Lois d’échelles

L

*

L

Cette fonction est définie pour un temps t compris td et tf. td correspond au temps pour lequel L*/L0

est égal à 1 (valeur maximale). Pour des temps inférieurs à td, la valeur de L*/L0 est supposée rester constante ou faiblement décroissante. La valeur de t_d moyenne pour l’ensemble des expériences peut être estimée à 100 s (cf. Figure 89, en poursuivant les courbes jusqu’à une valeur de L*/L0 égale à 1). tf correspond au temps d’arrêt de la décroissance principale de L*/L0, comme vu précédemment. ψ est une constante qui varie entre 3.4 et 4.5.

La valeur de l’exposant est indépendante de Γ. Parmi les paramètres influents, la viscosité associée à la vitesse de compression pourrait être envisagée. Cependant, dans la série d’expériences exposée, la viscosité est un paramètre à faible variation d’amplitude (entre 3 et 5.10⁴ Pa.s). L’effet de ses variations ne peut donc être testé. L’exposant est en revanche insensible aux variations de la vitesse de compression. Il se pourrait que le nombre d’Argand ait également une influence : cela sera étudié au paragraphe 6 de ce chapitre.

5.2. Lois d’échelles

La localisation de la déformation est mise en évidence par l’augmentation de la déformation moyenne au cours du temps (et par la décroissance de la longueur caractéristique L*, respectivement). L’organisation spatiale de la déformation va être décrite par l’analyse à différentes échelles de la

déformation moyenne. La méthode concentrique a donc été appliquée à des expériences présentant différents paramètres fragiles/ductiles. De façon similaire à l’étude de l’expérience 15, des lois d’échelle sont définies.

Γ α1 moyen α2 moyen Dc moyen

6.1 0.26±0.06 0.9±0.2 1.62 4.6 0.21±0.03 0.7±0.06 1.72 2.0 0.07±0.03 0.25±0.15 1.89 1.6 0.08±0.03 0.24±0.05 1.92 1.2 0.07±0.03 0.15±0.03 1.99 1.0 0.04±0.02 0.1±0.03 1.98 0.5 0.05±0.02 0.1±0.05 2

Tableau 8 : Exposants α1, α2 et Dc moyens après localisation calculés pour différents paramètres fragiles/ductiles. L’incrément pour les calculs de déformation vaut entre 0.4% et 0.6%.

Le Tableau 8 présente les valeurs des exposants α1, α2 et Dc moyens calculés après localisation de la déformation en fonction de Γ pour des déformations mesurées sur de petits incréments de raccourcissement (entre 0.4% et 0.6%). α1 (α2, respectivement) correspond à l’exposant de la loi de puissance observée l’évolution de la moyenne des déformations <I> (la moyenne des déformations au carré <I²>, respectivement) avec l’échelle. Dc est la dimension de corrélation (cf. §4.2). Les mêmes exposants ont été calculés pour des incréments de déformation de 2% ; les valeurs de dimension de corrélation Dc obtenues sont similaires.

Ces exposants caractérisent les fluctuations de l’intensité de la déformation. Comme mentionné précédemment, l’exposant α2 met davantage en valeur ces fluctuations que α1. Cependant, il est remarqué que α1 n’est pas constant contrairement aux études qui garderaient une résolution constante (cf. § 3.2) dans le calcul des déformations moyennes. Dans la mesure où, dans les théories d’homogénéisation, la déformation moyenne intervient dans la définition des courbes contrainte – déformation, la variation de α1 en fonction de l’échelle ne permet pas de définir une courbe σ=f(ε) unique.

Pour illustrer l’influence du paramètre fragile/ductile sur les exposants calculés, la Figure 91 présente l’évolution de α1 et α2 en fonction de Γ.

Figure 91 : Evolution des exposants moyens des lois de puissance calculés après localisation en fonction du paramètre fragile/ductile Γ.

D’après la Figure 91, α1 et α2 augmentent plus ou moins linéairement avec Γ en proportions différentes pour chacun des exposants.

Figure 92 : Evolution de la dimension de corrélation Dc après localisation avec le paramètre fragile/ductile Γ. Dc est calculée à partir des valeurs moyennes de α1 et α2.

La Figure 92 présente l’évolution de la dimension de corrélation Dc calculée à partir des exposants α1 et α2 selon l’équation 3-21 en fonction du paramètre fragile/ductile. Pour des valeurs de Γ égales à 0.5, la déformation reste répartie de façon homogène à la surface de l’expérience (Dc= 2). Pour des valeurs inférieures à 0.5, la répartition est supposée être également homogène. Au contraire, pour des valeurs plus importantes de Γ, la dimension de corrélation diminue de façon linéaire avec Γ (avec une

pente de – 0.07). Elle atteint une valeur de 1.62 pour un Γ de 6.1. Cette décroissance de la dimension de corrélation est cohérente avec la décroissance de la dimension fractale calculée sur les réseaux de failles (Davy et al., 1995).

L’organisation spatiale des déformations dépend donc de la rhéologie du milieu (décrite par Γ) et peut être caractérisée par des lois d’échelles dont les exposants dépendent de la rhéologie du milieu.

L’organisation spatiale des déformations n’est cependant pas acquise dés le début du raccourcissement. L’évolution de la dimension de corrélation au cours du raccourcissement a été étudiée sur quelques expériences (cf. Figure 93). La dimension de corrélation est égale à 2 au début du raccourcissement. Puis elle va décroître et atteindre une valeur qui dépend linéairement de la rhéologie du milieu (cf. Figure 92). Enfin, elle se stabilise à un niveau moyen tout en présentant des fluctuations. Ces fluctuations sont probablement liées à l’existence, à l’apparition ou à la croissance des failles ; elles témoignent du « dynamisme » du système après localisation. Les fluctuations de la valeur de Dc sont d’autant plus importantes que le paramètre fragile/ductile est important. En effet, dans le cas d’expériences très localisantes, le nombre de failles étant très faible, l’apparition d’une faille ou l’arrêt d’activité d’une faille aura une répercussion plus importante sur l’organisation des déformations dans le milieu. Le lien entre la déformation et les failles sera traité dans le chapitre IV.

Figure 93 : Evolution de la dimension de corrélation Dc en fonction du raccourcissement pour des expériences présentant différents paramètres fragiles/ductiles.

Figure 94 : Evolution de la dimension de corrélation Dc en fonction du temps pour des expériences ayant différents paramètres fragiles/ductiles

Dans la mesure où l’évolution de la localisation est uniquement dépendante du temps (cf. 5.1), l’évolution de Dc a également été exprimée en fonction du temps (cf. Figure 94). Une meilleure concordance temporelle dans les décroissances des Dc est effectivement observée. La décroissance, quand elle a lieu, semble commencer vers 4000 secondes (1h7min). La décroissance principale de Dc se termine aux alentours de 1000 secondes.

De plus, la fin de la chute principale de Dc a lieu en général (sauf pour l’expérience très localisante ; Γ=6.1) plus tardivement que la stabilisation de la déformation moyenne. Il y a donc une différence entre la localisation de la déformation moyenne dans le système et la localisation de la déformation le long de structures plus fines telles que les failles. En effet, une même déformation moyenne peut correspondre soit à une répartition homogène de cette déformation dans le système, soit à une répartition localisée le long de quelques failles uniquement. Ainsi, si la déformation moyenne diminue au cours du temps de façon similaire dans les expériences à Γ=1.6 et à Γ=1.2, l’évolution de Dc est radicalement différente. Dans un cas, Dc reste constante autour d’une valeur de 1.99-2. Dans l’autre, Dc décroît au cours du temps jusqu’à une valeur de 1.92 (cf. Figure 93 et Figure 94). La chute de la déformation moyenne ne suffit donc pas à caractériser entièrement la localisation.

Dans le cas de l’expérience présentant un paramètre fragile/ductile de 0.5, une chute de la déformation moyenne est observée ; cependant la dimension de corrélation reste égale à 2. En fin d’expérience, un réseau de failles très dense à peine visible se distingue effectivement, mais celui-ci est réparti de façon uniforme à la surface de l’expérience et la déformation ne semble pas se stabiliser. Cette expérience est effectivement classée à la frontière entre expérience localisante et non localisante. Un critère de localisation serait donc la prise en compte non seulement de la chute mais également de la stabilisation de la déformation moyenne. Enfin, en parallèle, la décroissance de Dc est un critère majeur pour la localisation sauf pour les faibles valeurs du paramètre fragile/ductile.