1.3 Rhéométrie rotative
2.1.1 Ondes acoustiques linéaires
2.2 Effets acoustiques non linéaires . . . . 46
2.2.1 Pression de radiation acoustique . . . 48 2.2.2 Streaming acoustique . . . 53
2.3 Observation et applications des effets acoustiques non li-néaires . . . . 55
2.3.1 Premières observations et applications fondamentales . . . 55 2.3.2 Applications thérapeutiques . . . 57 2.3.3 Applications industrielles . . . 58 2.3.4 Applications en microfluidique . . . 59 2.3.5 Mise en forme de matériaux . . . 61
Comme annoncé en introduction, l’objet de cette thèse est d’exploiter l’interaction non linéaire entre des matériaux mous et des ultrasons de puissance. Nous avons décrit dans le chapitre 1 ce que sont les matériaux mous, il nous reste à introduire les ultra-sons de puissance. Dans ce chapitre, après quelques rappels sur le régime linéaire, nous introduisons des effets non linéaires observables pour des intensités acoustiques modé-rées, connus et décrits dans les fluides newtoniens depuis le siècle dernier, et passons en revue certaines de leurs applications actuelles.
2.1 Production et propagation d’ondes acoustiques
dans les fluides
Les ondes acoustiques correspondent à la propagation couplée d’une perturbation de vitesse et de pression dans un matériau. Dans la suite, nous nous intéresserons à la propagation du son dans les fluides. Nous aurons alors exclusivement affaire à des ondes longitudinales, associées à des compressions et dilatations locales du milieu. En effet, les ondes transverses y sont très rapidement amorties, ce qui n’est pas le cas dans les solides, y rendant l’acoustique plus riche, mais aussi plus complexe.
2.1.1 Ondes acoustiques linéaires
Dans un premier temps, nous allons rappeler les résultats concernant la propagation d’ondes acoustiques dans le régime linéaire. Pour les obtenir, nous résolvons les équa-tions dynamiques couplant les différents champs décrivant le fluide par une théorie de perturbation tronquée au premier ordre. L’obtention de certains résultats est détaillée dans l’annexe B.
Équation de propagation
On considère la propagation d’une onde acoustique dans un fluide, décrite par la donnée couplée de ses champs eulériens de pression dynamique(1) et de vitesse que nous noterons (p(~r, t),~v(~r, t)). Au repos, le fluide est supposé homogène et est donc caractérisé par des champs homogènes et stationnaires (p0, ~v0 = ~0). Le passage de l’onde induit une perturbation (p1(~r, t),~v1(~r, t)). Notons par ailleurs ρ(~r, t) = ρ0+ ρ1(~r, t) la masse volumique du fluide, où ρ0 désigne la masse volumique du fluide au repos et ρ1
sa perturbation au passage de l’onde.
La dynamique du fluide est décrite par l’équation de Navier-Stokes
ρ " ∂~v ∂t + (~v · −→∇)~v # = η∆~v − −→∇p + ζ+η3−→∇−→ ∇ · ~v (2.1) où η désigne la viscosité dynamique du fluide et ζ sa viscosité de compression, et par l’équation de continuité
dρ
dt + ρ−→∇ · ~v = 0. (2.2)
L’équation d’état du fluide s’écrit p(ρ) = p(ρ0) + ∂p ∂ρ S ρ1 ≡ p0+ ρ1 ρχS (2.3)
où nous avons fait apparaître le coefficient de compressibilité isentropique du fluide
χS ≡ (∂ρ/∂P )|S/ρ.
Afin de résoudre ces équations, nous supposons l’écoulement parfait, de façon à négliger tout phénomène dissipatif. De plus, nous nous plaçons dans l’approximation acoustique, c’est-à-dire que nous tronquons les développements au premier ordre de perturbation et nous supposons le coefficient χS constant. Dans ces conditions, les équations précédentes se réécrivent à l’ordre un :
ρ0∂~v1 ∂t = −−→∇p1 (2.4) ∂ρ1 ∂t + ρ0−→ ∇ · ~v1 = 0 (2.5) χS = ρ1 ρ0p1 (2.6)
Nous obtenons alors l’équation de d’Alembert pour la pression acoustique ∆ − 1 c2f ∂2 ∂t2 ! p1 = 0 (2.7)
où la vitesse de phase de l’onde est donnée par
cf =
s
1
ρ0χS. (2.8)
Cette équation de propagation n’induit pas de dispersion : la vitesse de groupe, c’est-à-dire la vitesse de propagation de l’énergie, est égale à la vitesse de phase et ne dépend pas de la fréquence de l’onde considérée.
Considérons enfin quelques ordres de grandeur. Dans de l’eau à température am-biante, ρ0 = 1.0 × 103kg · m−3 et χS = 4.6 × 10−10Pa−1 donc le son se propage à une vitesse cf = 1.5 × 103m · s−1. Le coefficient de diffusion thermique de l’eau vaut
D = 0.1 × 10−6m2· s−1 donc l’approximation de propagation isentropique est valable pour des fréquences ν νdiff= c2
f/D = 2 × 1013Hz.
Propagation de l’énergie
L’énergie volumique e d’une onde acoustique se décompose en un terme cinétique et un terme potentiel selon
e = 12ρv2+12χSp2. (2.9) Nous constatons donc qu’il s’agit d’une quantité du second ordre.
Nous allons maintenant étudier le transport d’énergie par cette onde dans le cadre de l’approximation linéaire. En utilisant les différentes relations obtenues auparavant et en se limitant au second ordre de perturbation, nous obtenons
de
Cette équation traduit un transport conservatif de l’énergie par l’onde acoustique, avec un flux d’énergie −→Π = p1~v.
Considérons maintenant, et uniquement dans ce paragraphe, les sources de dissipa-tion d’énergie : elles proviennent des phénomènes de diffusion que nous avons négligés en supposant l’écoulement parfait. En tenant compte des termes visqueux mais en négligeant la diffusion thermique, la relation de dispersion devient (voir annexe B)
k = √1 + iωτ1 ωcf. (2.11) Le vecteur d’onde est donc complexe : sa partie réelle donne la vitesse de phase c =
ω/Re(k) de l’onde alors que sa partie imaginaire α = Im(k) traduit l’absorption. Dans la limite ωτ 1, on a :
k ' ω
cf − iω
2τ
2cf . (2.12)
Ainsi, la propagation reste non-dispersive puisque c = cfne dépend pas de la fréquence, mais on a une atténuation avec un coefficient
α= ω2τ 2cf = ω2χS 2cf 4 3η+ ζ ≡ 1 `abs. (2.13) On constate que la propagation est atténuée plus rapidement quand la fréquence augmente. Pour de l’eau à température ambiante, une onde acoustique de fréquence
ν = 1 MHz s’atténue avec une distance typique `abs = 40 m.
Impédance acoustique
Intéressons-nous maintenant aux solutions propagatives unidimensionnelles de l’équa-tion de d’Alembert, se propageant dans une direcl’équa-tion donnée x et selon les x croissants :
p = p0 +p0 1eik(x−ct) ρ = ρ0 +ρ0 1eik(x−ct) ~v = ~0 +v0 1eik(x−ct)~ex (2.14) où p0 1, ρ0 1 et v0
1 sont des constantes complexes. Dans ce cas, l’équation d’Euler linéarisée (2.4) donne
p01
v01 = ρ0ω
k = ρ0cf ≡ Z, (2.15) ce qui définit l’impédance acoustique Z, caractéristique du fluide. Dans ce cas, Z est purement réelle, ce qui traduit que les champs de pression et de vitesse oscillent en phase. Dans le cas où l’on considère des solutions propagatives dans la direction des x décroissants, on aurait obtenu un coefficient de proportionnalité −Z entre les ampli-tudes complexes de pression et de vitesse.
L’énergie volumique moyenne d’une telle onde s’écrit au deuxième ordre hei = 1
2ρ0|v01|2+1
2χS|p01|2 = ρ0|v10|2 = χS|p01|2 (2.16) c’est-à-dire qu’elle est équitablement répartie entre ses composantes cinétique et poten-tielle. Nous pouvons également définir l’intensité acoustique I = heic, qui correspond à l’énergie acoustique par unité de surface et de temps.
Comportement aux interfaces
L’impédance acoustique que nous venons de définir traduit le couplage dans un mi-lieu donné entre les champs de pression et de vitesse qui se propagent. Cette notion est extrêmement utile pour décrire le comportement d’une onde au niveau d’une interface, comme nous allons le voir maintenant.
Considérons la situation représentée sur la figure 2.1. Une interface, supposée plane, indéformable et impénétrable, située en x = 0, délimite un milieu A (x < 0) caractérisé par une impédance ZA et une vitesse du son cA, et un milieu B (x > 0) d’impédance
ZB et de vitesse du son cB. On s’intéresse au comportement d’une onde propagative de pulsation ωiprovenant du milieu A avec un vecteur d’onde ~kiet arrivant sur l’interface. Dans le milieu A, le champ acoustique obtenu résulte de la superposition de l’onde incidente (que nous noterons avec un indice i) et de l’onde réfléchie (indice r) à la paroi, alors que dans le milieu B, il correspond à l’onde transmise (indice t). Nous cherchons des solutions propagatives pour la perturbation du champ de pression sous la forme p1,i = p0 1,iei(~ki·~x−ωit) p1,r = p0 1,rei(~kr·~x−ωrt) p1,t = p0 1,tei(~kt·~x−ωtt) (2.17)
et une forme similaire pour le champ de vitesse. Nous cherchons à connaître les coef-ficients de réflexion et de transmission r = p0
1,r/p01,i et t = p0
1,t/p01,i de la pression au passage d’un milieu à l’autre.
x ~ki θi ~kr θr ~kt θt A B
Figure 2.1 – Une onde de vecteur d’onde ~ki se propage dans un milieu A en direction d’un milieu B. À l’interface, elle est partiellement réfléchie et partiellement transmise.
En supposant l’interface rigide et impénétrable, les conditions aux limites per-mettent de déterminer les propriétés des ondes réfléchies et transmises. Tout d’abord, la fréquence d’oscillation est conservée à la traversée de l’interface, et nous la noterons désormais ω : ωr = ωt= ωi. En outre, nous obtenons les analogues acoustiques des lois de Descartes
sin θr = sin θi et sin θt
cB = sin θi
Enfin, les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude s’écrivent (voir an-nexe B) :
r= ZBcos θi− ZAcos θt
ZAcos θt+ ZBcos θi et t = 2ZBcos θi
ZAcos θt+ ZBcos θi (2.19) où θt peut être exprimé en fonction de θi.
Nous obtenons alors les coefficients de réflexion et de transmission en intensité acoustique I = chei : R ≡ hIri hIii = p01,r p01,i 2 = r2 et T ≡ hIti hIii = ZA ZB p01,t p01,i 2 = ZA ZBt 2. (2.20) Un cas particulier intéressant est celui de l’incidence normale θi= θt = 0 : dans ce cas, on trouve R =ZA− ZB ZA+ ZB 2 et T = 4ZAZB (ZA+ ZB)2. (2.21) Les deux milieux jouent ici un rôle symétrique. L’énergie est d’autant mieux transmise que les impédances acoustiques des milieux sont proches, et au contraire, il y a une forte réflexion pour des impédances très distinctes.
Diffraction des ondes sonores dans l’approximation de Rayleigh-Sommerfeld
Ayant obtenu l’équation de d’Alembert (2.7), nous nous proposons de la résoudre pour des conditions aux limites données. Puisque cette équation est linéaire, il est possible d’employer le formalisme des fonctions de Green pour parvenir à ce but. En l’absence de viscosité, le champ de vitesse peut être considéré comme irrotationnel en chaque instant et en tout point : nous pouvons donc définir un potentiel des vitesses
φ(~r, t) tel que ~v(~r, t) = −→∇φ. Ce potentiel satisfait lui-même à l’équation de d’Alembert Nous allons maintenant considérer une onde progressive et sinusoïdale en temps, de pulsation ω : φ(~r, t) = Φ(~r)eiωt. En posant k = ω/cf, l’équation de d’Alembert se réduit à l’équation de Helmholtz
∆Φ + k2Φ = 0. (2.22)
Pour obtenir le champ acoustique en tout point, nous utilisons la formule de Kir-chhoff, démontrée dans l’annexe B :
Φ(~r) = −4π1 x Σ d~r0· Φ(~r0)−∇→0 eikk~r−~r0k k~r − ~r0k − eikk~r−~r0k k~r − ~r0k −→ ∇0Φ (2.23) où −∇→0 désigne le gradient par rapport à la coordonnée ~r0 et Σ, une surface fermée contenant le point ~r.
En utilisant cette formule, nous pouvons, sous certaines hypothèses détaillées dans l’annexe B, montrer que l’onde rayonnée par une surface plane Σ1 vibrante est décrite par un potentiel des vitesses s’exprimant selon
Φ(~r) = −2π1 x Σ1 e−ikk~r−~r0k k~r − ~r0k~v· −→ dS. (2.24)
Cette formule nous permet de calculer en tout point le champ rayonné par la surface Σ1, ce que nous allons dans la suite appliquer au cas particulier qui nous intéresse : celui d’une surface en forme de calotte sphérique.