Oscillations de Bloch d'un atome dans un réseau optique

Le phénomène d'oscillations de Bloch a été abordé pour la toute première fois par Zener dans le domaine de la physique du solide [104] an de modéliser le comportement d'un électron dans un réseau cristallin soumis à un champ électrique extérieur [105].

Pour visualiser ce phénomène, nous générons un réseau optique pour piéger les atomes froids. Pour cela, nous utilisons une conguration contra-propageante avec un laser (ω, ⃗k), désaccordé de ∆ par rapport au niveau excité (gure 2.5).

∆ ω e f g (ω,-k) (ω, k)

Figure 2.5  Schéma de principe du réseau optique : une onde stationnaire désaccordée de ∆ par rapport à l'état excité de l'atome.

Dans cette conguration, nous obtenons les champs électriques suivants, pour chacun des deux lasers :

E1(z, t) = E0e^i(kz−ωt)

E₂(z, t) = E₀e^−i(kz+ωt)

(2.18) E0 étant l'amplitude du champ électrique du laser. L'interférence résultante de la congu-ration contra-propageante des lasers nous donne ainsi l'amplitude du champ électrique total :

E_tot(z, t) = 2E₀cos(kz)e^−iωt (2.19) L'intensité laser vue par les atomes sur l'axe vertical est donc :

I(z) =|EE∗|2

= 4E₀²cos²(kz) (2.20) Nous obtenons donc un réseau stationnaire suivant l'axe ⃗z, avec une évolution sinusoïdale de l'intensité laser. Ce potentiel périodique permet ainsi de piéger les atomes.

Nous allons maintenant voir l'approche quantique de ce phénomène, en étudiant l'interaction lumière-matière qui intervient dans ce mécanisme, avec les processus d'absorption et d'émission stimulée. ∆ ω 1, k₁ ω 2, k₂ a,p a,p+hk_eff e,p+hk₁ ω ae ω D + ω_rec g k₁ k₂ v z

Figure 2.6  Conguration expérimentale du laser Bloch, à gauche. Fréquences des lasers Bloch et niveaux atomiques dans le cas simple d'un atome à trois niveaux, à droite.

Dans le cadre de notre expérience, les atomes sont piégés dans un réseau optique et soumis à l'accélération de pesanteur. Ainsi, la force qu'ils subissent provoque le phénomène d'oscillations de Bloch dans le réseau.

Pour comprendre ce phénomène, nous allons utiliser l'approche basée sur la transition Ra-man stimulée, mais sans changement d'état interne. Nous pouvons ainsi considérer le cas d'un atome à deux niveaux soumis à deux lasers (ω1, ⃗k₁) et (ω2, ⃗k₂) dans la conguration de la gure 2.6.

Lorsque la diérence ω1 − ω2 des fréquences laser Bloch vérie une certaine condition de résonance, l'atome va absorber un photon du laser (ω1, ⃗k₁), puis émettre de façon stimulée un photon dans le mode du laser (ω2, ⃗k₂). Ainsi, un atome initialement dans l'état |a, ⃗p⟩, va se retrouver dans l'état _{a, ⃗p + ~⃗k}

e

⟩

, avec ⃗ke ^{= ⃗k}1−⃗k2. Il s'agit donc de l'analogue d'une transi-tion Raman stimulée sans changement d'état interne. La diérence, comparée à une transitransi-tion Raman stimulée, réside dans le fait qu'ici la diérence ω1 − ω2 est proche de 0, alors qu'elle était proche de ωSHF dans l'autre cas, en tenant compte du déplacement lumineux.

Nous avons vu que la condition de résonance Raman, lorsque l'on néglige le déplacement lumineux diérentiel des états |a, ⃗p⟩ et _{b, ⃗p + ~⃗k}

e

⟩

2.2. SÉPARATION D'UN NUAGE ATOMIQUE ω₁− ω2 = ω_SHF +^p⃗·⃗k_e m ⁺ ~k2 e 2m (2.21)

En se plaçant maintenant dans le cas d'une transition Raman sans changement d'état in-terne, nous avons ωSHF = 0, et la condition de résonance devient donc simplement :

ω₁− ω2 = ^⃗p·⃗ke m ⁺ ~k2 e 2m (2.22) En posant ⃗vrec = ^~⃗ke

2m, l'équation précédente peut s'écrire sous la forme :

ω1− ω2 = (⃗v + ⃗vrec)·⃗ke (2.23)

Néanmoins, dans cette démonstration, nous n'avons pas pris en compte le cas où un atome absorberait un photon du laser (ω2, ⃗k₂), et émettrait de façon stimulée un photon dans le mode du laser (ω1, ⃗k₁). Comme nous avons ω1 − ω2 << ∆, ce processus a autant de chance de se réaliser que le processus inverse, décrit juste avant. La condition de résonance pour ce cas de gure va donc s'écrire :

ω₂− ω1 = (⃗v− ⃗vrec)· (−⃗ke⁾ (2.24)

En dénissant la condition de résonance Bloch ω1 − ω2 = (⃗v − ⃗vrec)·⃗ke et en combinant les conditions de résonance pour les deux processus possibles, nous obtenons la condition de résonance Bloch suivante :

ω1− ω2 = (⃗v ± ⃗vrec)·⃗ke (2.25)

Or l'atome est soumis à l'accélération de pesanteur ⃗g. En notant ⃗v(t0) la vitesse initiale de l'atome, sa vitesse ⃗v(t) à l'instant t va s'écrire :

⃗

v(t) = ⃗v(t₀) + ⃗gt (2.26)

On suppose qu'à l'instant t1, la condition de résonance 2.25 se vérie :

ω₁− ω2 = (⃗v(t₁) + ⃗v_rec)·⃗k_e (2.27) A cet instant, l'atome va donc subir un cycle d'absorption-émission stimulée, et sa vitesse va passer de ⃗v(t1)à ⃗v(t1) + 2⃗v_rec.

Avec la conguration contra-propageante, le photon absorbé par l'atome provient du laser se propageant du bas vers le haut, et le photon émis de façon stimulée sera émis dans le mode laser se propageant du haut vers le bas. Ainsi, lorsque l'atome subit un cycle d'absorption-émission stimulée, il est accéléré vers le haut, colinéairement à ⃗g. En écrivant, pour l'instant t > t1, l'évolution de la vitesse de l'atome, projetée selon la direction ⃗z, nous obtenons :

v(t) =± v(t0)− gt + 2vrec (2.28)

le signe devant v(t0) dépendant du sens de la vitesse initiale de l'atome. Il existe donc un instant t2 tel que :

⃗

v(t₂) = ⃗v(t₁) (2.29) A cet instant la condition de résonance 2.27 est donc de nouveau vériée, et l'atome subit un second cycle d'absorption-émission stimulée. Nous avons ainsi :

t₂ = t₁+ 2^vrec g (2.30) p -hk 0 hk Energie totale E = f(p) k₁ k₂ F = mg

Figure 2.7  Représentation de l'oscillation de Bloch dans un diagramme énergie-impulsion. La transition à deux photons intervient lorsque l'impulsion arrive en bordure de la première zone de Brillouin (en pointillés).

Et ainsi de suite, l'atome va subir périodiquement des cycles d'absorption-émission stimulée (gure 2.7), sa vitesse oscillant périodiquement entre ⃗v(t1) et ⃗v(t1) + 2⃗v_rec. L'atome eectue donc des oscillations de Bloch dont la période tB est donnée par :

t_B = 2^vrecul

g (2.31)

La gure 2.8, extraite de [106], présente une simulation du phénomène d'oscillations de Bloch dans un réseau optique soumis à l'accélération de pesanteur. On constate bien que, pour une vitesse initialement nulle, l'atome va osciller périodiquement entre - vrec et + vrec, concer-vant ainsi une vitesse moyenne nulle pour les atomes. Du point de vue de leur position, celle-ci oscille également autour d'une position moyenne. Ainsi, les atomes restent piégés dans le réseau et sont en lévitation.

Dans cette partie, nous avons ainsi montré comment faire léviter des atomes dans un réseau optique, soumis au champ de pesanteur, grâce aux oscillations de Bloch. Dans notre expérience, nous désirons déplacer les atomes aux deux positions de mesure pour la gradiométrie, et plus particulièrement, nous désirons séparer un nuage d'atomes froids à l'aide de deux réseaux mobiles.

2.2. SÉPARATION D'UN NUAGE ATOMIQUE

Figure 2.8 Représentation de la vitesse (à gauche) et de la position (à droite) d'un atome réalisant des oscillations de Bloch, en fonction du temps. En pointillés la vitesse et la position d'un atome en chute libre, de même vitesse et position initiales. On a ici q = v

vrec, τ = t

tB et ς = z

vrectB. Les position et vitesse de l'atome sont initialement nulles. Figure extraite de [106].