Nous avons au cours de ce chapitre couvert les diff´erents aspects de l’actionnement d’une goutte par une onde acoustique de surface. Nous sommes partis des ´equations d’onde dans le solide pour d´ecrire la propagation d’une onde de Rayleigh et d’une onde de Rayleigh g´en´eralis´ee afin de mettre en ´evidence l’efficacit´e du transfert d’´energie s’op´erant `a l’interface liquide-solide. Nous nous sommes, dans un second temps, int´eress´es au champ acoustique se d´eveloppant au sein d’une goutte. Cela nous a permis de mettre en ´evidence les diff´erents r´egimes excit´es et en particulier, un effet de cavit´e pour des fr´equences inf´erieures `a 70 MHz. Les forces provenant des effets d’acoustique non lin´eaire ont alors ´et´e pass´ees en revue afin de mieux comprendre les moteurs du mouvement d’une goutte. Finalement, les effets capillaires nous ont permis de fermer la boucle des diff´erents ph´enom`enes mis en jeu.
Dans une derni`ere partie, les diff´erents r´egimes de la dynamique d’une goutte, observ´es exp´erim- entalement, ont ´et´e analys´es `a la lumi`ere de nos connaissances. Nous avons notamment mis en ´
evidence une sensibilit´e de la dynamique de la goutte `a l’hyst´er´esis de l’angle de contact qui devra faire l’objet d’´etudes suppl´ementaires pour quantifier cette influence.
Le m´ecanisme responsable des diff´erentes dynamiques observ´ees est alors ´etudi´e par une mesure de la vibration de l’interface liquide-air. Le transfert d’´energie s’op´erant de la fr´equence acous- tique (20 MHz) vers une fr´equence de 20 kHz est analys´e et une explication plausible en est donn´ee. La mesure de la vibration d’interface pour d’autres fr´equences d’excitation devra ˆetre utilis´ee pour valider ce m´ecanisme. De plus, l’excitation de cette instabilit´e `a seuil reste encore `
a explorer.
Un second transfert entre cette fr´equence de 20 kHz et le mode fondamental a ´egalement ´et´e mise en ´evidence. Le caract`ere discret du spectre mesur´e montre que plusieurs modes propres sont mis en jeu au cours de la mise en oscillation spontan´ee. Cette observation constitue la premi`ere motivation du d´eveloppement d’un mod`ele d’oscillation non lin´eaire de goutte expos´e au chapitre suivant. La seconde motivation ´etant l’observation exp´erimentale de r´esonances param´etriques
d’une goutte soumise `a des ondes acoustiques de surface par Baudoin et al. [107]. Cependant, la complexit´e des couplages non lin´eaire de modes propres nous am`enera `a restreindre notre ´etude au mode fondamental.
Chapitre 3
Oscillation non lin´eaire de goutte :
´etude des r´esonances
super-harmoniques, harmoniques et
sous-harmoniques
L’activation d’une goutte par des ondes acoustiques de surface fait intervenir plusieurs m´ecanismes non lin´eaires identifi´es au chapitre2. Le couplage entre les effets acoustiques et capillaires met spontan´ement en oscillation les gouttes selon un m´ecanisme encore m´econnu, et qui fait l’objet depuis quelques ann´ees d’investigations. Il est malgr´e tout possible, avec des ondes acoustiques de surface, d’´etudier la r´eponse d’une goutte sessile `a une sollicitation p´eriodique forc´ee en mo- dulant le signal d’excitation `a des fr´equences proches de sa fr´equence de r´esonance. Ainsi, une ´
etude exp´erimentale r´ealis´ee par Miyamoto [186] a mis en ´evidence le caract`ere non lin´eaire de l’oscillation d’une goutte sessile grˆace `a l’´etude du d´ecalage du pic de r´esonance et de l’appari- tion d’une hyst´er`ese en fonction de la fr´equence de modulation. Ce comportement est typique d’un oscillateur anharmonique de type Duffing faisant intervenir des non lin´earit´es cubiques. En prolongeant cette ´etude, Baudoin et al. [107] ont observ´e, en plus du d´ecalage fr´equentiel, l’ap- parition d’instabilit´es param´etriques pour des fr´equences de modulation correspondant au double (r´egime sous-harmonique) et au deux tiers (r´egime super-harmonique) de la fr´equence propre de la goutte, comme le montre la figure 3.1. Sur cette figure, l’amplitude verticale d’oscillation `
a la fr´equence de r´esonance de la goutte est trac´ee en fonction de la fr´equence de modulation de l’excitation acoustique. Ces instabilit´es sont typiques des oscillateurs contrˆol´es par une ´equation de type Mathieu provenant de non lin´earit´es quadratiques.
Fréquence de modula/on f
m(Hz)
Δh
/ h
0
Super-‐harmonique Harmonique Subharmonique
Figure 3.1: Amplitude verticale de l’oscillation (∆h) divis´ee par la hauteur initiale (h0) en fonction de la fr´equence de modulation (fm) pour diff´erentes excitations acoustiques (d). Les couleurs de fond repr´esentent les r´esonances super-harmoniques (vert), harmoniques (bleu) et
sous-harmoniques (rouge).
r´egissant l’oscillation de l’interface. Au vu des difficult´es de mod´elisation th´eorique des effets dissipatifs sur la ligne de contact, nous consid´erons dans une premi`ere approche les oscillations d’une goutte libre. Cette hypoth`ese est justifi´ee par l’observation de comportements similaires, i.e. des oscillations r´egies par une ´equation de type Duffing et la pr´esence d’instabilit´e pa- ram´etriques, de gouttes mises en l´evitation de mani`ere acoustique [187, 188], a´erodynamique [189] ou encore `a l’aide d’un champ ´electrique [190, 191]. Dans un premier temps, l’´equation anharmonique est obtenue par l’utilisation d’une formulation variationnelle combin´ee `a une ap- proche pertubative et une d´ecomposition modale. Puis les diff´erentes r´esonances de l’´equation anharmonique sont ´etudi´ees.
3.1
Introduction
L’oscillation capillaro-inertielle d’une goutte libre a ´et´e mise en ´equation pour la premi`ere fois par Rayleigh [176] et ´etendue par Lamb [175] (art. 275) aux oscillations non-axisym´etriques de bulles et de gouttes immerg´ees dans un liquide. Un tel syst`eme poss`ede une infinit´e de modes propres, d´ecrits par des harmoniques sph´eriques, et dont les fr´equences caract´eristiques, connues sous le nom de fr´equences de Rayleigh-Lamb, s’´ecrivent pour l’oscillation d’une goutte dans un
gaz : fn= 1 2π s n(n − 1)(n + 2)σ ρR3 0 , (3.1)
o`u σ repr´esente la tension superficielle du liquide, ρ la densit´e, R0le rayon de goutte, et l’entier n est l’ordre du mode d’oscillation, i.e. l’ordre de l’harmonique sph´erique associ´e `a la d´eformation. Ces fr´equences peuvent ˆetre interpr´et´ees comme celle d’un syst`eme masse-ressort f = 2π1
q k m o`u le ressort est ici d’origine capillaire. L’ordre 0 correspond au grossissement/r´etr´ecissement du rayon et n’est observ´e que pour des fluides compressibles. L’ordre 1 correspond, lui, `a une translation du liquide sans d´eformation de l’interface et n’excite pas d’oscillation. Les fr´equences f0 et f1 sont donc nulles. Le mode 2 est le mode fondamental d’une goutte et correspond `a une oscillation entre une forme sph´ero¨ıdale oblate (aplatie) et prolate (´etir´ee).
Les premi`eres exp´eriences de gouttes en l´evitation ont permis de valider cette fr´equence de r´esonance pour de faibles amplitudes d’oscillation. Elles ont ´egalement mis en ´evidence le ca- ract`ere non lin´eaire de l’oscillation au travers de la d´ependance de la p´eriode d’oscillation avec l’amplitude pour des oscillations d’amplitude moyenne [187]. Motiv´es par ces observations, Tsa- moupolos et Brown [192] ont ´etendu la th´eorie de Rayleigh aux oscillations faiblement non lin´eaires et pr´edit avec un bon accord cette chute en fr´equence. Suite `a ces travaux, des ap- proches diff´erentes confirmant ces r´esultats [193, 194], et ´elargissant l’analyse aux r´esonances internes par couplage non lin´eaire [195,196], ont ´et´e utilis´ees.
Ces ´etudes sont bas´ees sur l’hypoth`ese d’irrotationnalit´e de l’´ecoulement qui permet de d´ecomposer l’oscillation en harmoniques sph´eriques, solutions de l’´equation de Laplace en coordonn´ees sph´eriques. La vorticit´e g´en´er´ee par le mouvement de la surface libre est donc suppos´ee ˆetre localis´ee dans une couche limite d’´epaisseur δv faible devant le rayon de goutte. Prosperetti [197], en caract´erisant la diffusion de la vorticit´e au sein du volume par une m´ethode de va- leur initiale, montre que cette hypoth`ese reste valide tant que le nombre capillaire est faible (Ca = µvσ ∼ µR0f
σ =
µ √
ρσR0). Dans ces conditions, l’´epaisseur de la couche limite finale est de
l’ordre de R0 √
Ca. Dans ce chapitre, nous nous int´eressons aux oscillations d’une goutte d’eau d’environ 10 µL, pour laquelle Ca ∼ 10−3 et l’´epaisseur de la couche limite est d’une dizaine de microm`etres. L’hypoth`ese d’irrotationnalit´e reste alors valide.
La dissipation visqueuse associ´ee `a un ´ecoulement est g´en´eralement domin´ee par l’´ecoulement dans la couche limite dans le cas d’une interface liquide / solide. Cependant contrairement `a un contact sans glissement, imposant des gradients de vitesse importants dans la couche limite, l’annulation du cisaillement `a l’interface libre impose une condition non plus sur la vitesse mais sur les gradients de vitesse. Dans ce cas, la vorticit´e est du mˆeme ordre de grandeur que les gradients pr´esents dans le volume [198]. La dissipation visqueuse de l’oscillation est alors domin´ee par l’´ecoulement irrotationnel, la vorticit´e ´etant localis´ee dans un volume n´egligeable.
Le temps de d´ecroissance pour de faibles oscillations est pr´edit par Lamb [175] (art. 355) : τv = 1 (n − 1)(2n + 1) R20 ν , (3.2)
o`u ν repr´esente la viscosit´e cin´ematique. Pour des oscillations importantes, mais toujours dans le cadre d’une ´etude faiblement non lin´eaire, on peut montrer que ce temps d´epend ´egalement de l’amplitude d’oscillation [191,199] au travers de l’int´egration des non lin´earit´es de l’´ecoulement au sein de la dissipation visqueuse.
Enfin, les oscillations faiblement non lin´eaires de gouttes ont largement ´et´e ´etudi´ees pour com- prendre l’´evolution de la fr´equence avec l’amplitude, l’asym´etrie des oscillations, i.e. temps de r´esidence en forme prolate plus important qu’en oblate, observ´ees exp´erimentalement, ou en- core pour pr´edire des ph´enom`enes de r´esonance interne. Cependant, l’instabilit´e param´etrique et l’hyst´er`ese du pic de fr´equence mise en ´evidence par plusieurs ´etudes exp´erimentales [187–191] restent peu explor´ees th´eoriquement [200].
L’objectif de ce travail est de mettre en ´evidence ces comportements de mani`ere th´eorique. Pour ce faire nous utilisons une m´ethode asymptotique coupl´ee `a une d´ecomposition en modes propres pour formuler une ´equation anharmonique de l’amplitude d’oscillation, et ensuite en ´etudier la r´eponse non lin´eaire sous une excitation p´eriodique. Ce travail a ´et´e r´ealis´e en parall`ele de celui men´e par des math´ematiciens ukrainiens [201] publi´e l’ann´ee derni`ere. Leurs r´esultats nous ont permis de v´erifier une partie de nos calculs.