Ondes de surface

Ces ondes transversales et longitudinales peuvent se coupler lorsque le milieu de propagation est fini au travers des conditions aux limites donnant ainsi naissance `a des ondes inhomog`enes localis´ees proche des interfaces, appel´ees ondes de surface. Ce type d’onde fut pr´edit pour la premi`ere fois par Lord Rayleigh en 1885 [7] pour un mat´eriau isotrope semi-infini.

L’onde de Rayleigh

Afin de mettre en ´evidence les conditions d’apparition d’une onde de Rayleigh, nous consid´erons le cas d’un mat´eriau solide isotrope semi-infini born´e par une surface libre (figure 2.1). Nous recherchons une onde localis´ee en surface se propageant suivant x1, et repr´esent´ee par une com- binaison d’une onde transversale polaris´ee en x3(vibration selon x3) et d’une onde longitudinale, i.e. nous omettons l’onde transversale polaris´ee en x2 qui n’est pas coupl´ee avec l’onde longi- tudinale `a l’interface. Nous ne consid´erons donc que la composante As selon x2 du potentiel vecteur ~As. On peut alors poser :

ψs= F (x3)ei(ωt−kx1), et As= G(x3)ei(ωt−kx1). (2.9)

∂2_F ∂x32 − (k2− kL2)F = 0 avec kL= ω VL (2.10) ∂2G ∂x32 − (k2− k_T2)G = 0 avec kT = ω VT (2.11)

Si k < ki (i = T, L) les solutions pour G et F sont p´eriodiques et correspondent `a la somme d’une onde incidente et d’une onde r´efl´echie `a la surface libre. La recherche d’une onde de surface (d´ecroissance en x3) impose donc la condition k > kT > kL (VL > VT), i.e. l’onde de Rayleigh se propage `a une vitesse inf´erieure aux ondes transversales et longitudinales.

x

x

Vide  

Solide  

Figure 2.1: Milieu solide isotrope born´e par une surface libre.

Les solutions respectant la d´ecroissance en x3 sont alors :

F (x3) = F0e−γLx3 et G(x3) = G0e−γTx3, (2.12)

o`u γ_L2 = k2− k2

L et γT2 = k2− kT2. La condition `a la surface libre va alors expliciter le couplage entre les deux ondes et finalement la condition d’existence d’une onde de surface. L’annulation des contraintes `a la surface libre s’exprime :

T33= (Λs+ 2µs) ∂2ψs ∂x32 + Λs ∂2ψs ∂x12 + 2µs ∂2As ∂x3∂x1 = 0 (2.13) T31= µs  2 ∂ 2_ψ s ∂x3∂x1 −∂ 2_A s ∂x32 +∂ 2_A s ∂x12  = 0. (2.14)

((Λs+ 2µs)γL2 − Λsk2)F0+ 2iµskγTG0 = 0 (2.15)

2iγLkF0− (γT2 + k2)G0 = 0. (2.16)

Ce syst`eme d’´equation admet une solution non-triviale pour F0, G0 si :

4µsγLγTk2= ((Λs+ 2µs)γL2 − Λsk2)(γT2 + k2). (2.17)

En exprimant les γi et les ki, en divisant par ω4 et en multipliant par VT4, on retrouve alors l’´equation de Rayleigh sur V = ω_k :

4 VT V 2  VT2 V2 − 1 1/2  VT2 V2 − VT2 VL2 1/2 =  2VT 2 V2 − 1 2 . (2.18)

Cette ´equation admet 3 solutions dont une seule respecte k > kT (V < VT) qui traduit la condition de non radiation de l’onde de Rayleigh, i.e. l’´energie reste localis´ee `a l’interface. La solution VR de cette ´equation, appel´ee onde de Rayleigh, existe pour tous les solides et est telle que 0, 87VT < VR< 0, 96VT par une consid´eration sur le module de poisson.

Sens  de  propaga,on  

x₁  

x3   u1  

u₃  

Figure 2.2: Propagation d’une onde Rayleigh `a la surface d’un mat´eriau solide (droite). Le mouvement elliptique des particules s’inverse et d´ecroit avec la profondeur [113] (gauche).

La combinaison de l’onde longitudinale et transversale r´esulte en un mouvement elliptique des particules dont la composante tangentielle `a la surface est dirig´ee dans le sens inverse de la propagation (figure2.2). L’onde transversale p´en`etre plus en profondeur (γL< γT) et le sens de rotation des particules solides s’inverse lorsque u1 s’annule. Finalement, l’onde de Rayleigh est confin´ee dans une ´epaisseur de l’ordre de la longueur d’onde de surface λ .

Pour un mat´eriau anisotrope et/ou pi´ezo´electrique, ces ondes de surfaces existent ´egalement, mais exigent un mouvement en 3 dimensions de la surface, introduisant un couplage avec le d´eplacement parall`ele `a x2. Pour le niobate de lithium utilis´e au cours de cette th`ese, la vi- tesse de l’onde de ”quasi-Rayleigh” est d´etermin´ee num´eriquement et d´epend de la direction de propagation.

Diff´erents types d’ondes de surface

L’onde de Rayleigh est la seule onde de surface se propageant `a la surface d’un mat´eriau iso- trope non-pi´ezo´electrique semi-infini. Cependant d’autres types d’ondes peuvent ˆetre excit´ees lorsque le mat´eriau consid´er´e est pi´ezo´electrique, d’´epaisseur finie ou encore lorsque le milieu de propagation est inhomog`ene.

Au sein d’un mat´eriau fortement piezo´electrique poss´edant certaines propri´et´es de sym´etrie [113], des ondes de surface dite de Bleustein-Gulyaev purement transverses peuvent ˆetre excit´ees (figure2.3). L’´energie de ces ondes est localis´ee dans une ´epaisseur plus importante qu’une onde de Rayleigh ∼ 100λS.

Lorsque l’´epaisseur du solide est comparable `a la longueur d’onde λS, des ondes stationnaires peuvent se d´evelopper dans l’´epaisseur et donner naissance `a des ondes dites de plaques. Ces ondes se propagent `a des fr´equences discr`etes dans la direction ”longue” de la plaque (figure

2.3). On peut distinguer les ondes SH-APM (Shear Horizontal Acoustic-Plate-Mode) o`u l’onde stationnaire est transversale et les ondes de Lamb pr´esentant une polarisation quasi-elliptique `

a l’instar des ondes de Rayleigh. Ces derni`eres peuvent ˆetre sym´etriques ou antisym´etriques.

L’ajout d’une couche mince isotrope sur un mat´eriau pi´ezo´electrique semi-infini peut servir de guide pour des ondes transverses horizontales, appel´ees ondes de Love, `a la condition que la vitesse des ondes transverses dans la couche guidante soit inf´erieure `a celle dans le substrat pi´ezo´electrique. L’´energie est alors principalement localis´ee dans la couche mince (figure2.3).

Ces ondes de surfaces peuvent ˆetre s´epar´ees en deux cat´egories : les ondes transverses hori- zontales (SH) et les ondes polaris´ees quasi-elliptiques. Ces deux classes d’ondes sont utilis´ees en acoustofluidique, o`u un liquide est plac´e sur le solide, `a des fins diff´erentes [115]. Les ondes SH, transmettant peu d’´energie au fluide (cisaillement de la couche limite liquide), sont utilis´ees comme capteurs pour mesurer l’interaction de bio-mol´ecule avec la surface, l’adh´esion de cellules ou encore des propri´et´es physiques telles que la viscosit´e [115]. La seconde cat´egorie est utilis´ee, elle, pour actionner un liquide. En effet, ces ondes grˆace `a l’excitation de d´eplacements normaux `

a la surface peuvent g´en´erer une onde acoustique au sein du liquide et un transfert d’´energie efficace s’op`ere alors.

Onde  de  Bleustein-­‐Gulyaev   Onde  de  Love  

Onde  SH-­‐APM  

Onde  de  Lamb  symétrique   Onde  de  Lamb  an=symétrique  

Figure 2.3: Diff´erents types d’ondes de surface. Images des r´ef´erences [113] et [114].

Ondes d’actionnement microfluidique

Les ondes de Lamb sont excit´ees pour des ´epaisseurs e de l’ordre de la longueur d’onde. Pour une configuration o`u e < λS, ces ondes peuvent transporter plus efficacement l’´energie acoustique qu’une onde de Rayleigh o`u l’´energie est confin´ee dans une ´epaisseur plus importante λS [116]. De plus, dans les mat´eriaux pi´ezo´electriques utilis´es pour la g´en´eration d’onde, les coefficients de couplage ´electrom´ecanique, traduisant la conversion d’´energie ´electrique-m´ecanique, associ´es `

a des ondes de plaques sont g´en´eralement plus ´elev´es que ceux associ´es `a l’onde de Rayleigh.

Les fr´equences d’actionnement d’un liquide ´etant de l’ordre du MHz, les ondes de plaques apparaissent lorsque le solide a une ´epaisseur inf´erieure `a la centaine de microns, pour du niobate de lithium, une fr´equence de 20 MHz correspond `a une longueur d’onde de 175 µm. Une telle ´epaisseur du substrat induit une fragilit´e au choc et n´ecessite des microfabrications plus complexes [117] ou un amincissement du substrat pi´ezo´electrique. Cependant, les ondes de Lamb peuvent ˆetre g´en´er´ees grˆace `a l’excitation d’un plaque non-pi´ezo´electrique (peu on´ereuse) par un mat´eriau pi´ezo´electrique [118,119]. Le moyen d’excitation est alors d´ecoupl´e du milieu de propagation qui peut ais´ement ˆetre chang´e. Les ´etudes sur l’influence des propri´et´es de volume ou de surface du solide sur la dynamique de goutte s’en retrouvent grandement facilit´ees.

Les diff´erentes ´etudes men´ees dans cette th`ese ont ´et´e r´ealis´ees par l’application d’ondes de Rayleigh mais l’utilisation d’ondes de plaque sera `a consid´erer pour de futurs travaux.

G´en´eration d’onde de Rayleigh

Le principe de g´en´eration des ondes acoustiques de surface a ´et´e d´evelopp´e en premier lieu dans le domaine de la t´el´ecommunication pour l’´elaboration de filtre efficace. Ces innovations ont permis alors `a l’acoustofluidique par ondes de surface de se d´evelopper rapidement. La g´en´eration d’ondes de surface exploite le couplage entre le champ ´electrique et ´elastique d’un mat´eriau pi´ezo´electrique en appliquant une tension U `a un r´eseau d’´electrodes appel´e peigne interdigit´e (figure2.4). Le mat´eriau pi´ezo´electrique utilis´e est un substrat de niobate de lithium permettant d’obtenir les meilleurs couplages ´electro-m´ecaniques [120].

U  

Onde  de  Rayleigh  

2a   Substrat  piezoélectrique  

Figure 2.4: Sch´ema d’un transducteur `a onde de Rayleigh.

La fr´equence de r´esonance de cette structure est alors d´etermin´ee par l’espacement a entre deux ´

electrodes par la relation :

fg= VR

λ =

VR

2a. (2.19)

Ainsi sous une excitation ´electrique de fr´equence fg, les dilatations-compressions g´en´er´ees par le champ ´electrique vont interf´erer de mani`ere constructive propageant alors une onde de Rayleigh de part et d’autre des peignes interdigit´es. Par une modification de la g´eom´etrie, il est possible de g´en´erer des ondes de Rayleigh seulement dans une direction, on parle alors de SPUDT (”Single Phase UniDirectional Transducer”). Au cours de nos travaux, nous avons mis en place le design EWC (”Electrode Width Controled”) [121] permettant de r´eduire l’´emission `a l’arri`ere du transducteur par l’utilisation de r´eflexion interne sur des ´electrodes plus larges ins´er´ees dans le r´eseau.