Afin de g´en´erer une microstructure adapt´ee `a notre cas d’´etude, nous avons dˆu ´elaborer diff´erents algorithmes de g´en´eration 3D, inspir´es de r´ecentes mod´elisations du calcul mic- rom´ecanique. Les premiers g´en´erateurs inclusionnaires ont ´et´e utilis´es pour la g´en´eration d’agr´egats contenus dans le b´eton. Lilliu [76] consid´erait des inclusions parfaitement sph´eriques plong´ees al´eatoirement dans une matrice (figure 5.1 (a)). Une distance de s´ecurit´e permet d’´eviter les effets de bord. Comby [36] g´en´erait ´egalement des inclusions sph´eriques `a partir d’une statistique al´eatoire des diam`etres (figure 5.1 (b)). Le maillage des inclusions est cr´e´e `a partir d’un maillage isotrope sous Forge2005 r. Etant donn´e le maillage (t´etra´edrique), les interfaces inclusion-matrice ne sont pas liss´ees. Les ´el´ements sont s´electionn´es un par un en consid´erant l’´el´ement g´eom´etrique (l’inclusion) comme un d´elimitateur topologique. Il est ainsi facile de contrˆoler les distances inter-inclusions (correspondant `a la distance des barycentres des ´el´ements conjoints) et la distance de s´ecurit´e avec les bords du domaine d’´etude. Cependant, Stora [125] montra, par une analyse de la morphologie inclusionnaire, que les inclusions sph´eriques n’´etaient pas du tout adapt´ees pour le calcul des concentrations des contraintes. Pierard et Segurado [106][107][121] [122]ont utilis´e une g´en´eration ´egalement al´eatoire mais en consid´erant un algorithme de p´eriodicit´e (algorithme du ”random adsorption” [113]) repr´esent´e en figure 5.2 (a). Cet algorithme permet d’utiliser une distance minimale appropri´ee. Des calculs
5.2. ETAT DE L’ART 126
par ´el´ements finis ont alors ´et´e effectu´es en consid´erant des conditions de d´eformations p´eriodiques. H¨afner [60] effectue, quant `a lui, des calculs sur des inclusions elliptiques (figure 5.2 (b)) en 2D.
Figure 5.1 :G´en´eration sph´erique des agr´egats contenus dans le b´eton
Figure 5.2 : G´en´eration d’une microstructure p´eriodique (a) et calculs ´el´ements finis sur une surface contenant des inclusions (b)
Wang [135] a d´evelopp´e une autre proc´edure permettant de g´en´erer des agr´egats an- gulaires avec un maillage ´elabor´e `a partir d’une m´ethode d’”advancing front” (figure 5.3).
Figure 5.3 : M´ethode de maillage ”advancing front” [135]
5.2. ETAT DE L’ART 127
m´ethode de maillage 2D a ´et´e propos´ee par Sadouki [119] et g´en´eralis´ee au cas 3D par Roelstra [115] (figure 5.4).
Figure 5.4 :G´en´eration de maillage adapt´ee aux inclusions en 2D (a) [119] et 3D (b)[115]
Toutes les m´ethodes list´ees pr´ec´edemment sont des m´ethodes ”take and place”. Elles consistent `a placer une par une les inclusions selon des tirages al´eatoires avec des condi- tions limites qui permettent d’´eviter les superpositions. Nous avons utilis´e ces m´ethodes initialement, mais tr`es vite, nous avons ´et´e limit´es au niveau de la repr´esentativit´e de la microstructure non adapt´ee par rapport aux statistiques que nous avons d´etermin´ees. Une m´ethode alternative, plus fid`ele `a la r´ealit´e d’un mat´eriau r´ealiste, est la m´ethode statis- tique. Nous pouvons citer l’algorithme de Leite [72]. Les inclusions les plus volumineuses sont g´en´er´ees les premi`eres et ainsi de suite en r´eduisant la taille des inclusions. Une autre m´ethode propos´ee par Yang [137] va beaucoup plus loin. Il s’agit de tenir compte des statistiques de forme mais aussi de la statistique des positions des inclusions. Nous pouvons ainsi, `a l’instar du mat´eriau de cette ´etude, reproduire des chapelets d’inclusions tr`es r´ealistes (figure 5.5).
Figure 5.5 :Tirage statistique des positions des inclusions regroup´ees en amas [137]
Il existe deux fa¸cons de consid´erer la position des inclusions. Une m´ethode d´eterministe c’est `a dire que la position est fix´ee, ou une m´ethode stochastique. La m´ethode statistique peut ˆetre g´en´er´ee de deux fa¸cons :
- Soit en tirant al´eatoirement les positions des inclusions en consid´erant des zones ”inter- dites”. C’est la g´en´eration dite du ”Cellular Segregation ” (figure 5.5).
5.2. ETAT DE L’ART 128
- Soit les positions des inclusions sont s´electionn´ees `a partir de l’´ecart-type constituant la bande du chapelet. Il s’agit de la g´en´eration du ”Localised Cluster ”. L’algorithme que nous avons ´elabor´e est bas´e sur ce dernier mode de g´en´eration.
Aux deux m´ethodes de g´en´eration inclusionnaire pr´ec´edentes s’ajoutent la m´ethode de la reg´en´eration num´erique au moyen d’images microstructurales. Il est bien ´evident que ces m´ethodes sont les plus r´ealistes mais elles sont tr`es difficiles `a mettre en place. Nous pouvons citer Wang [134] qui propose l’´elaboration d’un maillage adapt´e `a partir d’une photo. Les points digitalis´es `a partir des inclusions sont ensuite utilis´es pour g´en´erer le maillage. Chawla [31][32] propose une m´ethode de g´en´eration inclusionnaire `a partir de coupes directes des ´echantillons (figure 5.6). Apr`es pr´eparation, le mat´eriau est analys´e et une zone repr´esentative est s´electionn´ee puis polie. Des rep`eres, effectu´es au moyen d’indentations de type Vickers, permettent au fur et `a mesure du polissage de quantifier l’´epaisseur de la mati`ere enlev´ee. Ainsi, une s´erie de polissages d’´epaisseur de 1 µm est effectu´ee. Apr`es chaque polissage, la surface est analys´ee par microscopie optique. La s´erie d’images obtenue est ensuite analys´ee et une structure 3D est reconstruite `a partir des images 2D trait´ees par un logiciel de reconstitution.
Figure 5.6 :Reconstruction d’une microstructure 3D `a partir d’une s´erie d’images 2D [32]
Cette m´ethode permet d’acqu´erir un volume de mati`ere repr´esentatif du mat´eriau. Cependant la pr´eparation et l’analyse est tr`es longue. Un seul volume ´el´ementaire peut ˆ
etre g´en´er´e et ´etudi´e `a la fois, ce qui pose le probl`eme de la repr´esentativit´e du volume car les statistiques sont limit´ees.