4.3 Exemple num´erique : effet de masse ajout´ee
4.3.1 Cylindre partiellement rempli de liquide
Nous nous int´eressons aux vibrations hydro´elastiques d’un cylindre ´elastique encastr´e `a la base et partiellement rempli de liquide (voir Fig. 4.6). Il est constitu´e d’un mat´eriau lin´eaire homog`ene ´elastique et istotrope avec un module d’Young E = 5.6 × 109 Pa, un coefficient de Poisson ν = 0.3 et une masse volumique ρs= 7.8 × 103 kg/m3. La masse volume du fluide est ρf= 1.0 × 103 kg/m3.
Figure 4.6 – (a) G´eom´etrie du cylindre partiellement rempli de liquide avec une ´epaisseur t = 0.250 mm, une longueur L = 0.112 m et un rayon moyen R = 0.1 m ; (b) Param`etres du maillage fluide et solide constitu´e d’´el´ements quadratiques `a 20 noeuds.
Afin de caract´eriser les modes, nous pouvons nous servir de la Fig. 4.7. Du fait de la g´eom´etrie cylindrique, un mode peut ˆetre caract´eris´e par son nombre de longueurs d’ondes circonf´erentielles n et longitudinales m.
Figure 4.7 – D´enomination des modes par nombre de longueurs d’ondes circonf´erentielle et longitu-dinale respecivement not´ees n and m.
4.3. EXEMPLE NUM´ERIQUE : EFFET DE MASSE AJOUT´EE
4.3.1.1 Analyse des modes in vacuo
Int´eressons nous dans un premier temps aux modes de la structure in vacuo. Une comparaison entre les r´esultats exp´erimentaux de [106] et nos calculs montrent la validit´e des simulations. En effet, nous retrouvons les formes de courbes en cloche qui sont caract´eristiques de cette g´eom´etrie. Les ´ecarts sont de plus en plus grands lorsque le nombre d’onde circonf´erentiel et longitudinal sont grands. Ces ´ecarts proviennent certainement de l’erreur de discr´etisation.
Figure 4.8 – (a) Fr´equences propres exp´erimentales [106] ; (b) Fr´equences propres simul´ees
0 5 10 15 20 25 0 200 400 600 800 1000 1200 0 5 10 15 20 25 0 200 400 600 800 1000 1200 0 5 10 15 20 25 0 200 400 600 800 1000 1200
Figure 4.9 – Comparaison des fr´equences propres simul´ees et des fr´equences mesur´ees [106] pour
m = 1, m = 2 et m = 3.
4.3. EXEMPLE NUM´ERIQUE : EFFET DE MASSE AJOUT´EE
4.3.1.2 Analyse des modes hydro´elastiques
Un calcul des fr´equences de r´esonance du syst`eme coupl´e a ´et´e effectu´e pour un cylindre `a moiti´e rempli de liquide avec h = 0.5L. Nous montrons la validit´e du code de calcul d´evelopp´e au travers d’une comparaison entre l’exp´erience de Chiba et nos simulations. L’influence du liquide modifie la forme des courbes en cloche obtenues pr´ec´edemment.
Figure 4.10 – (a) Fr´equences propres hydro´elastiques mesur´ees [106] ; (b) Fr´equences propres hydro´e-lastiques simul´ees. 0 5 10 15 20 0 100 200 300 400 500 600 0 5 10 15 20 0 100 200 300 400 500 600 0 5 10 15 20 0 100 200 300 400 500 600
Figure 4.11 – Comparaison des fr´equences propres hydro´elastiques mesur´ees et simul´ees.
Une comparaison entre les modes in vacuo et les modes hydro´elastiques montre que la pr´esence du fluide a une influence `a la fois sur la valeur des fr´equences de r´esonance et sur la forme des modes (voir 4.12 et 4.13). Les fr´equences de r´esonance hydro´elastiques sont plus basses (effet de masse ajout´ee).
4.3. EXEMPLE NUM´ERIQUE : EFFET DE MASSE AJOUT´EE
Figure 4.12 – ´Evolution et ´ecarts entre les fr´equences de la structure in vacuo et les fr´equences hydro´elastiques des modes (1, n) en fonction du nombre d’onde circonf´erentiel n.
Nous observons que la contribution de l’effet de masse ajout´ee n’est pas la mˆeme en fonction du nombre d’onde circonf´erentiel. Dans cet exemple, pour m = 1, nous constatons que pour n ∈ [1, 7], plus la valeur de n est faible plus l’effet de masse ajout´ee est importante. A l’inverse, pour n ∈ [7, 15], plus n augmente et plus l’effet de masse ajout´ee est prononc´e.
Une analyse des d´eform´ees modales, normalis´ees par la masse de la structure in vacuo montre que la forme des modes est aussi modifi´ee (voir Fig. 4.13). En effet, plus la contribution de la masse ajout´ee est grande, plus la forme du mode diff`ere de celle de la structure seule. Pour de grandes valeurs de
n, les d´eformations de la structure se localisent de plus en plus proche de la partie en contact avec le fluide, alors que la partie non-immerg´ee se d´eforme de moins en moins (voir Fig. 4.14).
4.3. EXEMPLE NUM´ERIQUE : EFFET DE MASSE AJOUT´EE
Figure 4.13 – D´eform´eesmodales (1, n) de la structure in vacuo et de la structure partiellement (normalisation `a la masse de la structure in vacuo).
Ce ph´enom`ene se visualise aussi pour les modes ayant un nombre de longueurs d’ondes longitudi-nales m = 2 et m = 3 (voir respectivement les Figs. 4.15 et 4.16).
4.3. EXEMPLE NUM´ERIQUE : EFFET DE MASSE AJOUT´EE
Figure 4.14 – ´Evolution des d´eform´ees modales des modes hydro´elastiques (partie structure) associ´es `
a un nombre d’ondes longitudinales m = 1 en fonction du nombre d’ondes circonf´erentielles n = 8, 9, 10 et 11.
Figure 4.15 – Exemples de modes hydro´elastiques (partie structure) pour m = 2 pour diff´erentes valeurs du nombre d’ondes circonf´erentielles n.
Figure 4.16 – Exemples de modes hydro´elastiques (partie structure) pour m = 3 pour diff´erentes valeurs du nombre d’ondes circonf´erentielles n.
Nous rappelons que le champ de pression d’un mode hydro´elastique peut ˆetre calcul´e et repr´esent´e (voir Fig. 4.17).
4.3. EXEMPLE NUM´ERIQUE : EFFET DE MASSE AJOUT´EE
Figure 4.17 – Pression du fluide et d´eplacement de la structure des modes hydro´elastiques.
4.3.1.3 Temps de calcul de la matrice de masse ajout´ee
Mˆeme si cet exemple permet de valider nos d´eveloppements pour un cylindre `a moiti´e rempli de liquide, le temps de calcul n´ecessaire pour la construction de la matrice de masse ajout´ee rend cet approche prohibitive. Le tableau ci-dessous permet de donner des ordres de grandeur du temps de calcul en fonctions de param`etres de maillage :
(nθ,nf) (5, 5) (10, 10) (15, 15) (25, 10)
nelem-f (fluide) 500 2600 6975 10250
ndof-f (fluide) 2260 11020 29280 45696
Temps de calcul 4.3sec 211sec 1020sec 4136 sec
Table 4.10 – Temps de calcul pour obtenir la matrice de masse ajout´ee avec inversion de matrice (rappel : Ma = ρfC∗H−1∗ CT∗).
4.3. EXEMPLE NUM´ERIQUE : EFFET DE MASSE AJOUT´EE