L’objectif est d’obtenir un potentiel empirique pour le carbure de silicum. Il a ´et´e n´ecessaire de conserver les param`etres originaux du potentiel EDIP pour le silicium. L’id´ee
4.3. G´en´eralisation du potentiel EDIP au carbure de silicium 79 Si C param`etres de cutoff a (˚A) 3.1213820 2.2918049 c (˚A) 2.5609104 1.5698566 α 3.1083847 1.1268088 V2 A (eV) 7.982173 11.6773355 B (˚A) 1.5075463 0.9612016 ρ 1.2085196 2.8779528 β 0.0070975 0.0255960 σ (˚A) 0.5774108 0.7103453 V3 γ (˚A) 1.1247945 1.2258251 λ (eV) 1.4533108 1.7800184 η 0.2523244 0.8115872 Q0 312.1341346 417.5476826 µ 0.6966326 0.6122148 δ = 0.3 ˚A
Tab. 4.1 – Param`etres du potentiel EDIP g´en´eralis´e. Les param`etres pour le silicium sont inchang´e par rapport au potentiel EDIP original [109].
est d’obtenir un jeu de param`etres pour le carbone, et de d´eterminer les termes crois´es SiC en utilisant des moyennes. Le but n’est toutefois pas d’avoir des param`etres optimaux pour le carbone, mais bel et bien pour le SiC. Il existe d’ailleurs une version modifi´ee du potentiel EDIP tr`es performante pour le carbone [120]. Dans le pr´esent travail, la conservation des param`etres originaux pour le silicum a conduit `a introduire un terme correctif suppl´ementaire au potentiel.
4.3.1 Obtention des param`etres
La g´en´ealisation du potentiel EDIP a ´et´e r´ealis´ee afin de conserver les param`etres originaux du potentiel EDIP pour le silicium : d’une part pour conserver un jeu de pa-ram`etres d´ej`a test´e et ´eprouv´e pour un grand nombre d’applications, et d’autre part pour limiter le nombre de nouveaux param`etres `a d´eterminer.
Dans la mesure du possible, les param`etres du potentiel EDIP g´en´eralis´e sont d´etermin´es `a partir des seuls param`etres relatifs au carbone et au silicium. Tous les autres param`etres sont des termes crois´es qui vont donc d´ependre de la nature des atomes mis en jeu lors d’une interaction. Ainsi, de fa¸con analogue au potentiel de Tersoff, des moyennes arithm´etiques ou g´eom´etriques ont ´et´e utilis´ees pour d´efinir les param`etres crois´es entre le silicium et le carbone. L’utilisation de ces moyennes permet de r´eduire consid´erablement
le nombre de param`etres et de conserver un caract`ere g´en´eral au potentiel en consid´erant que les param`etres d´ecrivant les interactions C −Si doivent ˆetre interm´ediaires entre ceux d´ecrivant les interactions C −C et Si−Si. Au point de vue de la fonction de coordination et de la fonction de paire, les param`etres adimensionnels (ceux qui varient le plus entre le carbone et silicium) sont d´etermin´es grˆace aux moyennes arithm´etiques, et tous les autres par des moyennes g´eom´etriques. Les param`etres λ, η, Q0, µ de la fonction angulaire h(l, Z) sont ´egalement obtenus au moyen d’une moyenne arithm´etique pond´er´ee privil´egiant la nature de l’atome central.
Le tableau 4.2 suivant r´esume les choix r´ealis´es pour la d´etermination des param`etres crois´es. Au final, il reste ainsi 13 param`etres `a ajuster pour obtenir le potentiel empirique EDIP pour le SiC, soit un total de 26 param`etres (en incluant ceux du silicium) pour d´ecrire l’ensemble des interactions possibles entre des atomes de carbones et de silicium.
Interaction `a 2 corps Interaction `a 3 corps
pij = pi+pj
2 ρ, β, α
pij = √pipj A, B, a, c, σ, γ pijk =
2pi+pj+pk
4 λ, η, Q0, µ
Tab. 4.2 – D´etermination des param`etres crois´es pour le potentiel EDIP g´en´eralis´e. Les param`etres sont d´etermin´es soit `a partir d’une moyenne arithm´etique, soit `a partir d’une moyenne g´eom´etrique.
4.3.2 Terme correctif
Afin de pouvoir conserver les param`etres originaux du potentiel EDIP pour le sili-cium, il a ´et´e n´ecessaire de modifier les interactions Si − Si pr´esentes dans le carbure de silicium. En effet le cutoff ext´erieur pour les interactions Si − Si est de 3.12 ˚A. Or dans le carbure de silicium, la distance entre un atome de silicium et son second voisin silicium est d’environ 3.08 ˚A. Cela signifie qu’aux alentours de la distance d’´equilibre
4.3. G´en´eralisation du potentiel EDIP au carbure de silicium 81 du SiC, un atome de silicium va ressentir non seulement son premier voisin de carbone, mais ´egalement son second voisin de silicium. Par cons´equent, la coordination effective de l’atome de silicium central sera sup´erieure `a la coordination t´etra´edrique escompt´ee. Des interactions non physiques surviennent alors sur la courbe d’´energie de coh´esion tr`es proche de la distance d’´equilibre du carbure de silicium (voir figure 4.1), car on a alors une coordination diff´erente de quatre avec des angles t´etra´edriques, ce qui est fortement d´efavoris´e.
Fig. 4.1 – Courbe d’´energie de coh´esion du SiC avec (trait plein) ou sans (trait poin-till´e) la fonction ∆. Cette fonction permet de repousser la discontinuit´e `a une distance interatomique plus faible, loin de la distance d’´equilibre des liaisons dans le carbure de silicium.
Afin de contourner ce probl`eme, une nouvelle fonction corrective ∆(rij a ´et´e introduite dans le potentiel. Elle a pour but de modifier les interactions Si − Si dans un environ-nement mixte carbone et silicium en r´eduisant le cutoff ext´erieur, tout en maintenant l’´energie et la distance d’´equilibre associ´ees `a ces interactions. Cette fonction modifie dou-cement les diff´erents termes du potentiel EDIP en ´evitant les discontinuit´es. Elle n´ecessite le calcul des coordinations partielles ZC−C, ZC−Si, et ZSi−Si. Elle vaut l’unit´e si les deux atomes consid´er´es ne sont pas des atomes de silicium ou si l’atome central de silicium n’est pas coordonn´e avec un atome de carbone (ZC−Si). Sa forme est similaire `a celle donn´ee par l’´equation 4.3, et en conserve une partie des param`etres :
∆(r) = 1, r < c e1−x−3α , c < r < a − δ 0, r > a − δ (4.11)
o`u x = (r − c)/(a − δ − c) avec δ le modificateur de cutoff. Elle s’applique sur la fonction de coordination f (r), la fonction de paire V2, et la fonction angulaire V3 :
f (r) = e1−x−3α ∆(r), (4.12) V2(r, Z) = A "B r ρ − p(Z) # er−aσ ∆(r), (4.13) V3(~rij, ~rik, Zi) = g(rij)∆(rij)g(rik)∆(rik)h(lijk, Zi). (4.14) Le param`etre δ modifiant la valeur du cutoff a ´et´e fix´e `a 0.3 ˚A. Ce choix permet d’´eviter le probl`eme des coordinations inad´equates et de conserver l’allure g´en´erale de l’interaction Si − Si du potentiel EDIP original (voir figure 4.2).
Fig. 4.2 – Interaction de paire V2 en fonction de la distance interatomique pour les inter-actions C − C, C − Si, et Si − Si (avec et sans la fonction ∆). La coordination Z a ´et´e fix´ee `a 4.