r´esolution du syst`eme lin´eaire tangent utilis´e dans les algorithmes de r´esolution non-lin´eaire. Ensuite, la Section 2.4 pr´esente quelques aspects num´eriques d´evelopp´es tels que l’utilisation de multiplica-teurs de Lagrange pour r´esoudre des probl`emes non-lin´eaires `a d´eplacements impos´es ou l’algorithme de continuation pour passer des instabilit´es. En Section 2.5, nous pr´esentons la m´ethode de ligne de niveau utilis´ee pour l’int´egration num´erique d’´el´ements partiellement mouill´es. Enfin, en Section 2.6, des exemples num´eriques sont analys´es pour valider et montrer l’efficacit´e de nos d´eveloppements.
2.2 Formulation du probl`eme avec forces suiveuses
2.2.1 Configuration de r´ef´erence et configuration courante
La structure dite en configuration de r´ef´erence est d´efinie par un domaine Ωs de R3 born´e par une surface ∂Ωs. Nous consid´erons deux types de surfaces, not´es ∂uΩs et ∂tΩs qui sont respectivement les surfaces avec conditions aux limites en d´eplacement et en effort, tel que ∂Ωs = ∂uΩs∪ ∂tΩs. Le vec-teur position associ´e `a cette configuration est not´e en lettres majuscules tel que X = Xex+ Y ey+ Zez.
La structure dite en configuration courante est d´efinie par un domaine ωs de R3, un domaine born´e par une surface ∂ωs. Nous consid´erons deux types de surfaces, not´es ∂uωs et ∂tωs qui sont respective-ment les surfaces avec conditions aux limites en d´eplacerespective-ment et en effort, tel que ∂ωs = ∂uωs∪ ∂tωs
avec ∂uωs. Le vecteur position associ´e `a cette configuration courante est not´e en lettres minuscules tel que x = xex+ yey+ zez.
Au cours d’une transformation de la configuration de r´ef´erence vers la configuration courante, due `
a un chargement ou un d´eplacement impos´e, nous d´efinissons le d´eplacement u comme la diff´erence entre la position courante et la position de r´ef´erence d’un point mat´eriel :
u = x − X (2.1)
avec u = u ex+v ey+w ez. Dans la suite, nous cherchons `a calculer u en tous points de la configuration de r´ef´erence. Cette description est commun´ement associ´ee `a une approche lagrangienne du mouvement. Afin de mesurer la variation de d´eplacement entre deux points voisins par rapport `a une position
2.2. FORMULATION DU PROBL`EME AVEC FORCES SUIVEUSES
courante, nous d´efinissons le gradient eul´erien tel que :
grad u = ∂u
∂x (2.2)
De la mˆeme fa¸con, nous d´efinissons le gradient lagrangien, qui mesure la variation de d´eplacement entre deux points voisins de la configuration de r´ef´erence tel que :
Grad u = ∂u
∂X (2.3)
Le gradient de la transformation est d´efini par :
F = Grad x = I + Gradu (2.4)
Enfin, nous introduisons le tenseur de Green-Lagrange E comme ´etant une mesure de d´eformation d´efinie par :
E = 1 2(F
TF − I) (2.5)
avec FTF = Ccommun´ement appel´e tenseur de Cauchy Green droit. Ces d´efinitions nous permettront d’´etablir les lois de comportement n´ecessaires au calcul des efforts internes en grandes transformations. Pour plus de d´etails associ´es `a ces outils de mesure de d´eformation nous pouvons nous r´ef´erer aux ouvrages suivants [52, 53, 54, 55]
2.2.2 Charge suiveuse hydrostatique
Le liquide est suppos´e non-visqueux, incompressible, sans tension de surface et au repos. L’action du fluide sur la structure est mod´elis´ee par un champ de pression hydrostatique p(z, h) (voir Fig. 2.2). Celle-ci est d´efinie de fa¸con suivante :
p(x, h) = 0 si z ⩾ h
p(x, h) = −ρg(z − h) si z < h (2.6)
avec ρf la masse volumique du fluide et h la hauteur de la surface libre. L’effort surfacique est port´e par la normale ext´erieure n `a la surface courante charg´ee not´ee Σ.
2.2. FORMULATION DU PROBL`EME AVEC FORCES SUIVEUSES
Configuration de r´ef´erence Configuration courante
∂uΩs ∂uωs ∂tΩs g ∂tωs n −p0n0 ex ey ez h : hauteur de fluide −p(z, h)n p(z, h) Surface mouill´ee Σ
Figure 2.2 – Surfaces internes associ´ees `a la configuration de r´ef´erence de la structure Ωs et aux configurations courantes ωs. Le chargement est mod´elis´e par une pression suiveuse hydrostatique sur la configuration courante.
d´eplacements et faibles d´eformations, nous utilisons une loi de comportement hyper´elastique de Saint-Venant Kirchhoff reliant le second tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff not´e S au tenseur de d´eformation de Green-Lagrange E :
S = 2µE + λtr(E)I (2.7)
Cependant, dans le cas des grandes d´eformations, une loi de comportement hyper´elastique quasi-incompressible est plus adapt´ee (par exemple pour des mat´eriaux en caoutchouc ou des tissus orga-niques). Ce type de loi suppose l’existence d’un potentiel d’´energie volumique not´e Ψ. Une approche classique consiste `a s´eparer ce potentiel en deux parties : un potentiel volumique Ψvol et un potentiel isochore Ψiso. Ces lois font intervenir les invariants du tenseur modifi´e de Cauchy Green droit C = J23C
avec J = det(F) et C = FTF. De cette fa¸con, le potentiel s’´ecrit comme la somme suivante :
Ψ = Ψvol(J ) + Ψiso(︂CI, CII )︂ (2.8) avec CI = CIC− 1 3 III, CII = CIIC− 2 3
III les deux premiers invariants de C et CI=tr(C), CII = 12[tr2(C) − tr(C2)]et CIII =det(C), les trois invariants de C. L’expression du tenseur des contraintes S s’obtient par la d´erivation du potentiel Ψ par rapport au tenseur de Cauchy-Green droit tel que :
S = 2∂Ψ
∂C (2.9)
2.2. FORMULATION DU PROBL`EME AVEC FORCES SUIVEUSES
Notons que la d´eriv´ee seconde du potentiel permet d’obtenir le tenseur d’ordre 4 reliant la variation de la contrainte ∆S par rapport `a la variation de la d´eformation ∆E :
∆S = D : ∆E avec D = 4∂
2Ψ
∂C2 (2.10)
R´ef´erences bibliographiques :Pour plus de pr´ecisions sur l’expression de ces op´erateurs et les lois de comportement quasi-incompressibles, nous pouvons citer les r´ef´erences suivantes [56, 57, 58, 59]. De plus, nous rappelons en Annexe A le d´etail des calculs pour les lois de comportement n´eo-hookeenne, de Mooney-Rivlin et de Yeoh. Nous d´etaillons en particulier en annexe les points suivants :
• l’expression de la d´eriv´ee premi`ere des potentiels volumiques et isochores pour le calcul du tenseur des contrainte S ;
• l’expression de la d´eriv´ee seconde des potentiels volumiques et isochores pour le calcul du tenseur D d’ordre 4 ;
• l’´ecriture de tous ces op´erateurs, en notation de Voigt, utilis´es dans l’impl´ementation num´erique.
2.2.4 Equations locales et formulation variationnelle´
Les ´equations locales d´efinies sur la configuration courante ωs et le bord ∂ωs sont obtenues sous r´eserve des hypoth`eses d´efinies pr´ec´edemment. Pour ne pas alourdir les calculs, nous ne prendrons pas en compte d’efforts volumiques. On a alors :
divσ = 0 dans ωs (2.11)
σ n = −p(x, h) n sur ∂tωs (2.12)
u = 0 sur ∂uωs (2.13)
avec σ le tenseur des contraintes de Cauchy. A partir des Eqs. (2.11), (2.12) et (2.13), la formulation variationnelle en configuration courante est donn´ee par la relation suivante :
∫︂ ωs σ : δϵ dv = − ∫︂ ∂tωs δu · p(x, t) n ds, ∀ δu ∈ Cu (2.14)
2.2. FORMULATION DU PROBL`EME AVEC FORCES SUIVEUSES
admissibles de fonctions suffisamment r´eguli`eres (δu = 0 sur ∂uωs). Cette formulation s’´ecrit de fa¸con classique en configuration de r´ef´erence sur Ωs et son bord ∂tΩs comme suit :
∫︂ Ωs S : δE dV = − ∫︂ ∂tΩs δu · p0(x, t)n0dS, ∀ δu ∈ Cu (2.15) avec δE = 1
2(δFTF + FTδF) le tenseur virtuel de Green-Lagrange, δF = Grad δu et Grad • = ∂• ∂X. Les champs p0 et n0 correspondent `a la pression et la normale ext´erieure ramen´ees sur la surface de r´ef´erence. L’expression 2.15 est ´equivalente `a celle du principe des travaux virtuels d´efinie de fa¸con suivante :
δWint(u, δu) − δWext(u, δu) = 0 ∀ δu ∈ Cu (2.16)
avec δWint l’´energie virtuelle interne et δWext l’´energie virtuelle externe :
δWint(u, δu) = ∫︂
Ωs
S : δE dV (2.17)
δWext(u, δu) = − ∫︂
∂tΩs
δu · p0(x, h)n0dS (2.18)
Rappelons que dans le cas de forces suiveuses, le travail virtuel des efforts externes d´epend de la position courante de la structure, donc du champ de d´eplacement inconnu u.
2.2.5 Notations de Voigt
Les notations de Voigt des tenseurs δE et S, not´es δEˆ︁ etS, sont d´efinis pour que le travail virtuelˆ︁ des efforts internes s’´ecrive sous la forme d’un produit de vecteurs :
δWint= ∫︂
Ω0
δEˆ︁TS dVˆ︁ (2.19)
avec
δE = [δEˆ︁ 11 δE22 δE33 2δE12 2δE23 δ2E31]T (2.20) ˆ︁
S = [S11 S22 S33 S12 S23 S31]T (2.21)
2.2. FORMULATION DU PROBL`EME AVEC FORCES SUIVEUSES
Le vecteur δEˆ︁ peut s’´ecrire `a l’aide d’op´erateurs diff´erentiels not´es B et BNL d´etaill´es en note de page1
faisant apparaˆıtre de fa¸con explicite le vecteur δu tel que :
δE = B δu + Bˆ︁ NL(u) δu (2.23)
On en d´eduit alors l’expression de l’´energie interne tel que :
δWint= ∫︂
Ω0
δuT[B + BNL(u)]TS dVˆ︁ (2.24)
Cette forme nous sera utile pour l’´etape de discr´etisation.
2.2.6 Vecteur des efforts int´erieurs
Consid´erons une discr´etisation spatial du domaine Ωs not´ee Ωh. Les champs discr´etis´es ´el´ements finis u et δu sont not´es respectivement uh et δuh tels que :
uh= Nn ∑︂ i=1 Ni(X)ui, δuh = Nn ∑︂ i=1 Ni(X)δui (2.25)
avec Nn le nombre de nœuds, Ni les fonctions de formes ´el´ements finis et ui = [uiviwi]T les vecteurs des inconnues nodales en chaque nœud (de mˆeme pour δui). Chacun de ces vecteurs peut s’´ecrire sous forme matricielle sous la forme :
uh= Nq, δuh = Nδq (2.26)
avec N une matrice de fonctions de formes de taille (3 × 3Nn) et q = [uT
1, uT2 . . . uTNn]T un vecteur d’inconnues nodales de taille (3Nn× 1) (de mˆeme pour δq). A cette ´etape, nous pouvons introduire les matrices des d´eriv´ees des fonctions de forme B et BNL d´efinies par :
B = B N (2.27)
BNL(q) = BNL(uh) N (2.28)
1. Op´erateurs diff´erentiels lin´eaires B et BNL:
B = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ∂ ∂X 0 0 0 ∂Y∂ 0 0 0 ∂Z∂ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥, BNL= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ∂u ∂X ∂ ∂X ∂v ∂X ∂ ∂X ∂w ∂X ∂ ∂X ∂u ∂Y ∂ ∂Y ∂v ∂Y ∂ ∂Y ∂w ∂Y ∂ ∂Y ∂u ∂Z ∂ ∂Z ∂v ∂Z ∂ ∂Z ∂w ∂Z ∂ ∂Z ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ (2.22)
2.2. FORMULATION DU PROBL`EME AVEC FORCES SUIVEUSES
Ainsi, l’expression des travaux virtuels discr´etis´es des efforts internes s’´ecrit `a partir de l’ Eq. (2.24) et des matrices B et BNL sous forme suivante :
δWinth = δqTFint(q) avec Fint(q) = ∫︂
Ωh
[B + BNL(q)]TS dVˆ︁ (2.29) faisant apparaˆıtre explicitement le vecteur des efforts int´erieurs not´e Fint(q). Ce vecteur d´epend de fa¸con non-lin´eaire du vecteur inconnu q dans la mesure ou l’op´erateur BNLcontient des termes lin´eaires par rapport `a uh et Sˆ︁ contient des termes quadratiques pour la loi de Saint-Venant Kirchhoff (voir Annexe A pour un cas plus g´en´eral).
Remarque sur la construction de Fint : La construction de cet op´erateur s’effectue `a l’aide d’´el´ements tri-dimensionnels iso-param´etriques [60, 61]. Un calcul de matrice ´el´ementaire, bas´e sur une int´egration par points de Gauss, est effectu´e sur un ´el´ement de r´ef´erence et un assemblage sur l’ensemble des ´el´ements conduit au vecteur des efforts int´erieurs global (voir 2.3).
Figure 2.3 – Discr´etisation EF avec ´el´ements hexa´edriques `a 20 noeuds.
2.2.7 Vecteur des efforts ext´erieurs
Pour exprimer le vecteur des efforts ext´erieurs not´e Fext, nous consid´erons l’expression du travail virtuel des efforts ext´erieurs discr´etis´e sur la configuration courante tel que :
δWexth = − ∫︂ Σhδuh· p n ds (2.30) = ρg ∫︂ Σh 0 δuh·(︂zh− h)︂(xh,ξ× xh,η) dS (2.31) = δqTFext (2.32)
avec Σh la surface charg´ee discr´etis´ee en configuration courante et Σh
0 est la surface EF param´etr´ee par (ξ, η) avec dS tel que dS = dξdη. Son expression ramen´ee sur la surface de la configuration de