Pour les grains, l’utilisation de cellules de Vorono¨ı (d´efinition 1) est tr`es couramment d´evelopp´ee car la forme des poly`edres g´en´er´es repr´esente fid`element une structure granu- laire isotrope [12]. Il est ´egalement possible de construire les cellules granulaires `a partir de r´esultats E.B.S.D. Les r´esultats E.B.S.D. sont repr´esent´es pixel par pixel avec une d´efinition fonction du pas de balayage du faisceau d’´electrons. Il est possible alors de r´eg´en´erer g´eom´etriquement chaque point dont la couleur associ´ee repr´esente une partie du grain. Ces cellules 3D sont des voxels (”volumetric pixel”) agenc´ees une par une pour former des grains. L’interface entre grains est cependant mal repr´esent´ee car non liss´ee (figure 5.7) [12].
Figure 5.7 :Repr´esentation par voxels de structures granulaires
5.3
Outils math´ematiques
5.3.1
G´en´eralit´es sur les maillages et les m´etriques
Nous allons introduire dans cette section les outils math´ematiques qui nous seront n´ecessaires pour comprendre les algorithmes mis en place dans la g´en´eration des inclu- sions et des grains. Les objets math´ematiques que nous allons utiliser sont les m´etriques, le maillage qui en r´esulte et leur ´el´ements constitutifs (annexe L). Nous pourrons nous r´ef´erer `a [59] et [38] pour de plus amples explications. Certains concepts ont d´ej`a ´et´e introduits au chapitre 2 mais nous allons g´en´eraliser les d´efinitions.
Construction d’un maillage du domaine
Nous allons pr´esenter deux approches que nous utiliserons par la suite. La premi`ere est la m´ethode de Delaunay [58] dont l’application sera directement reli´ee `a la g´en´eration des grains de la microstruture digitale. La seconde m´ethode est une m´ethode de remaillage par optimisation topologique qui d´ecoule directement de [38].
- m´ethode de Delaunay :
La construction du maillage se fait `a partir d’un nuage de points. Nous d´efinissons N un ensemble fini de points (Si)1≤i≤nde Rd. La m´ethode de Delaunay repose sur le diagramme
5.3. OUTILS MATH´EMATIQUES 130
D´efinition 1. - un d-polytope est l’enveloppe convexe de plusieurs points de Rd - le dia-
gramme de Vorono¨ı de N est l’ensemble de d-polytopes convexes (Vi)1≤i≤n appel´es cellules
de Vorono¨ı et d´efinis par :
Vi = x ∈ Rd, ∀ j 6= i kSi− xk2 ≤ kSj − xk2
(5.1) Cette d´efinition regroupe l’ensemble des points les plus proches du point Si que des
autres points Sj. Les cellules de Vorono¨ı recouvrent Rd sans chevauchement (figure 5.8
(a)). Le diagramme de Vorono¨ı est le dual de la triangulation de Delaunay c’est `a dire que les arˆetes des ´el´ements qui d´efinissent la triangulation relient exactement les sommets dont les cellules de Vorono¨ı sont adjacentes. Nous notons T la triangulation de Delaunay. T et N forment donc un maillage de l’enveloppe convexe de N (figure 5.8 (b)). Le crit`ere de Delaunay n´ecessaire `a la triangulation s’´ecrit :
Th´eor`eme 1. T est une triangulation de Delaunay si et seulement si la boule ouverte circonscrite (passant par tous les sommets) de chaque ´el´ement ne contient aucun nœud.
Figure 5.8 : (a) Diagramme de Vorono¨ı d’un nuage de nœuds et (b) triangulation de Delaunay corre- spondante en 2D [55]
Par la suite, nous montrerons dans ce document l’int´erˆet des cellules de vorono¨ı dans la g´en´eration des grains constitutifs de la microtucture [4].
- m´ethode par optimisation topologique :
Nous n’allons pas d´ecrire exhaustivement le mailleur topologique MTC que nous avons utilis´e pour mailler la microstructure. Nous allons essayer de pr´eciser quelques ´el´ements centraux afin de comprendre le remaillage anisotrope. Les objets utilis´es sont les suivants :
D´efinition 2. Notons Ω le domaine d’´etude. Soient N un ensemble fini de nœuds de Ω, T un ensemble de d-´el´ements dont les sommets appartiennent `a N et F , l’ensemble des faces de ces ´el´ements. T est une topologie de Ω si et seulement si :
- chaque face de F partage un ou deux ´el´ements de T au plus ; - (N , ∂T ) est un maillage de la fronti`ere ∂Ω ;
- (N , T ) est un maillage de Ω si les ´el´ements de T sont non d´eg´en´er´es et si P
T ∈T |T | =
5.3. OUTILS MATH´EMATIQUES 131
Parmi deux topologies, nous privil´egierons celle dont les ´el´ements ont une meilleure qualit´e calcul´ee `a partir de L.7. L’algorithme de la m´ethode d’optimisation se pr´esente donc ainsi :
Soit (N , ∂T ) un maillage de ∂Ω :
Une premi`ere topologie de maillage T de Ω est construite. Tant que le volume minimal n’est pas atteint, la topologie locale pour chaque nœud et chaque arˆete est retir´ee et nous la rempla¸cons par une topologie minimisant le volume P
T ∈T |T | tout en respectant une
qualit´e maximum. Cette minimisation est pilot´ee par une m´etrique associ´ee (d´efinition 4). L’optimisation est donc incr´ementale (figure 5.9).
Figure 5.9 :G´en´eration de maillage par optimisation topologique locale 2D [59]
La m´ethode d’optimisation topologique ne construit donc pas directement un maillage mais se contente initialement d’une topologie de maillage qui est am´elior´ee au fur et `a mesure jusqu’`a devenir un maillage valide. Le mailleur topologique MTC a ´et´e d´evelopp´e et dirig´e par Coupez [38]. Par contre les m´etriques permettant de le piloter ont ´et´e introduites dans le programme GCM de Gruau [59] (”g´en´erateur de champs de m´etrique”). MTC et GCM sont les deux programmes permettant de g´en´erer des maillages anisotropes de tr`es bonne qualit´e avec une tr`es grande robustesse.
5.3.2
Librairie de calcul : CIMLIB [27]
Nous allons maintenant introduire quelques outils num´eriques que nous avons utilis´es pour la g´en´eration g´eom´etrique de la microstructure. Cela nous permettra de pr´esenter la relative facilit´e d’utilisation de la librairie CIMLIB pour l’utilisation du mailleur topo- logique. Cette librairie, cod´ee en C++, est une librairie interne au laboratoire du CEMEF (d´evelopp´ee en grande partie par le groupe de recherche CIM) sous la responsabilit´e de T. Coupez. Elle permet notamment, grˆace `a une interface de bas niveau, l’utilisation du mailleur via l’appel de mots clefs. Au pr´ealable, il est n´ecessaire d’introduire la notion de g´eom`etre qui constitue un ensemble de subdivisions du domaine d’´etude.
D´efinition 3. Soit Ω le domaine de calcul. Un g´eom`etre G est un sous domaine de Ω constitu´e d’un bord ∂G. En notant NG, l’ensemble fini des nœuds appartenant `a G et TG,
l’ensemble des ´el´ements t´etra´edriques appartenant `a G, NG et TG constituent un maillage
de G.
Un g´eom`etre est donc un objet caract´erisant une certaine r´egion de l’espace. Cette caract´erisation se fait au travers de deux fonctions :
- La fonction distance qui renvoie la distance sign´ee d’un nœud de coordonn´ees (x, y, z) dans R3 `a la fronti`ere de la zone d´efinie. Cette distance est n´egative lorsque le nœud se