Interférométrie atomique

b, ⃗p + ~⃗ke

⟩

. Cette impulsion est donc l'équivalent atomique d'un miroir en optique (gure 2.3). Il est important de noter que dans l'équation 2.7, la phase eective des lasers Raman est inscrite sur la fonction d'onde des atomes lors de la transition Raman. Ce point est important car c'est ainsi que les lasers vont "enregistrer" dans la phase des atomes l'information concer-nant les positions, et au nal l'accélération de pesanteur.

Ainsi, avec les transitions Raman stimulées, nous avons donc pu dénir les équivalents atomiques des séparatrices et miroirs. En combinant les diérentes impulsions Raman π et π/2, à des intervalles de temps libre, on peut créer des interféromètres atomiques.

2.1.2 Interférométrie atomique

Dans le point précédent, nous venons d'expliquer comment réaliser les éléments de base pour réaliser un interféromètre atomique, à savoir les séparatrices et les miroirs atomiques. En combinant ces éléments à des intervalles de temps libre, on peut concevoir diérents types d'interféromètres. Dans le cadre de notre étude, nous avons choisi de réaliser un interféromètre de type Mach-Zehnder (gure 2.4).

Temps π/2 π π/2 z g 0 T 2T Impulsions laser Raman a,p a,p a,p a,p b,p+hk_eff b,p+hk_eff b,p+hk_eff A B C D

Figure 2.4 Schéma de principe de l'interféromètre atomique de type Mach-Zehnder. Les impulsions Raman permettent de séparer et recombiner les paquets d'onde atomique. Ici, les atomes sont soumis à l'accélération de pesanteur g. En sortie d'interféromètre, une mesure par uorescence permet de déterminer la population dans chacun des états.

de trois impulsions laser Raman : séparatrice π/2, miroir π et recombinaison π/2. La première impulsion π/2 sépare la fonction d'onde atomique en une superposition cohérente des états

|a, ⃗p⟩ et _{b, ⃗p + ~⃗k}

e

⟩

. Les deux états se propagent librement pendant un temps T, puis une impulsion π dévie le paquet d'onde sur chacun des bras, en échangeant états externes et états internes. Après un nouveau temps T, les deux paquets d'onde se rejoignent et une dernière impulsion π/2 les recombine et les fait interférer.

Dans un interféromètre atomique, c'est le déphasage qui va déterminer la probabilité d'avoir l'atome dans un état d'impulsion donné. Un avantage des transitions Raman stimulées est l'étiquetage de l'état interne par l'état externe, ce qui permet de détecter, par exemple, l'état 

b, ⃗p + ~⃗ke

⟩

en sortie d'interféromètre en faisant uorescer les atomes. En pratique, on détecte donc les franges d'interférence en mesurant la proportion d'atomes Pb dans l'état_{b, ⃗p + ~⃗k}

e ⟩ , donnée par : P_b = ^Nb N_a+ N_b ^{= P0}− A cos∆ϕ (2.9)

N_aet Nb sont le nombre d'atomes détectés par uorescence dans les états |a, ⃗p⟩ et_{b, ⃗p + ~⃗k}

e

⟩ respectivement. Les quantités P0et A sont respectivement le décalage et l'amplitude des franges, et ∆ϕ est le déphasage de l'interféromètre. Ainsi, la diérence de marche entre les deux bras de l'interféromètre va moduler la probabilité d'un atome d'être dans un état donné. Dans le cadre de notre étude, l'accélération de pesanteur agit comme une perturbation sur les bras de l'interféromètre, et va donc s'inscrire dans le déphasage.

Pour réaliser le calcul du déphasage en sortie de l'interféromètre atomique, il existe dié-rentes méthodes [92]. Il y a pour cela l'approche mécanique quantique classique [93], mais aussi les méthodes basées sur l'intégrale de chemin de Feynman [94, 95], ou celles sur les matrices ABCD [96, 97]. Pour déterminer le déphasage total, nous utilisons l'approche basée sur l'inté-grale de chemin de Feynman, en le divisant en trois contributions qui sont le déphasage dû à la propagation libre entre les impulsions Raman ∆ϕprop, le déphasage dû à l'interaction avec les impulsions laser ∆ϕlaser, et enn le déphasage lié à la séparation des paquets d'onde en entrée d'interféromètre ∆ϕsep. Le déphasage total s'écrit donc :

∆ϕ = ∆ϕ_prop+ ∆ϕ_laser+ ∆ϕ_sep (2.10) Pour des atomes en chute libre soumis uniquement à la gravité, ce qui est le cas pour les gravimètres, les déphasages dus à la propagation et à la séparation sont nuls, grâce à la symétrie parfaite de l'interféromètre [94, 95]. Le déphasage total est donc simplement égal au déphasage dû à l'interaction avec le laser :

∆ϕ = ∆ϕ_laser = (ϕ_e,1(A)− ϕ_e,2(B))− (ϕ_e,2(C)− ϕ_e,3(D)) (2.11)

ϕ_e,i est la phase eective des faisceaux Raman, imprimée sur les fonctions d'onde atomique à l'instant de la i-ème impulsion. Les points A, B, C, et D sont donnés par la gure 2.4. On visualise donc bien, ici, que l'information sur l'accélération de pesanteur va être inscrite par le laser, dans la phase des atomes. On remarque également que la phase interférométrique dépend directement de la stabilité de la phase laser.

2.1. ACCÉLÉROMÈTRE ATOMIQUE En pratique, pour la réalisation de notre interféromètre, les faisceaux laser Raman sont en conguration rétro-rééchie, sur un miroir xe lié au référentiel du laboratoire. Les atomes étant en chute libre sous l'eet de l'accélération de pesanteur g, la phase du laser Raman, gravée sur la fonction d'onde atomique, va donc dépendre de la position relative r(t) entre le miroir de rétro-réexion et le centre de masse des atomes. En supposant que l'on a une onde laser plane, la phase gravée sur la fonction d'onde des atomes, par une impulsion réalisée à l'instant

t_i s'écrit :

ϕ_e(t_i) = ⃗k_e· ⃗r(ti) + δϕ(t_i) (2.12)

δϕ(t_i) correspond aux bruits diérentiels de phase laser, vues par les atomes, au cours de chaque impulsion. La position du centre de masse des atomes, par rapport au miroir, s'écrit donc pour chaque position :

⃗r(A) = ⃗r₀ ⃗ r(B) = ¹₂⃗gT2+ (⃗v₀+ 2⃗v_rec)T + ⃗r₀ ⃗r(C) = ¹₂⃗gT2+ ⃗v₀T + ⃗r₀ ⃗r(D) = 2⃗gT²+ (⃗v₀+ ⃗v_rec)2T + ⃗r₀ (2.13) ⃗

v₀ et ⃗r0 étant respectivement la vitesse initiale et la position initiale du centre de masse des atomes, et ⃗vrec étant la vitesse de recul ajoutée. On obtient ainsi le déphasage nal :

∆ϕ = ⃗k_e·⃗g T2

+ δϕ(0)_| − 2δϕ(T ) + δϕ(2T )_{{z }} δϕ

(2.14) Grâce à la symétrie de l'interféromètre, les termes en position et vitesse initiales s'annulent, il ne reste donc plus que les termes quadratiques d'accélération. δϕ correspond nalement au bruit de phase total induit par le laser sur le déphasage de l'interféromètre. Ce terme peut être réduit, si nécessaire, à l'aide d'un asservissement en phase des lasers, ou la génération de deux raies laser par modulation.

Ainsi, en ne tenant pas compte du bruit de phase laser, le déphasage en sortie d'interféro-mètre, pour une accélération uniforme, ne dépend que du vecteur d'onde eectif ke et du temps T pendant lequel les atomes sont soumis à l'accélération de pesanteur g. Le facteur d'échelle S de l'interféromètre est donc :

S = ^∂∆ϕ

∂g ^{= keT}

2 (2.15)

Ce facteur d'échelle détermine la sensibilité du gravimètre : plus S est grand et plus la sen-sibilité à l'accélération de pesanteur est importante. Il est également important de noter que, d'après l'équation 2.14, la mesure réalisée par le gravimètre n'est que la projection de l'accélé-ration de pesanteur sur l'axe sensible, qui est xé par les faisceaux laser Raman.

Le calcul du déphasage nous a donc montré l'inuence de l'accélération de pesanteur sur l'interféromètre atomique. Néanmoins, en pratique, le déphasage mesuré ne prend pas en compte que l'accélération de pesanteur. On suppose que le bruit de phase laser est nul. Les atomes sont

en chute libre pendant l'interférométrie atomique. D'après l'équation 2.1, pour des faisceaux Raman contra-propageant, la condition de résonance est sensible à l'eet Doppler. Cet eet varie linéairement avec le temps pour des atomes uniquement soumis à g. En conséquence, il faut balayer linéairement, au cours du temps, la diérence de fréquences laser ω1− ω2 = ω₁⁽⁰⁾− ω₂⁽⁰⁾+ 2παt pour maintenir la condition de résonance lors des trois impulsions Raman. Cette rampe de fréquence introduit un déphasage supplémentaire dans l'interféromètre en 2παT2, ce qui nous donne le déphasage nal, avec bruit de phase négligé :

∆ϕ = (2πα− ⃗ke·⃗g)T2 (2.16) Le principe de mesure de g consiste donc à trouver la vitesse de balayage α qui compense exactement l'eet Doppler. Pour cette valeur de α, la phase en sortie d'interféromètre est nulle et ne dépend pas de T. La valeur de l'accélération vaut alors :

g = ^2πα

k_e (2.17)

En pratique, en plus du bruit de phase laser, la mesure du déphasage est entachée de bruits supplémentaires, comme le bruit de vibration du miroir, qu'il faut pouvoir quantier et contrôler pour obtenir les meilleures performances.

Ici, nous n'avons fait apparaître que la contribution de g. En pratique, d'autres phénomènes, non négligeables, interviennent comme les rotations et les gradients de pesanteur [95].