].
Le contenu du chapitre est le suivant. En Section 5.2 nous rappelons les hypoth`eses sur le fluide et la solide. En Section 5.3, nous pr´esentons la formulation en (ud, p)lin´earis´ee autour d’un ´etat pr´econ-traint. Cette formulation est utilis´ee pour une r´esolution par projection du probl`eme IFS sur base s`eche pr´econtrainte, bas´ee sur la d´emarche pr´esent´ee au Chapitre 4. En Section 5.4, une discr´etisation EF permet de mettre en ´evidence le syst`eme au valeur propre contenant la raideur tangente de la structure et la matrice de masse ajout´ee. Cette raideur est la contribution des raideurs mat´eriau, g´eom´etriques et de forces suiveuses. Cette matrice tangente contient les informations li´ees la pr´econtraintes, alors que la matrice de masse ajout´ee contient celles de l’´energie cin´etique du fluide. Finalement aux Sections 5.5 et 5.6, nous proposons deux exemples num´eriques. Le premier valide notre approche par comparaison `
a l’exp´erience de Chiba et l’autre est un exemple original montrant la validit´e de l’approche sur des structures de plus en plus complexes.