Ondes spirales

u_n−1− (2 + ¹ A^{)un+ un+1}  + H(u − α)

telle que un→ 0quand n → −∞ et un→ 1quand n → +∞ et telle que un≥ αpour tout n ≥ 0 et un< αpour n < 0.

C’est une suite définie par récurrence. La solution de l’équation homogène est connue. Elle est du type un= Aλⁿ+Bλ⁻ⁿavec λ racine du polynôme caractéristique P (λ) = λ2−(2+_A¹

∆x)λ+ 1. On a donc A∆x= _(λ−1)^λ 2

Ce polynôme a deux racines, l’une supérieure à 1 et l’autre inférieure à 1. On choisit λ < 1. En prenant en considération les conditions limites, on a

u_n= 

1 + Aλⁿ, n ≥ n Bλ⁻ⁿ, n < 0 Les conditions de raccordement pour n = −1, 0 donnent

A_∆x(u−2− 2u₋₁+ u₀) = u−1

A∆x(u−1− 2u₀+ u1) = u0− 1

En substituant chaque élément de ces équations par leur expression en fonction de λ, on trouve B = A + 1 = 1

1+λ. D’autre part, comme on a u0 = B = _1+λ^A ≥ α, on a λ ≤ 1−α

α .

Comme, pour 0 < λ < 1, la fonction g : λ 7→ λ

(λ−)2 est croissante, on a A_∆x= ^A ∆x2 = g(λ) ≤ g(^{1 − α} α ^{) =} α(1 − α) (2α − 1)2

Autrement dit, à diffusion A et paramètre d’excitabilité du tissu α fixés, si ∆x est trop grand, on peut trouver une solution stationnaire telle que un−→ 0quand n −→ −∞ et un−→ 1quand n −→ +∞ et qu’il y ait défaut de propagation. Ce défaut de propagation disparaît quand ∆x est assez petit, c’est à dire lorsqu’on raffine le maillage.

Ces deux défauts de propagation ont une nature très différente : l’un provient de la physique sous-jacente, l’autre d’un défaut propre à la résolution numérique. Si la simulation du premier bloc de propagation est recherchée, notamment lors de simulation d’arythmie, le second type de bloc est un biais numérique important. Il peut arriver qu’on observe numériquement des blocs de propagation qui ne décrivent pas de réalité physique, mais résulte d’erreur de discrétisation. Cependant, un bloc de propagation numérique peut être également vu comme une description phénoménologique d’un bloc de propagation provenant d’une hétérogénéité de coefficient de diffusion.

3.6.2 Ondes spirales

Les études numériques des ondes spirales s’intéressent principalement à l’initiation ou au maintien des ondes spirales, ou au déplacement du centre du rotor. La plupart mènent leurs expérimentations sur des géométries simplifiées.

Comme indiqué dans la section 2.5, la courbe de restitution du modèle ionique est un mar-queur utilisé dans les études cliniques. Il est aussi étudié de manière théorique. Par exemple, Qu

et al. [138] se sont intéressés à la périodicité et la stabilité d’ondes spirales sur une géométrie bidimensionnelle plane en cas de modification de la conductance des canaux ioniques. Un lien est montré entre la pente de la courbe de restitution et la stabilité des ondes spirales, ainsi qu’entre la courbure du front de dépolarisation d’une onde spirale, la vitesse de conduction et la durée du potentiel d’action. Ten Tuscher et al. [139] modifient un modèle ventriculaire pour améliorer les courbes de restitution. Ils ont identifié la variable rapide de recouvrement du sodium comme un paramètre important de l’instabilité des ondes spirales : ralentir cette variable augmente la longueur d’onde de la spirale.

La mécanique cardiaque peut avoir un effet sur la dynamique de réentrée. Panfilov et al. [122] se sont par exemple intéressés à l’influence de la mécanique sur l’arythmogénicité du tissu à l’aide d’un modèle électrophysiologique couplé à un modèle mécanique. Ils montrent qu’elle a un effet important sur la stabilité des ondes spirales, pouvant aboutir au fractionnement du front d’onde et à la séparation en ondelettes.

Enfin, l’effet des hétérogénéités sur le déplacement des rotors est aussi étudié. Kuo et al. [121] utilisent par exemple un modèle 2D incluant des hétérogénéités de modèle ionique modélisant notamment des structures de l’oreillette droite, telle que la crista terminalis. Une onde spirale est initiée. Il est observé que le centre du rotor s’ancre dans la zone dont la période réfractaire est la plus longue. Une étude plus théorique peut être proposée : Biktashev et al. [140] ont par exemple proposé un cadre théorique et des études numériques permettant d’analyser l’influence des hétérogénéités de diffusion et d’excitabilité sur le déplacement des ondes spirales.

3.7 Conclusions du chapitre

Les recherches mathématiques centrées sur les modèles cardiaques s’intéressent tant à des aspects théoriques qu’à des aspects numériques.

Les approches théoriques s’intéressent au caractère bien posé des problèmes manipulés en électrophysiologie cardiaque, à des techniques de dérivation de modèles, que ce soit des tech-niques d’homogénéisation pour passer de modèles microscopiques à des modèles continus macro-scopiques ou bien des techniques d’analyse asymptotique pour obtenir des modèles simplifiés — modèle eikonal, modèle surfacique, etc. — ou bien encore à l’étude de phénomènes arythmogènes. Des recherches théoriques, non abordées ici, s’intéressent également à la résolution du problème inverse en électrocardiographie ou bien à des problèmes de contrôle optimal.

Les recherches numériques s’intéressent à des méthodes et des schémas adaptés à la résolution des problèmes bidomaines et monodomaines. Ces méthodes comprennent des études de stabilité, des schémas d’intégration en temps, des méthodes de décomposition de domaine ou la recherche de préconditionneurs efficaces.

Ces apports sont une contribution importante des mathématiciens à la communauté de mo-délisateurs en électrophysiologie cardiaque.

Chapitre 4

Modélisation de l’activité électrique des

oreillettes et des veines pulmonaires :

état de l’art.

Sommaire

4.1 Introduction . . . . 81 4.2 Spécificités des modèles auriculaires . . . . 82 4.2.1 Orientation des fibres . . . . 82 4.2.2 Conductivité . . . . 82 4.2.3 Modèles électrophysiologiques . . . . 83 4.2.4 Fibrose et cicatrices . . . . 84 4.2.5 Couche mince vs 3D . . . . 84 4.3 Utilisation des modèles auriculaires . . . . 85 4.3.1 Modèle d’oreillettes saines . . . . 85 4.3.2 Recherche clinique . . . . 85 4.3.3 Recherche fondamentale sur les arythmies . . . . 86 4.4 Modèles de veine pulmonaire . . . . 88 4.4.1 Fibres . . . . 88 4.4.2 Conductivité . . . . 88 4.4.3 Modèle électrophysiologique . . . . 88 4.4.4 Caractère arythmogène . . . . 89 4.4.5 Rôle dans le maintien des arythmies . . . . 89 4.5 Conclusions du chapitre . . . . 89

4.1 Introduction

Une revue très complète de Dössel et al. [15] dresse un panorama exhaustif des modèles auri-culaires existants. Elle comporte notamment un tableau synthétique comparant une trentaine de modèles auriculaires, en prenant comme critères de comparaison l’espèce, la partie des oreillettes modélisée, la prise en compte du septum, le type de maillage — volumique ou surfacique —, le modèle électrophysiologique employé, le modèle de propagation — mono ou bidomaine, automate cellulaire—, les hétérogénéités incluses dans le modèle — fibres, faisceaux, électrophysiologie, la vitesse de conduction...— et les fonctionnalités supplémentaires du modèle —modélisation d’abla-tion, ECG. Cette revue comporte également une revue de données électrophysiologiques : elle recense notamment les publications médicales et biologiques traitant des vitesses de conduction dans les oreillettes. Elle s’intéresse ensuite à la validation des modèles par des mesures électrophy-siologiques, puis à l’utilisation de ces modèles pour la recherche fondamentale sur les arythmies et pour des applications plus cliniques.

La partie ci-après n’aura pas une visée exhaustive : le lecteur intéressé par une telle approche pourra se référer à l’étude précédemment citée [15]. Le but ici sera de présenter de manière plus générale les différentes spécificités des modèles auriculaires, en insistant particulièrement sur la modélisation des hétérogénéités, puis de présenter de manière plus systématique les différentes utilisations des modèles auriculaires en recherche clinique et fondamentale. Une revue des modèles de veines pulmonaires sera ensuite proposée.