---Dans ce deuxième article Painlevé va proposer une formulation géométrique covariante de la mécanique classique, très innovante. Nous montrerons comment cela permet d’intégrer le temps newtonien en tant que paramètre affin de la géodésique et comment cela conduit à lui attribuer une signature négative. Painlevé va ensuite expliciter la méthode qui l’a conduit à proposer sa forme de l’article précédent mais sous la pression de la communauté scientifique va y renoncer, tentant de le justifier par des arguments épistémologiques. Nous analyserons la nature de ces errements dans le contexte de l’époque. Dans ce cadre restreint, Painlevé poursuit ensuite sa comparaison entre les deux théories.
---Comme annoncé dans l’article précédent Painlevé va développer son argumentaire, mais bien que cet article soit publié peu de temps après le premier, il va toutefois (malheureusement) tenir compte des réactions que son article a suscitées dans la communauté scientifique.
---“Le but de cette note est de préciser les concordances et les divergences des deux théories.”
---Le ton est moins polémique. Mais son approche reste résolument newtonienne et il persiste à considérer cette théorie comme la référence.
En effet, s’il ménage maintenant ses critiques vis-à-vis de la théorie d’Einstein il cherche toujours à l’intégrer et, au cas où ce n’est pas possible, à interpréter les différences dans le contexte de la référence newtonienne. Le résultat, qui se traduira par un reliquat de différences irréductibles, donne le sentiment d’un document inachevé52.
52Painlevé s’en rend sans doute compte, car il reprendra cette analyse dans sa note du 1er mai 1922.
Les axiomes de la mécanique newtonienne
Au début de son article que nous ne commenterons pas en détail, Painlevé dresse, à sa manière, un inventaire des fondements de la mécanique classique postulant l’existence d’un espace absolu avec un trièdre spatial de référence Oxyz, un temps absolu indépendant de l’espace.
Considérant un corps sphérique S dont il situe le centre C en O, il se réfère aux principes de Kepler : un corps, très éloigné de tous les autres, reste immobile par rapport au trièdre de référence.
Considérant un système formé de S et d’un autre corps sphérique S’, il se réfère au postulat des conditions initiales : le mouvement du système est déterminé par la position et la vitesse de ces éléments à l’instant t0.
L’axiome de symétrie définit le plan du mouvement, déterminé par les conditions initiales du vecteur vitesse, définissant une droite, et le centre de symétrie du système (un point).
L’axiome de causalité, tel qu’il le décrit, traduit l’invariance liée à la symétrie sphérique, avec des conditions initiales identiques, à une rotation spatiale près, autour du centre de symétrie les mouvements sont identiques.
Le principe d’inertie est invoqué pour déclarer que les géodésiques sont des droites, loin de tout corps matériel, propriété qu’il attribue aussi à la lumière.
Pour conclure il déclare :
---“Nous donnerons à cet ensemble de principes le nom d’axiomes newtoniens fondamentaux”
---À toutes ces d’hypothèses, il ajoute :
---“Dans la théorie des ondulations, le dernier principe se complète du suivant que j'appellerai pour abréger l’axiome de Fresnel. Dans le vide et à grande distance de tout corps matériel, la vitesse de la lumière est la même dans tous les sens 53.”
“Postulat de Galilée- Les accélérations des éléments du système P54, S à l’instant t, ne dépendent que de la position du système à cet instant et non à ses vitesses55.
Ce principe a été admis, en fait, par les Newtoniens en vertu des observations astronomiques.
Je le distingue néanmoins des précédents, parce que la conception newtonienne de la causalité en Mécanique subsiste même si le principe de Galilée est en défaut.”
---53Note de Painlevé : “Dans la théorie de l’émission, c’est cette vitesse diminuée géométriquement de la vitesse absolue de la source qui est la même dans tous les sens”.
54Painlevé introduit P sans vraiment le définir, d’après le contexte, on suppose que c’est le centre de la sphère S'.
55Note de Painlevé : “Le mouvement de P est pour Galilée, une sorte de compromis continuel entre la vitesse acquise et l’influence du corps S”.
Sur ce dernier point, Painlevé est prudent, il tente une synthèse de cette partie.
---“En définitive, la théorie newtonienne admet qu’on peut définir une mesure du temps et des distances et choisir des axes privilégiés Oxyz de telle façon que tous les principes précédents soient vrais. Si (sans changer la mesure du temps et des distances) on substitue au trièdre Oxyz un trièdre animé d’une translation rectiligne et uniforme, tous les principes précédents subsistent, sauf l’axiome de Fresnel”
---Il se place dans l’hypothèse du mouvement d’un corps d’épreuve S' (de masse négligeable) dans un champ créé par une masse unique à symétrie sphérique S, de centre C, qui reste sensiblement immobile dans ce cas si sa vitesse initiale est nulle, qu’on fait généralement coïncider avec le centre O du trièdre de référence.56
Après ces considérations générales, il rappelle les équations newtoniennes du mouvement :
---“D’où cette conclusion ;
Les axes Oxyz ayant constamment C comme origine et des directions absolument fixes (c’est-à-dire en fait fixes par rapport aux étoiles lointaines), tous les axiomes précédents restent vrais (sauf peut-être celui de Fresnel)57 .
Le mouvement du point P sera donc un mouvement plan. Si r, θ désignent les coordonnées polaires dans ce plan, les équations du mouvement (en vertu des axiomes newtoniens fondamentaux) seront de la forme 58
d²r/dt² = G(r, dr/dt, dθ/dt), d²θ/dt² = H (r, dr/dt, dθ/dt) ([1]), (2-1) elles ne dépendront explicitement ni de t, ni de θ.”
---On reconnaît dans ces propriétés générales les caractéristiques des axiomes qu’il a énoncés.
Il va préciser les équations en utilisant le principe de Galilée.
56On rappelle que l’accélération ne dépend ni de la vitesse ni directement du temps mais seulement de la position (distance au corps central) qu’elle est centrale et que l’orbite est plane.
57Note de Painlevé : “Si, au postulat de Galilée, on substituait celui-ci (moins restrictif) : “Pour une position déterminée de P et S, l’accélération de P(comme celle de C) ne dépend que de la différence géométrique des vitesses absolues de P et C, une translation rectiligne et uniforme imposée aux axes Oxyz laisserait subsister tous les axiomes précédents, sauf celui de Fresnel, mais on ne pourrait conclure qu’à la forme (I) des équations du mouvement et non à la forme (II)”.
58Pour respecter la numérotation “locale” des équations dans les articles des auteurs cités (ici Painlevé) dans les citations et pour éviter la confusion avec notre propre numérotation “globale” indexée par le chapitre nous noterons ([i]) les équations (i) originales des articles. La portée de cette numérotation est l’article. Cela conduit en général à une double numérotation (locale et globale).
---“En vertu du principe de Galilée, l’accélération de P sera centrale et fonction seulement de r ; les composantes de l’accélération suivant le rayon vecteur et la normale à ce rayon étant r'', -rθ'² et d(r²θ')/dt, les équations (I) prendront la forme
d²r/dt² – r (dθ/dt) ² = F(r), r²dθ/dt = constante ([2]), (2-2) où F est – ou + suivant que l’accélération est dirigée vers O ou en sens contraire.
Les postulats précédents laissent complètement indéterminée la fonction F(r). Des observations astronomiques, Newton a déduit que :
1° l’accélération F(r) est la même (r étant donné) pour tous les éléments P (infinitésimaux) ; 2° F(r) est négatif et inversement proportionnel au carré de la distance.”
---Painlevé particularise l’équation (2-1) en utilisant des équations générales de la mécanique pour établir l’équation (2-2) et souligne de caractère totalement empirique du principe d’équivalence faible et de la loi de la gravitation en 1/r² de Newton.
Pour poursuivre sa démonstration, Painlevé définit le potentiel gravitationnel.
---“L’équation de Laplace-Poisson- Si on pose :59
U=
∫
F(r)drU sera de la forme
U=µ r
µ désignant une constante positive, la même pour tous les éléments P. On sait que U vérifie, en dehors du corps l’équation de Laplace
∆U = ∂²U/∂x² + ∂²U/∂y² + ∂²U/∂z² = 0 (2-3) et qu’à l’intérieur de la sphère (supposé homogène) ∆U est égal à une constante négative (équation de Poisson). Inversement ces conditions imposées jointes à celles de s’annuler à l’infini, impose à U (en dehors de S) la forme U = µ/r.”
59Les conventions de signe de Painlevé sont différentes de celles que nous utilisons aujourd’hui où on pose F = -grad U et U = -m/r. Les deux signes étant inversés, la phénoménologie décrite est la même (la force dérivant du potentiel est bien orientée vers la masse centrale), mais ceci devra être pris en compte pour interpréter correctement certaines équations de Painlevé dans le contexte des formes actuellement utilisées comme la forme du lagrangien classique qu’on écrit aujourd’hui : L = W -U = 1/2 (dxµ/dt)² - (-m/r) = 1/2 (dxµ/dt)² +m/r.
On peut retenir que pour le problème que nous allons traiter le potentiel gravitationnel sera de la forme U = µ/r où en fait µ est la masse du corps S telle que déterminée par les orbites képlériennes (masse active, qui génère le champ, égale à la masse passive, qui subit le champ, en vertu de l’égalité action-réaction et à la masse inerte en mécanique classique en vertu du principe d’équivalence faible comme nous l’avons déjà signalé).
En plus de la convention entre le potentiel et l’accélération, soulignons aussi la convention de signe pour U. Aujourd’hui on définit U généralement par la relation U = -µ/r, ce qui fait que le potentiel est nul à l’infini mais négatif ailleurs, d’autant plus qu’on se rapproche de r = 0.
Comme l’énergie cinétique est posée positive, on voit que de cette manière l’énergie totale est conservée lorsque la particule de test plonge en accélérant dans le puits de potentiel.
Il faudra tenir compte des conventions de Painlevé dans ses équations pour bien interpréter le signe des équations en particulier quand on fait des comparaisons avec des équations qu’on utilise aujourd’hui.
Mais ce n’est pas un problème majeur qu’il est facile de régler en considérant les conventions prises de part et d’autre.
Remarquons toutefois que Painlevé est cohérent avec lui-même, car la forme qu’il donne dans son article du 24 octobre 1921 correspond à la région en expansion où le potentiel a bien cette forme et la vitesse qui en dérive toujours selon ses conventions est positive (dirigée vers les r croissants) ce qui a laissé de glace ses contemporains et montre bien que les esprits n’étaient pas très clairvoyants sur le sujet à l’époque.
Painlevé propose une formulation géométrique covariante de la gravitation newtonienne
Pour permettre une comparaison formelle directe avec le ds² de la relativité générale définissant une géométrie d’un espace courbe dans lequel les trajectoires inertielles en sont les géodésiques, il va définir un ds² spatial60.
---“Il suit de là, comme on voit, qu’on peut donner à la théorie de la gravitation newtonienne la forme suivante (principe de moindre action) : Les trajectoires du point P sont les géodésiques du ds²
ds² = (U+h) (dx²+dy² + dz²) (2-4)
où U est une fonction de x, y, z qui s’annule à l’infini dont le ΔU est nul à l’extérieur de la sphère S et est égal à une constante négative dans S”.
Quand Painlevé déclare “Il suit de là...”, il se réfère à ce qu’il vient de déclarer qui correspond à la citation précédente du document où il indique que la fonction U (x, y, z), qui représente le potentiel gravitationnel en mécanique classique, est une fonction scalaire des coordonnées spatiales, de la forme U = µ/r dans le cas du corps unique à symétrie sphérique.
Son laplacien (ΔU) est nul à l’extérieur du corps central (équation de Poisson), et h est une constante que Painlevé qualifie “d’arbitraire”.
On sait qu’ajouter une constante à un potentiel ne change pas les lois du mouvement, elle n’intervient que dans les conditions initiales (constante d’intégration).
Il n’est pas explicite61, mais il s’appuie, sans-doute, sur le fait que le potentiel gravitationnel étant une fonction scalaire qui ne dépend pas du temps, dans ces conditions, comme P. Appell l’a montré dans un traité de mécanique rationnelle en 1904, la géodésique peut être obtenue par application du principe de moindre action à une expression du type de celle donnée par son équation (2-4).
La formulation que Painlevé propose est une représentation géométrique purement spatiale de la gravitation newtonienne où comme dans la théorie de la relativité générale les trajectoires spatiales des corps d’épreuve sont définies géométriquement comme des géodésiques d’un espace (ici spatial à trois dimensions) dont le ds² qu’il a défini donne l’élément métrique.
On peut supposer qu’il le fait dans le but de faciliter la comparaison entre la mécanique classique et la relativité générale en leur donnant des formes similaires et pour obtenir une
60Une telle formulation avait été proposée par Appell (1904), édition 2, T2, dans le chapitre 486 “Principe de moindre action” p.425-429 dans un contexte plus général d’un traité. Cependant Painlevé qui devait sans doute connaître cet ouvrage, ne le mentionne pas en référence.
61Ce type de note s’adressant à ses collègues de l’Académie des Sciences, il suppose sans-doute la chose connue.
formulation intrinsèquement invariante : le ds² définit un intervalle d’espace dans cette géométrie.
Il y a pourtant des différences épistémologiques importantes, car sa représentation est purement spatiale, le temps reste une variable dynamique indépendante à la différence de la relativité générale qui est intrinsèquement à quatre dimensions62 dont la formulation géométrique est à caractère épistémologique, puisque c’est nativement une théorie géométrique de la gravitation, alors que dans la formulation de Painlevé cette formulation, purement calculatoire, s’introduit lors du calcul des géodésiques.
Painlevé ne dit pas si sa formulation correspond à un changement épistémologique de fondement de la mécanique newtonienne ou si c’est seulement une variante opératoire, en vue d’obtenir une formulation covariante pour permettre une comparaison homogène avec la relativité générale, mais on peut craindre que ce soit la deuxième hypothèse qui soit la sienne.
L’équation (2-4) montre que l’espace à trois dimensions ainsi défini est “conformément 63” euclidien, la physique (le potentiel gravitationnel) déterminant le facteur conforme.
La métrique applicable sur cet espace caractérise un espace courbe, ce qu’on peut vérifier en calculant le tenseur de Riemann qui n’est pas nul mais dont le tenseur de Weyl, (partie sans trace du tenseur de Riemann) invariant par une transformation conforme, est nul comme en métrique euclidienne.
Le tenseur de Ricci, le scalaire de Ricci et le tenseur d’Einstein ne sont donc pas nuls à la différence de ce qu’on observe dans la forme relativiste complète de Painlevé64 donnée dans son article du 24 octobre 1921. 65
Ces différences géométriques caractérisent des différences structurelles irréductibles entre les deux théories.
62Il peut y avoir moins de quatre degrés de liberté dans des solutions où des quantités conservées, qui correspondent à des symétries existent, par exemple la conservation de l’énergie associée à l’invariance par translation dans le temps.
63Une transformation conforme, encore dite “invariante d’échelle”, conserve les angles. Il existe une forme quadratique de métrique relativiste, coordonnées isotropes, définie à l’extérieur de l’horizon, correspondant au même problème dont la section spatiale est aussi conformément euclidienne mais de facteur conforme différent.
64Et dans toutes les formes décrivant cette solution du corps central à symétrie sphérique, à l’extérieur du corps.
65Le tenseur de Ricci, le scalaire de Ricci et le tenseur d’Einstein sont nuls du fait de la nullité locale du tenseur énergie-impulsion (solution dans le vide) mais le tenseur de Weyl n’est pas nul. Mais il faut faire cette comparaison avec discernement, car on compare des solutions à 3 dimensions avec des solutions à 4 dimensions.
Painlevé introduit implicitement le temps propre comme paramètre dynamique Cette représentation purement spatiale, si elle semble adaptée à la définition de la géométrie spatiale de la géodésique66, peut paraître incomplète dans le cadre de la mécanique classique puisque faute d’équations complémentaires faisant intervenir le temps absolu indépendant de l’espace, paramètre dynamique des équations classiques, elle ne semble pas capable de décrire le mouvement sur la géodésique spatiale donnée en mécanique classique. Mais les hypothèses invoquées qui supposent la conservation de l’énergie, vont rendre cette formulation cohérente.
En effet, si Painlevé ne cite pas le temps dans cet article, sa formulation invoquant le
“principe de moindre action”, en se référant sans doute au livre de P. Appell, inclut, de facto, une contrainte (réduisant les degrés de liberté) de stationnarité67, impliquant la conservation de l’énergie du système étudié et la relation entre le temps et l’espace68 qui s’en déduit.
Mais ce qu’il n’a pas vu, c’est que ce formalisme sous-tend un autre paramètre dynamique de type affin qui apparaît comme une longueur mais qui, sous réserve d’un paramétrage adéquat, comme nous le verrons, pourra être interprété comme un temps propre, paramètre dynamique du mouvement qu’on va rendre équivalent au temps absolu newtonien et qui va s’y substituer.
Cette approche épistémologiquement différente est celle de la relativité générale définissant le paramètre affin de la géodésique (ou de la ligne d’univers en général) comme paramètre dynamique. Elle n’a pas été considérée par Painlevé, car, sans-doute, il voulait absolument s’en tenir aux concepts primordiaux de la mécanique classique.
Les équations conduisent au même résultat, mais on ne leur donne pas la même signification.
Montrons comment nous pouvons concilier les points de vue.
Comme le temps absolu newtonien n’est pas une coordonnée, entrant au même titre que les autres dans une forme géométrique, la gravitation newtonienne n’est pas une théorie spatio-temporelle nécessitant une coordonnée spatio-temporelle pour élaborer avec l’espace une forme caractéristique physique à quatre dimensions.
Le temps newtonien est un paramètre dynamique physique, ce qui va rendre l’équivalence avec le temps propre relativiste, paramètre affin de la géodésique qui en caractérise la dynamique, structurellement possible.
66Une conique (qui peut être dégénérée) qu’on obtient par l’équation (2-13-2), ci-après, en mécanique classique.
67§ 486. Principe de moindre action, P. Appell déclare : “Ce principe, moins général que le principe de Hamilton, s’applique au mouvement d’un système assujetti à des liaisons indépendantes du temps et soumis à des forces dérivant d’une fonction des forces U. Le principe de moindre action exprime une propriété géométrique indépendante de la notion de temps”.
68Voir P. Appell T2, p. 428-429 qui établit cette relation. Painlevé donnera cette valeur du temps dans son troisième article plus complet que celui-ci, dans les équations (1) et (2).
Temps newtonien et temps propre identifiés comme même paramètre dynamique Cela va être un premier point de convergence épistémologique avec l’approche relativiste, où le temps propre, paramètre affin de la ligne d’univers d’un observateur, est le paramètre dynamique d’un système physique tel que constaté par cet observateur.
Dans cette formulation, le temps absolu newtonien va perdre son caractère “métaphysique”
pour “s’ancrer” à l’espace, en tant que paramètre dynamique de l’évolution d’un système physique ce qu’il a toujours été en fait, du moins dans les systèmes stationnaires, où le nombre de degrés de liberté est réduit à trois, que nous considérons, puisque le principe de moindre action invoqué requiert cette caractéristique.
Ajoutons que, dans le procédé que nous allons développer qui permet cet ancrage, la signature spécifique du temps dans la métrique de la relativité générale va mécaniquement s’imposer.69 Pour bien comprendre la pertinence, dont il n’a pas forcément tiré toutes les conséquences, de la proposition de Painlevé, nous nous proposons d’expliciter en quoi sa contribution ouvrait une passerelle entre la conception newtonienne de l’espace et du temps et la conception relativiste de l’espace-temps conçu comme une seule entité.