er−aσ ∆(r), (4.13) V3(~rij, ~rik, Zi) = g(rij)∆(rij)g(rik)∆(rik)h(lijk, Zi). (4.14) Le param`etre δ modifiant la valeur du cutoff a ´et´e fix´e `a 0.3 ˚A. Ce choix permet d’´eviter le probl`eme des coordinations inad´equates et de conserver l’allure g´en´erale de l’interaction Si − Si du potentiel EDIP original (voir figure 4.2).
Fig. 4.2 – Interaction de paire V2 en fonction de la distance interatomique pour les inter-actions C − C, C − Si, et Si − Si (avec et sans la fonction ∆). La coordination Z a ´et´e fix´ee `a 4.
4.4 Param´etrisation du potentiel
La param´etrisation du potentiel EDIP g´en´eralis´e au carbure de silicium a ´et´e r´ealis´ee avec un algorithme de recuit simul´e [121, 122] (voir l’annexe F). Il s’agit d’une technique de convergence permettant d’optimiser simultan´ement un grand nombre de param`etres en minimisant une fonction de moindres carr´es, appel´ee fonction de coˆut. Cette fonction
4.4. Param´etrisation du potentiel 83 ´evalue arbitrairement l’´ecart entre les valeurs des propri´et´es de la base de donn´ees, et celles pr´edites par un jeu de param`etres, en donnant un poids plus ou moins important aux diff´erentes propri´et´es.
4.4.1 Base de donn´ees
Le choix des propri´et´es de la base de donn´ees entrant dans la fonction de coˆut s’est port´e sur les param`etres de maille `a l’´equilibre, les propri´et´es ´elastiques, et des points des courbes d’´energie de coh´esion ab initio du diamant, du graphite, et du 3C-SiC. Cette s´election est importante, car elle permet d’assurer que le potentiel reproduit les propri´et´es structurales et ´elastiques de ces mat´eriaux.
De plus, nous avons cherch´e `a orienter la param´etrisation afin de privil´elier les ´energies de formation de certains d´efauts : l’objectif ´etant de produire un jeu de param`etres per-mettant d’´etudier les d´efauts dans le SiC. Les interstitiels CT Si, CCh100i et SiSih110i ont ainsi ´et´e ajout´es `a la base de donn´ees. Des tentatives d’inclure l’interstitiel SiT C ont ´et´e effectu´ees, mais elles n’ont pas permis d’am´eliorer la qualit´e de l’ajustement.
La base de donn´ee n’inclut pas de donn´ees sur des phases de plus haute coordination, car ces derni`eres, de nature parfois m´etalliques, ont des ´energies suffisamment ´elev´ees par rapport aux phases covalentes pour ˆetre consid´er´ees comme ayant peu d’int´erˆet.
Toutes ces propri´et´es (avec leur poids respectif), r´epertori´ees dans le tableau 4.3, constituent un ensemble d’environ 150 points qui vont servir `a ajuster les 13 param`etres suppl´ementaires du potentiel EDIP g´en´eralis´e.
4.4.2 Jeu de param`etres optimal
Le meilleur jeu de param`etres obtenus par le recuit simul´e est pr´esent´e dans le ta-bleau 4.1. Le jeu de param`etres pour le potentiel EDIP g´en´eralis´e se compose donc des param`etres pour le silicium, inchang´es par rapport au potentiel EDIP original, et des pa-ram`etres pour le carbone. Les papa-ram`etres pour le carbone qui ont ´et´e d´etermin´es restent du mˆeme ordre de grandeur que ceux du silicium, ce qui valide l’utilisation des moyennes pour les termes crois´es.
4.4.3 Description du potentiel
La figure 4.2 donne le terme V2 pour les interactions C − C, C − Si, et Si − Si en fonction de la distance interatomique pour une coordination fix´ee `a Z = 4. Pour les
Propri´et´es Poids diamant
Param`etre de maille a important Energie de coh´esion Ec important Points de la courbe d’´energie de coh´esion faible Module de compressibilit´e B important Constante ´elastique C11 et C12 important
graphite
Param`etre de maille a faible Energie de coh´esion Ec important Points de la courbe d’´energie de coh´esion faible Module de compressibilit´e B faible
3C-SiC
Param`etre de maille a important Energie de coh´esion Ec important Points de la courbe d’´energie de coh´esion moyen Module de compressibilit´e B important Constante ´elastique C11 et C12 important
CT Si moyen
CCh100i moyen
SiSih110i moyen
4.4. Param´etrisation du potentiel 85 interactions Si − Si, deux cas de figure sont consid´er´es : avec ou sans la modification du cutoff avec la fonction ∆ correspondant respectivement aux interactions rencontr´ees dans un massif de carbure de silicum et de silicium. Comme expliqu´e pr´ec´edemment la fonction ∆ modifie seulement les interactions Si−Si (dans un environnement contenant des atomes de carbone). Seule la partie concernant les distances interatomiques sup´erieures `a 2.56 ˚Aest modifi´ee, laissant le minimum de la courbe V2 inchang´ee par rapport au potentiel EDIP original.
Le terme `a trois corps va en augmentant du silicium vers le carbone comme indiqu´e sur la figure 4.3, ce qui exprime naturellement la plus grande rigidit´e des angles des liaisons impliquant des atomes de carbone. L’´energie n´ecessaire pour distordre l’angle form´e par des liaisons C − Si par rapport `a sa valeur `a l’´equilibre est interm´ediaire entre le carbone et le silicium. Cet angle d’´equilibre pour lequel le terme V3 est nul d´epend en fait de la coordination de l’atome central. Comme illustr´e dans l’encart pour un angle entre des liaisons C − Si, cet angle d’´equilibre vaut 120◦ pour Z = 3, 109.471◦ pour Z = 4, et 90◦ pour Z = 6 ou 8. Il est d’autant plus facile de modifier l’angle de liaison que la coordination est ´elev´ee.
Fig. 4.3 – Interaction angulaire V3 en fonction de la nature des liaisons mises en jeu. La coordination Z a ´et´e fix´ee `a 4 et r `a la distance d’´equilibre, c’est-`a-dire 1.531 ˚A, 1.910 ˚A, et 2.351 ˚A, respectivement pour les liaisons C − C, C − Si, et Si − Si. En encart, la variation du terme V3 en fonction de l’angle form´e par des liaisons C − Si pour diff´erentes valeurs de la coordination Z (3, 4, 6, et 8).