L’article du 1 mai 1922, Painlevé tente de généraliser sa formulation à la relativité généralerelativité générale

---Painlevé va formaliser et compléter la géométrisation de la mécanique classique en restant dans le cadre restrictif qu’il s’est imposé. Il va proposer la même formalisation pour la relativité générale, ce qui le conduit à tenter d’étendre la méthode utilisée avec succès en mécanique classique à la relativité générale. Nous analyserons pourquoi cela n’est pas possible, étudierons les différences de nature entre les deux théories, en notant toutefois que sa méthode définit un espace conformément équivalent à celui défini par la relativité générale dont nous tirerons des conclusions structurelles importantes sur cet espace-temps.

---La conversion de Painlevé ?

En préalable, il faut rappeler qu’Einstein, à l’initiative de Paul Langevin¹⁶⁵, était venu à Paris du 31 mars au 10 avril 1922 et que malgré une hostilité manifeste de certains milieux scientifiques (voir l’épisode de l’annulation de la réception du 3 avril 1922 à l’Académie des sciences¹⁶⁶) sa popularité était grandissante en France comme en témoigne son accueil triomphal à la séance du 5 avril à Société Astronomique de France (voir compte rendu partiel de séance en annexe 4).

Au cours de sa visite en France, Einstein a eu l’occasion de discuter de sa théorie avec d’éminents scientifiques français au cours des trois invitations au Collège de France (dont P.

Langevin était membre).

Dans la séance du 5 avril, au soir, des discussions sur le caractère infini¹⁶⁷ des potentiels de la solution de Schwarzschild ont été au centre des conversations réunissant autour d’Einstein, J.

Bequerel, M. Brillouin, E. Cartan, Th. De Donder, J. Hadamard, P. Langevin, Ch. Nordmann et P. Painlevé, voir documents d’archives (photos, journal, dessin) également en annexe 4.¹⁶⁸ Alexandre Moatti rapporte dans Moatti. A (2007) p.115 que Painlevé s’est rallié à la relativité à l’issue de cette discussion.

165Paul Langevin a été un des plus ardents (et compétents) promoteurs en France de la Relativité (restreinte par son fameux “paradoxe”) et générale. Malgré l’animosité latente de la communauté scientifique française vis- à-vis de la science “allemande” (la guerre était encore présente dans les esprits), P. Langevin avait pris conscience de l’avance de cette science allemande par rapport à la française et jugeait indispensable de coopérer avec eux.

166Relaté par exemple dans Moatti A. (2007) p.111

167Sur le douloureux problème de l’horizon dans la solution de Schwarzschild.

168Cité dans Eisenstaedt 1982 p. 186, repris dans A. Moatti. Voir également documents d’archives en annexe 4.

Voyons comment cela transparaît dans l’article du 1er mai 1922, postérieur à ces discussions.

Dans le premier de ses deux derniers articles¹⁶⁹ tous deux présentés à la séance du 1er mai 1922, Painlevé, sans doute conscient de l’insatisfaction apportée par son article précédent, va préciser son analyse.

Mais la visite d’Einstein et les discussions qui ont suivies (le 5 avril 1922) l’ont marqué.

Il va donc conduire son argumentation en s’efforçant de faire preuve d’objectivité et de respect des différentes positions dans l’exposé des deux approches entre lesquelles il ne prend d’ailleurs pas parti. Il commence sa contribution ainsi :

---"Les discussions récentes auxquelles ont donné lieu les doctrines relativistes m’engagent à préciser, sous une forme que je voudrais aussi positive que possible, les corrélations et les divergences qui existent entre la théorie classique et la théorie¹⁷⁰ einsteinienne de la gravitation.

L’exposé qui suit est entièrement différent de ceux qu’adoptent les relativistes ; en particulier il ne suit aucunement le processus d’idées qui ont conduit Einstein et ses disciples à leur audacieuse et grandiose théorie.

Mais est ce peut être le meilleur moyen d’en faire bien comprendre le sens aux adeptes de la mécanique classique, en même temps que de mettre en évidence les postulats sur lesquels repose la nouvelle doctrine."

---Painlevé tente donc un effort pédagogique vis-à-vis de ses collègues en utilisant un langage et un formalisme plus conventionnel et donc plus conforme à leurs habitudes que celui d’Einstein qui déroutait bien des scientifiques français mais, malgré tout, cet article qui est une reprise apaisée et complétée de l’article précédent fait un peu figure de testament.

Il reprend, en essayant de les synthétiser et de les compléter, les arguments développés précédemment.

169Le deuxième est juste une remarque, sur des articles de ses collègues, qui n’apporte rien au débat.

170Painlevé parle maintenant de “théorie” et non plus de “doctrines”, ce qui est plus respectueux et met les deux approches sur le même plan .

Les postulats de la mécanique classique posés par Painlevé

Il commence par poser trois postulats dont il commente les implications pour formaliser une axiomatique de la mécanique newtonienne.

---Postulat I: Les solides naturels, maintenus dans des conditions telles que leurs dimensions relatives, comparées en un même lieu, d’ailleurs quelconque, restent constantes, répondent aux propriétés que la géométrie euclidienne attribue aux figures invariables.

Postulat II: Un élément matériel très éloigné de tous les autres décrit une droite avec une vitesse constante. En particulier, il reste immobile si la vitesse initiale est nulle, (principe de Kepler).

Postulat III: La lumière dans le vide se propage en ligne droite avec la même vitesse en tout point et dans tous les sens. (Postulat de Fresnel)

Il synthétise les principes de la mécanique qu’il avait détaillés dans son article précédent en explicitant leur signification.¹⁷¹

Formalisation géométrique covariante de la gravitation newtonienne Painlevé revient sur sa proposition précédente dans le § 4 de son article ¹⁷²:

---“La gravitation newtonienne - Soit P ou (x, y, z) un élément matériel de très petite masse en présence d’un certain nombre de masses matérielles immobiles, les autres étant extrêmement éloignées. Les trajectoires de P dans l’espace sont les géodésiques d’un ds² de la forme¹⁷³

ds² = (U +h) [dx² + dy² + dz²] = (U + h)dσ² ([1]) où h est une constante arbitraire et U est une fonction de x, y, z qui satisfait à l’équation classique de Laplace-Clairaut dans tout l’espace et qui s’annule à l’infini, conditions qui la déterminent. Le temps t est donné par

dt= dσ

√

^{2(U+h) ([2])”}

---171Comme nous avons déjà développé ce point dans l’article précédent et qu’il n’y a pas de remise en cause seulement une présentation plus concrète des explications, nous ne nous étendrons pas là-dessus.

172Certains éléments ont déjà été présentés dans l’article précédent, mais pour faciliter la lecture nous les redonnons ici, comme le fait d’ailleurs Painlevé.

173Comme précédemment la numérotation locale de l’équation (i) de l’article est du type ([i]) et la portée de la notation est interne à l’article. Il reprend l’équation donnée dans son article précédent. Painlevé traite ici le cas général d’un potentiel (additif) généré par plusieurs masses, avant de s’intéresser au cas de la masse unique que nous considérons.

Painlevé introduit un temps qui dépend du potentiel en gravitation newtonienne

Painlevé redonne la métrique spatiale qu’il avait déjà donnée mais cette fois ci ajoute explicitement la valeur de dt correspondant au temps¹⁷⁴. Rappelons que dans les équations, ([1]) et ([2]) ci-dessus, dσ caractérise un espace euclidien.

On peut écrire l’équation ([2]) sous la forme

dσ−dt

√

2(U+h)=0 ,

qui, en coordonnées sphériques, dans le cas d’une géodésique radiale, s’écrit : dr−dt

√

^{2(U+h)=0 .}

Ces relations décrivent l’équation du mouvement¹⁷⁵ pour un potentiel gravitationnel U(r).

Ceci peut aussi s’écrire, en divisant par dt, et en élevant au carré :

½ v² = U +h où v = dr/dt.

On reconnaît ½ v² l’énergie cinétique classique d’une particule de masse unitaire égale au potentiel gravitationnel U à une constante d’intégration près.

Le temps ainsi défini est le temps absolu de la mécanique classique, dans une dimension indépendante extérieure et relatif à un mouvement évalué en espace euclidien.

Même si par un paramétrage adéquat on peut le rendre égal en valeur, comme nous l’avons montré au chapitre précédent, il n’est pas formellement et conceptuellement défini comme le temps propre qui est le paramètre affin de la géodésique calculée dans la métrique non euclidienne définie par son équation ([1]) ci-dessus.

174Nous avons montré au chapitre précédent comment cette valeur du temps se déduit de la démonstration que les géodésiques de l’équation (I) sont celles de la mécanique classique. Cette valeur du temps figure déjà dans l’article de P. Appell (1904).

175À partir du lagrangien classique, énergie cinétique moins énergie potentielle d’une masse unité, en espace euclidien ce qui implique que le numérateur dσ est l’élément de longueur en espace euclidien, pour respecter les conventions de ce lagrangien qu’on spécifie nul en utilisant la constante h, soit :

L = W -U = ½dσ²/dt² – (U+h) = 0 → dt² = dσ²/2(U+h)

Caractère hybride de la solution géométrique proposée par Painlevé

Ceci met en lumière le caractère hybride de sa définition, puisqu’elle nécessite deux types d’espace à trois dimensions : l’espace euclidien à trois dimensions spatiales associé au temps absolu utilisé dans ([1]) et ([2]) et un espace à trois dimensions spatiales non euclidien pour déterminer la géodésique caractérisé par ds² ([1]).

Ceci contraste avec l’approche de la relativité générale où un seul espace pseudo-riemannien à quatre dimensions, dont trois d’espace et une de temps unis dans une métrique spatio-temporelle, est utilisé pour définir les géodésiques spatio-temporelles et qui, à ce titre, est plus synthétique et homogène que l’approche de Painlevé.

La coordonnée temporelle ainsi définie, conduit-elle à la forme relativiste de Painlevé ? Nous avons pu constater que Painlevé, même si son deuxième article donne les fondements mathématiques de la possibilité d’une telle solution parmi d’autres, est peu disert sur ce qui l’a conduit à proposer précisément la forme qu’il expose dans son premier article du 24 octobre.

On en est réduit aux conjectures.

Une hypothèse est que partant de la forme de Minkowski de la relativité restreinte qui ne semblait pas être contestée à l’Académie des Sciences, il ait substitué à l’élément dr² l’expression (vdt-dr)² qui tenait compte la vitesse radiale de chute libre v (sans vitesse initiale à l’infini) pour désigner le référentiel local “chute libre” de Lorentz.¹⁷⁶

Cela donne quelque chose de correct mais cette méthode peu orthodoxe s’accommoderait bien de quelques justifications. En effet, même si ce ne serait pas la première fois qu’une équation géniale est établie à partir de considérations plutôt bancales, en général a posteriori, on trouve quand même quelques liens logiques qui ont conduit à cette découverte.

Comme nous aurons l’occasion de le décrire au chapitre suivant, M. Sauger, sur le constat d’une “coïncidence remarquable” proposera dans un compte rendu à l’Académie des Sciences en 1922 une méthode d’établissement de la forme de Schwarzschild sur des considérations de relativité restreinte.

Nous serons tentés de rapprocher cette méthode de celle qui a pu inspirer Painlevé pour l’établissement de sa forme.

Covariance de la solution géométrique proposée par Painlevé

176Voir le C.R.A.S de Sauger (1922) que nous présenterons au chapitre 4 qui note également une “coïncidence remarquable” dans la forme de Schwarzschild..

Painlevé enchaîne par ses considérations sur la covariance par les transformations des coordonnées cartésiennes x, y, z en d’autres coordonnées, curvilignes xⁱ par exemple, qui conservent le caractère euclidien du dσ² qu’il écrit alors,

dσ² = ∑ ajk dx^jdx^k avec (j, k = 1, 2, 3) ([3])

et les propriétés de U, qui est une fonction scalaire.

La forme des équations différentielles partielles garantit la covariance.

Ces remarques sont sensiblement les mêmes que dans l’article précédent du 14 novembre 1921 que nous avons déjà largement commentées.

Il termine cette partie par le cas particulier du corps massif unique à symétrie sphérique qu’il propose en coordonnées sphériques.

---“En particulier, supposons que les masses se réduisent à une sphère de centre O formée de courbes concentriques homogènes c’est-à-dire ayant du point de vue mécanique comme point de vue géométrique la symétrie de la sphère : Les trajectoires de P seront les géodésiques du ds²

ds² = (µ/r +h)[dr² + r²(dθ² +sin²θdφ²]

r, θ, φ désignant les coordonnées polaires de l’espace Oxyz”

---La gravitation einsteinienne

Painlevé introduit le chapitre ainsi :

---“Nous ne pouvons réaliser que difficilement et toujours imparfaitement les mesures théoriques des longueurs et du temps définies plus haut”

---On peut faire remarquer que certaines de ces mesures n’ont même pas de sens physique en relativité. On ne pourra les évaluer qu’indirectement.

La covariance de la formulation relativiste

Il rappelle ensuite le fondement de la covariance (une mesure est un constat de coïncidences) auquel on peut ajouter que ceci s’applique à des mesures physiques donc pour les éléments ayant un caractère physique ce qui n’est pas le cas de coordonnées par exemple et en conclut :

---“D’où l’idée de modifier les équations de la mécanique, en particulier de la gravitation, de telle façon qu’elles revêtent une forme invariante simple, non pas seulement dans le changement des variables spatiales x, y, z, mais dans le changement des quatre variables d’espace-temps.”

Le fait de décrire de façon covariante la gravitation newtonienne ne garantit pas que cela produira la relativité générale qui est une théorie différente.

Il rappelle que loin de toute matière, la métrique de Minkowski¹⁷⁷ s’applique comme limite

ds² = V²dt² -dx² – dy² – dz², ([4])

où V désigne la vitesse de la lumière qu’on note c aujourd’hui, et illustre sa covariance en définissant une transformation de coordonnées (x, y, y, z, t) vers (x1, x2, x3, x4) qui donnent un ds²

ds² = Σ A_jk(x1, x2, x3, x4)dxjdxk ([5]) et l’utilisation de cette forme qui montre que les géodésiques sont des droites, pour les corps matériels et pour la lumière.

177Minkowski a établi cette métrique en 1907. Poincaré avait introduit le groupe de symétrie de cet espace-temps, préalablement en 1905, dans sa note du 5 juin à l’Académie des Sciences.

Il indique que ces transformations de coordonnées conservent le caractère “euclidien” à quatre variables du ds² il faut bien sûr lire minkowskien (tenir compte de la signature).

Il ajoute :

---“Ce principe est une conséquence du principe de Kepler et du principe de Fresnel, mais il ne leur est pas équivalent. Il exprime en effet simplement que, par un choix convenable des variables (et qui d’ailleurs est possible d’une infinité de façons) le ds² en question est réductible à la forme V²(dx⁴)² - (dx¹)² - (dx²)² - (dx³)². Pour obtenir intégralement les principes de Kepler et Fresnel il faut ajouter que, pour au moins l’un de ces choix des variables privilégiées, x⁴ est le temps et (dx¹)² - (dx²)² - (dx³)² le carré de la distance de deux points de l’espace infiniment voisins mesuré à l’aide du mètre matériel.”

---Painlevé sépare le temps de l’espace, considérant des mesures absolues de distance dans l’espace qu’il va lier au référentiel absolu de la mécanique classique.

On sait qu’en relativité restreinte on peut baliser un référentiel galiléen du fait qu’on peut synchroniser les horloges des observateurs du référentiel (on définit un mode opératoire avec des signaux lumineux pour cela).

Mais si un observateur d’un autre référentiel inertiel (donc animé d’une vitesse relative constante et uniforme) mesure la distance entre deux points de ce référentiel il va trouver une longueur différente montrant que cette distance n’est pas un “invariant”.

Seul le ds² est invariant entre référentiels inertiels.

Les postulats de la relativité générale posés par Painlevé

Il suppose maintenant que P est en présence de masses matérielles (relativité générale).

Il va poser trois postulats pour la “gravitation einsteinienne” pour faire une axiomatique de la relativité générale.

---Postulat IV: Le mouvement matériel d’un point matériel quelconque, en présence de masses données, sous la seule influence de la gravitation, est défini par les géodésiques d’un ds² de la forme (V) ¹⁷⁸, où les Ajk satisfont à un ensemble de conditions invariantes dans tout changement des quatre variables x¹, x², x³, x⁴.

Les trajectoires de la lumière sont définies par les géodésiques qui correspondent à ds² = 0.

Par analogie avec la Mécanique newtonienne et avec le cas où toutes les masses sont très éloignées de P, on admet en outre :

1° Que ces conditions doivent être des équations aux dérivées partielles du second ordre linéaires par rapport aux dérivées du deuxième ordre ;

2° Quelles doivent laisser aux A^jk l’exacte indétermination nécessaire que comporte la question.

C’est ainsi qu’on parvient aux conditions einsteiniennes qui astreignent les Ajk (x1, x2, x3, x4) dits potentiels de gravitation”

“Quand les masses sont immobiles¹⁷⁹ si l’on prend comme paramètre x4 le temps t, on admet encore ces deux postulats

Postulat V: Le ds² ne renferme pas t explicitement. (Principe de causalité)

Postulat VI: Le ds² ne change pas quand on change t en -t. (Principe de réversibilité) Le ds² est alors nécessairement de la forme :

ds²= dt²

U(x₁, x₂, x₃)−dσ² ([6])

Où dσ² est de la forme ([3]), mais n’est plus euclidien.”

Nous voyons que les postulats IV à VI sont très différents des postulats I à III.

178Painlevé se réfère à son équation (5) que nous avons noté (V), ds² = Σ A^jk(x¹, x², x³, x⁴)dx^jdxk.

179En relativité on ne pourrait parler que d’immobilité relative des masses les unes par rapport aux autres, à supposer que cela soit possible vu le caractère attractif de la gravitation. Mais dans le cas de la masse unique le problème ne se pose pas en ces termes. La masse est la référence.

Pourtant Painlevé a cherché à préserver quelques propriétés essentielles même si a priori ils ne sont pas compatibles. D’ailleurs à la fin de son document il va proposer de remplacer son postulat I par un postulat I bis plus général pour rapprocher les deux points de vue mais cela ne suffit pas à les confondre. Nous y reviendrons.

Sur les postulats I à III, pas de commentaires, Painlevé connaît bien la mécanique newtonienne, resterait à savoir si ces postulats définissent totalement la mécanique newtonienne mais ce n’est pas l’objet de ce document.

Sur le postulat IV, ce qu’il dit est correct sous réserve, comme son commentaire le laisse supposer, que les conditions sur les Ajk se réfèrent au fait qu’elles doivent :

- D’une part, être les composantes d’un tenseur deux fois covariant, pour satisfaire aux conditions invariantes, car nous savons que les transformations de coordonnées (x ^j → x' ^j) pour des tenseurs covariants obéissent à des relations du type

A' j'k' = (∂x ^j/∂x ^j') (∂x ^k/∂x ^k') A jk

qui caractérisent le caractère tensoriel de Ajk.

Ceci garantit l’invariance des lois décrites par les équations (qui sont en général aux dérivées partielles du deuxième ordre) sous condition qu’elles soient écrites sous forme tensorielle.

Cette condition s’adressant à la forme des équations.

– D’autre part, dériver d’une forme générique satisfaisant aux symétries a priori de l’espace-temps décrit et que ces composantes doivent satisfaire à l’équation d’Einstein, cette condition étant à caractère sémantique.

Dans ce cas où il précise que seule la gravitation est prise en compte, ce qu’il dit est bien correct, car la géométrie donnée par le ds² décrit la variété représentant l’espace-temps, en particulier ses géodésiques (qu’on déduit par des calculs purement géométriques de la métrique), qui donnent les équations du mouvement dans ce cas.

L’alinéa noté “1°” qui suit rappelle une condition complémentaire sur les équations différentielles du second ordre contenues dans le tenseur d’Einstein, qui contraint la solution, à savoir que ces équations non linéaires doivent être linéaires par rapport aux dérivées du second ordre.

Il n’en justifie pas la raison, mais nous savons que c’est une condition qu’Einstein avait imposée ¹⁸⁰ pour que la variété soit “plate à l’ordre 2” (pas d’équations différentielles d’ordre supérieur) lorsqu’il a construit son équation.

L’alinéa noté “2°” est relatif à l’indétermination des équations bien connu en relativité générale liée aux propriétés spécifiques de cette théorie (invariance par difféomorphisme avec ce que cela implique).

De nouveau Painlevé n’explicite pas cet argument mais il est correct.

Sur le Postulat V, en stipulant que le ds² ne renferme pas t explicitement au nom “d’un principe de causalité”, il se limite ainsi aux solutions stationnaires, mais arbitrairement, car la causalité qu’il invoque en relativité n’a rien à voir avec cela.

On peut penser que son souci est plutôt de ne pas trop s’éloigner des concepts newtoniens qu’il a énoncé en première partie pour le calcul de la partie spatiale où on peut définir des distances fixes.

Mais c’est une restriction qui n’a pas lieu d’être et qui n’appartient pas aux hypothèses de la relativité générale, d’autant que cela ne garantit pas forcément le caractère statique, d’autres coordonnées que t pouvant être de type temps dans la métrique comme nous l’avons vu

Mais c’est une restriction qui n’a pas lieu d’être et qui n’appartient pas aux hypothèses de la relativité générale, d’autant que cela ne garantit pas forcément le caractère statique, d’autres coordonnées que t pouvant être de type temps dans la métrique comme nous l’avons vu

Dans le document Painlevé et la relativité générale (Page 90-159)