Organisation spatiale de la déformation : objectifs et mesures

L’observation des réseaux de failles a montré que ceux-ci sont organisés spatialement à différentes échelles (géométries fractales ; cf. chapitre I). Le passage d’une échelle à l’autre se fait par l’intermédiaire des lois d’échelle. Ces lois d’échelle permettent ainsi des caractériser l’organisation spatiale des milieux hétérogènes, caractéristiques des milieux naturels.

Les champs de déformation à différentes échelles ont ainsi été calculés à partir des champs de déplacement, afin de caractériser l’organisation spatiale des déformations. La déformation calculée ici est la déformation équivalente du tenseur des déformations tri-dimensionnel (cf. paragraphe 2.2). Le tenseur des déformations correspond aux gradients des déplacements mesurés à une certaine échelle. Si la déformation mesurée est indépendante de l’échelle d’observation, elle est alors représentative du système et le choix de l’échelle à laquelle les mesures sont faites n’a que peu d’importance. Par contre, le choix et la connaissance de l’échelle deviennent primordiaux dans le cas où la déformation moyenne mesurée dépend de l’échelle d’observation. Dans ce cas, le système ne présente pas d’échelle caractéristique, et la variation de la déformation avec l’échelle permet de définir des lois d’échelles. Ces lois d’échelles donnent les relations existantes entre les déformations mesurées à des échelles différentes.

A partir des expériences, les calculs sur les champs de déplacement peuvent être effectués selon deux cas.

Premier cas (cf. Figure 70-A) : une échelle de résolution est fixée pour le calcul des déformations puis le champ de déformation ainsi obtenu est observé à différentes échelles. L’organisation spatiale de ce champ de déformations (scalaires) va pouvoir être caractérisée par une loi de puissance dont l’exposant dépend du degré d’occupation de l’espace des fortes déformations par rapport aux plus faibles.

Deuxième cas (cf. Figure 70-B) : Dans ce cas, c’est l’échelle de résolution qui varie. Pour chaque échelle de résolution, le champ de déformation est recalculé. De la même façon, la variation de la déformation moyenne avec l’échelle de résolution permet de définir des lois d’échelles et les corrélations pouvant exister au sein du champ de déplacements. L’accent a été mis sur ce deuxième cas dans la mesure où il permet de conserver « l’information tensorielle » contenue dans le champ de déplacements. Parmi les nombreux calculs effectués, deux méthodes portant sur la manière de calculer la déformation à différentes échelles de résolution et donnant des résultats proches ont été retenues. Il s’agit de la « méthode dite concentrique » et de la « méthode dite sans recouvrement ».

Figure 70 : Calculs des champs de déformation en fonction de l’échelle. A : La résolution à laquelle est calculée la déformation reste constante, l’échelle d’observation est variable. B : La déformation est calculée à différentes échelles de résolution (à mailles croissantes pour échelles

de résolution croissantes).

3.1. Calcul de la déformation moyenne en faisant varier l’échelle de résolution (cf. Figure 70-B)

Les problèmes rencontrés lorsque l’on calcule la déformation à différentes résolutions sont généralement liés à la taille finie de l’expérience et au nombre de points de mesures disponibles. En effet, pour des échelles de résolution importantes (grandes mailles), le nombre de points, sur lesquels les déformations sont calculées, est très limité, et à la limite, quand l’échelle de résolution est très

grande, seule la zone centrale est couverte. De même, si le recouvrement entre les zones d’observation n’est pas autorisé, le nombre de points de mesures à grande échelle est très faible. Les deux méthodes présentées ci-après tiennent compte de ces limitations et privilégient soit le nombre de points de mesure en autorisant le recouvrement (« méthode dite concentrique »), soit le non recouvrement des zones de mesure pour ne pas privilégier la zone centrale (« méthode dite sans recouvrement »).

a. Méthode dite concentrique

La méthode dite concentrique consiste à calculer la déformation moyenne sur une zone centrale de l’expérience, en faisant varier l’échelle de résolution pour chaque point de cette zone. La Figure 71 présente la configuration adoptée pour le calcul des déformations. Une zone centrale en grisé est choisie ; en général ses dimensions correspondent au tiers ou à la moitié des dimensions de l’expérience. Pour chaque point de mesure de cette zone, la déformation est calculée en faisant varier l’échelle de résolution autour de ces points de manière concentrique et en autorisant le recouvrement des mailles de points de mesure voisins. La distance entre les points de mesure est fixée par les données des champs de déplacements ; cette distance correspond donc à l’échelle de résolution minimale. Le calcul de la déformation pour une résolution donnée correspond à la moyenne des déformations équivalentes calculées sur les 2 fois 2 triangles inscrits dans le carré de côté R (R correspondant à l’échelle de résolution). Pour chaque échelle de résolution, la déformation est ensuite moyennée sur l’ensemble des points de la zone d’étude.

Figure 71 : Cadre de la méthode dite concentrique : pour chaque point de la zone d’étude choisie en grisé de largeur W, la déformation est calculée à différentes échelles de résolution.

L’avantage majeur de cette méthode réside dans le fait que la déformation moyenne est calculée sur le même nombre de points quelle que soit l’échelle de résolution. Ceci assure une bonne représentativité de la déformation moyenne calculée. La position centrale de la zone et sa réduction de 1/3 ou 1/2 par rapport à la taille de l’expérience évitent de prendre en compte les points de mesures aberrants situés sur les bordures ou affectés par les conditions aux limites. Elle permet également de ne pas atteindre trop rapidement les bords du système pour des échelles de résolution plus grandes.

Figure 72 : Influence du recouvrement sur le poids donné à certaines zones dans le calcul de la déformation.

En revanche, l’inconvénient de cette méthode réside dans le recouvrement des mailles carrées dès que l’échelle de résolution dépasse l’échelle de résolution minimale. Ce recouvrement a pour effet de donner plus de poids à la zone centrale dans le calcul de la déformation moyenne. La Figure 72 montre l’influence du recouvrement sur le poids donné au centre de l’expérience pour une zone centrale étudiée de 15 points et une échelle de résolution égale au triple de la distance entre les points. L’application de la méthode concentrique montre que les trois points centraux auront subi 6 recouvrements contre 4 pour les points les plus externes (cf. Figure 72, droite). La méthode donnera ainsi dans cet exemple un poids 1.5 fois plus important à la zone centrale dans le calcul de la déformation moyenne.

Dans ces calculs, la taille du système est variable puisque la surface de l’expérience se déforme au cours du temps. En général, la longueur a diminué de 25 à 30% selon le taux de raccourcissement final, et la largeur peut également augmenter dans les mêmes proportions. La zone étudiée suit donc les déformations que subit la surface de l’expérience en conservant les mêmes rapports de longueurs et de largeurs tout au long de l’expérience.

b. Méthode dite sans recouvrement

La méthode dite sans recouvrement consiste à calculer la déformation moyenne à différentes résolutions sur une zone carrée découpée en mailles carrées, dont les valeurs des côtés correspondent à l’échelle de résolution considérée (cf. Figure 70 B). De la même manière que pour la méthode concentrique, la zone carrée d’étude est située au centre de l’expérience. Cette zone peut avoir soit une taille constante correspondant à la taille du plus grand carré initial inscrit dans l’expérience, soit une taille variable en prenant le plus grand carré inscrit dans l’expérience au cours du raccourcissement. En prenant une taille variable, la taille de la zone carrée centrale augmente considérablement dans la mesure où au cours du raccourcissement, l’expérience tend vers un rapport de forme de 1. On prend donc en compte des zones plus larges englobant par exemple les zones d’ombre qui abaissent fortement la déformation moyenne de la zone. Le choix d’une taille variable semble donc peu

judicieux. Lors du découpage de la zone centrale en mailles carrées, certains sommets de mailles peuvent ne correspondre à aucun point de données. Dans ce cas, les déplacements de ces points sont recalculés par interpolation bi-linéaire.

L’avantage de cette méthode réside dans le non-recouvrement des mailles à l’intérieur de la zone considérée. Aucune zone n’est ainsi privilégiée. Le choix d’une zone centrale que les mailles ne vont pas dépasser permet également d’investiguer des valeurs de déformations à plus grande échelle de résolution sans pour autant être affecté par les bordures du système.

L’inconvénient qui en découle concerne le faible nombre de mailles, sur lesquelles va être calculée la déformation à grande échelle. Pour pallier ce problème, la zone centrale est autorisée à se déplacer de 1 pixel dans n’importe quelle direction. Les calculs de la déformation moyenne à différentes résolutions sont donc moyennés sur l’ensemble des positions adoptées par la zone centrale, prises aléatoirement dans la limite du pixel autorisé. Le nombre de mailles à grande échelle reste cependant très faible par rapport à celui obtenu à plus petite échelle. Le rapport entre le nombre de mailles à grande échelle N2 et celui à petite échelle N1 vaut (R1/R2)² ; R1 étant la valeur de l’échelle de résolution à petite échelle et R2 celle à grande échelle, respectivement.

c. Comparaison des méthodes - Effet du bruit et influence du choix de l’incrément de déformation et de la taille de la zone centrale

La Figure 73 compare la déformation moyenne calculée pour l’expérience 15 (Γ = 1.6) à 12.4% de raccourcissement par la méthode dite concentrique et par la méthode dite sans recouvrement. La déformation est mesurée dans les deux cas pour un incrément de raccourcissement de 0.44%.

Les deux courbes présentent une évolution assez similaire. Au delà d’une résolution de 100 mm, le manque de points se fait sentir pour la méthode sans recouvrement (trois points entre 100 et 300 mm). De plus, ces points correspondent à la moyenne des déformations sur très peu de mailles, ce qui donne un aspect chaotique à la courbe pour une résolution supérieure à 100 mm.

Les deux méthodes vont être par ailleurs affectées par les imprécisions contenues dans les données de déplacement. Le choix de l’incrément de déformation et de la taille de la zone centrale va également affecter la morphologie de ces courbes.

Figure 73 : Comparaison de l’évolution de la déformation moyenne en fonction de l’échelle de résolution pour « l’expérience 15 » à 12.4% de raccourcissement total. La déformation est

calculée pour un incrément de raccourcissement de 0.44%. La méthode concentrique est appliquée à une zone faisant la moitié des dimensions de l’expérience et la méthode sans recouvrement conserve la taille du plus grand carré inscrit initialement dans l’expérience.

Effet du bruit

Un cas simple a été construit pour tester l’influence du degré d’incertitude des valeurs de déplacement sur le calcul de la déformation moyenne à différentes échelles de résolution. La Figure 74-A présente la configuration du milieu déformé : il s’agit d’un cisaillement de largeur l orienté à 60° par rapport à l’axe de compression. La zone considérée a une surface de 560*560 pixels et l’espacement entre les points de mesure est de 7 pixels. La déformation moyenne est calculée en fonction de l’échelle de résolution, sans recouvrement de mailles. Aux données de déplacement a été rajoutée une incertitude qui varie entre 0.01 et 1 (cf. Figure 74-B). La déformation est calculée pour un incrément de raccourcissement de 0.4%. Les courbes obtenues sur la Figure 74-B montrent que l’incertitude des données affecte fortement les valeurs de la déformation moyenne calculée à petite échelle de résolution et que la perturbation peut se propager à plus grande échelle si l’incertitude est importante. Le déplacement selon l’axe y (vertical) imposé à la bordure du système est de l’ordre de 2.2 pour un raccourcissement de 0.4%. Une incertitude de 1, donc du même ordre de grandeur que le déplacement, va affecter tout le système, masquant l’évolution réelle de la déformation moyenne. Au contraire, pour une incertitude de l’ordre du centième de la valeur des déplacements (0.01 ou 0.03), le système n’est affecté que pour des résolutions inférieures au dixième de la largeur de l’expérience. La pente à l’origine des courbes (exposant de lois de puissance, cf. Figure 74-B) est donc entièrement contrôlée par les incertitudes sur les valeurs de déplacement. L’exemple présenté ici a des caractéristiques proches des expériences présentées précédemment : même largeur, même pourcentage de raccourcissement, même espacement entre les points de mesures (en pixels). L’imprécision sur les données de déplacement donnée par Aramis est inférieure ou égale à 0.03. La Figure 74-B indique donc que la valeur de la déformation moyenne sera affectée par cette incertitude jusqu’à une échelle de 40-50 pixels.

Figure 74 : Etude sur un cas simple de l’influence de l’incertitude sur les déplacements et du choix de l’incrément de déformation. A- Configuration prise : cisaillement orienté à 30°. B- Influence de l’incertitude sur les déplacements. C- Influence du choix de l’incrément de raccourcissement. Les pentes des courbes à l’origine (échelle log-log) sont données sur les

graphes.

Choix de l’incrément de raccourcissement pour le calcul des déformations

Sur le même exemple présenté dans la Figure 74-A, différents incréments de raccourcissement ont été testés. L’incertitude sur les déplacements a été fixée à 0.03. La Figure 74-C montre l’influence du choix de l’incrément de raccourcissement sur le calcul de la déformation moyenne. Pour un faible incrément de raccourcissement (0.001 ou 0.1%), la valeur de la déformation (qui devrait être constante quelle que soit l’échelle) est plus sensible aux incertitudes que lorsque l’incrément de raccourcissement est important (0.1 ou 10%). Le choix de l’incrément modifie donc l’incertitude apparente des données de déplacements. Dans les expériences présentées, l’incertitude est de l’ordre de 0.03 mais l’incrément de raccourcissement peut varier entre 0.3% et 2%. La Figure 75 présente pour l’expérience 15 (Γ = 1.6) à 12.4% de raccourcissement total la déformation moyenne calculée avec des incréments de raccourcissement de 0.4% et 1.9%. L’effet de l’incertitude des données est effectivement présent, puisque pour un incrément de raccourcissement de 1.9%, la forte décroissance

de la déformation moyenne avec l’échelle de résolution observée pour un incrément de 0.4% n’existe plus. Les deux courbes se confondent au-dessus d’une échelle de résolution de l’ordre de 40 mm ; cette échelle de résolution correspond donc à la limite d’influence de l’incertitude liée aux déplacements dans l’expérience 15 (Γ = 1.6).

Figure 75 : Evolution de la déformation moyenne calculée par la méthode concentrique pour deux incréments de raccourcissement (0.4% et 1.9%). La déformation moyenne calculée pour l’incrément de 1.9% est normalisée par rapport à celle calculée pour un incrément de 0.4%.

Influence de la taille de la zone centrale

Pour la méthode concentrique plus particulièrement, dans laquelle l’échelle de résolution peut dépasser la taille (largeur ou longueur) de la zone centrale, le choix de la taille de la zone d’étude a des conséquences sur l’évolution de la déformation moyenne en fonction de l’échelle de résolution. La Figure 76 illustre l’évolution de la déformation moyenne avec l’échelle sur un cas simple où la déformation est localisée le long d’une structure infinie (à l’échelle de l’expérience) et linéaire. La zone d’étude de taille (W*L) est grisée ; ses dimensions correspondent au tiers de celles de l’expérience. L’évolution des déplacements selon la largeur de l’expérience est donnée par le profil des déplacements selon x (cf. Figure 76-A). De très faibles gradients sont imposés de part et d’autre du cisaillement majeur pour conserver une déformation non nulle dans le système. Les calculs de la déformation moyenne <I> et de la moyenne des déformations au carré <I²> montrent un changement d’évolution de la déformation au-delà d’une certaine échelle de résolution correspondant à la largeur de la zone étudiée (W, c’est-à-dire 287/3) (cf. Figure 76-B). Dans le cas d’une déformation localisée le long d’une structure linéaire, la déformation moyenne est constante avec l’échelle de résolution pour une résolution inférieure à la taille du système, puis décroît en –1/R au-delà. Pour la moyenne des déformations au carré, la décroissance passe d’une dépendance avec l’échelle en –1/R à –1/R² au-delà de cette même résolution.

Figure 76 : Illustration de l’influence de la taille de la zone centrale sur un cas simple. A : Présentation du cas simple : cisaillement de l’expérience avec localisation de la déformation le

long d’un cisaillement central linéaire et infini (lié à un saut des déplacements selon x). B : Evolution de la moyenne des déformations et des déformations au carré en fonction de la résolution R. Les déformations sont calculées sur la zone centrale grisée. C : Discrétisation de la

zone centrale. Ig correspond à la déformation des mailles contenant le cisaillement central pour une résolution de 1 et Ip celle des mailles ne recoupant pas le cisaillement ; Ip << Ig.

Le changement de pente observé sur la Figure 76-B peut être obtenu de façon analytique après discrétisation du milieu. La Figure 76-C donne une discrétisation de la zone d’étude sans recouvrement. Pour une résolution de R=1, le nombre de mailles couvrant la zone vaut (L/1 * W/1). Ig

Ip à la déformation des mailles ne contenant pas le cisaillement. La valeur de Ip est très inférieure à celle de Ig ; elle est donc négligée.

Pour une résolution de R=1, la déformation moyenne <I> vaut :

W Ig ~ W * L Ip * L) -W * L ( Ig * L I_>= + < car Ip<<Ig (3- 3)

Pour une résolution R inférieure à W, la valeur de la déformation des mailles contenant le cisaillement vaut Ig/R. Les autres mailles ont une valeur de Ip constante négligeable. Sans recouvrement, <I_R> vaut alors :

W Ig W * L Ig * L (W/R) * (L/R) (Ig/R) * (L/R) ~ I_R> = = < (3- 4)

Si l’on considère du recouvrement entre les mailles, alors le nombre total de mailles est toujours le même : L*W. Par contre, le nombre de mailles recouvrant le cisaillement central est de L*R. <IR> vaut : W Ig W * L (Ig/R) * R * L ~ I_R> = < (3- 5)

Pour une échelle de résolution inférieure à W, <IR> est indépendante de l’échelle de résolution quelle que soit la méthode choisie, dans le cas d’une déformation localisée le long d’une structure linéaire.

Si l’échelle de résolution devient supérieure à W (ce qui peut être le cas dans la méthode concentrique), alors toutes les mailles de taille R>W, contiennent le cisaillement central. <I_R> vaut alors : R Ig W * L (Ig/R) * W * L I_R>= = <

Pour une échelle de résolution supérieure à W, la déformation moyenne dépend de la résolution en 1/R. D’où la décroissance observée sur les courbes de la Figure 76-B.

Les mêmes calculs peuvent être effectués pour calculer la moyenne des déformations au carré <I²> en remplaçant Ig/R par (Ig/R)². Une décroissance des déformations en loi de puissance est alors obtenue : en 1/R pour R<W et en 1/R² pour R>W.

Dans les expériences, les déformations observées ne sont pas aussi simples. En effet les structures ne sont ni linéaires, ni infinies. Les exposants des lois de puissance ne vont pas être obligatoirement entiers. Cependant, cette rupture de pente, même plus progressive, existe ; pour l’expérience 15, pour une zone centrale dont les dimensions sont de moitié par rapport à la taille de l’expérience, la rupture de pente devrait se faire au-delà de 175 mm. Sur la Figure 75, elle semble se produire vers une échelle de résolution de 200.

d. Choix de la méthode

Les deux méthodes donnent des résultats assez proches. Cependant, compte-tenu de l’effet de l’incertitude sur les déplacements, les déformations moyennes calculées à petites échelles de

résolution ne peuvent être prises en compte. La méthode dite concentrique permet de gagner en nombre de points aux échelles de résolution plus grandes, non affectées par les incertitudes sur les déplacements. En revanche, à grande échelle, le calcul des déformations est limité par la taille de la zone centrale. Cependant, à ces grandes échelles de résolution le système est probablement affecté par les conditions aux limites du système, comme le montre la courbe de la Figure 73 obtenue par la méthode sans recouvrement.

Le choix d’un incrément de 2% de raccourcissement permet de limiter les effets liés à l’incertitude sur les déplacements. Il permet de calculer l’évolution de la déformation moyenne sur une plus grande gamme d’échelles de résolution. Cependant, de plus petits incréments pour le calcul de la déformation