Cristaux Photoniques Principes et Généralités
II- 2-4- Notion du réseau direct, du réseau réciproque et de la zone de Brillouin
cette manière nous pouvons obtenir des bandes interdites photoniques (par analogie aux bandes interdites électroniques). D'autre part, en introduisant un défaut dans la périodicité d'un cristal photonique, on peut faire apparaître un mode localisé dans la bande interdite, c'est-à-dire une fréquence de propagation permise dans la bande interdite photonique [28,29].
II-2-3- Loi d’échelle
Des lois d'échelles permettent de simplifier l'étude des cristaux photoniques qui rendent les propriétés optiques non dépendantes de la taille des structures à BIP [30].
Supposons un cristal B créé à partir d’un cristal A par multiplication de ses dimensions par un facteur s réel. Les propriétés optiques du cristal B peuvent être obtenues à partir de celle du cristal A par la transformation: 𝜆 à 𝑠𝜆. Les relations de dispersion des cristaux photoniques sont ainsi généralement représentées en unités normalisées par la période du réseau réel « a ». Notons 𝜔𝑟et 𝑘𝑟 la fréquence et vecteur d’onde normalises. En considérant c la célérité de la lumière dans le vide, 𝜔et 𝑘 la pulsation et le vecteur d’onde, on obtient :
𝜔𝑟 = 𝜔 𝑎 2𝜋𝑐 = 𝑎 𝜆 (I. 11) 𝑘𝑟 = 𝑘 𝑎 2𝜋 (I. 12)
Avec a la grandeur caractéristique du cristal photonique (paramètre de maille du cristal), et λ la longueur d’onde. Ainsi, les propriétés à la fréquence ω d'un cristal de constante diélectrique𝜀(𝑟⃗)dont on néglige la dispersion spectral, sont les mêmes que celles d’un cristal de constante diélectrique𝜀(𝑟⃗/𝑠) à la fréquence ω/s.
Cela signifie que l’on peut obtenir des matériaux photoniques avec des propriétés semblables pour n’importe quelles gammes de fréquences [23, 31]. Cette caractéristique nous permettra théoriquement de caractériser expérimentalement les cristaux photoniques à l’échelle des micro-ondes où la technologie de conception ne demande pas beaucoup de contraintes et de prédire leurs propriétés à l’échelle optique.
II-2-4- Notion du réseau direct, du réseau réciproque et de la zone de
Brillouin
Beaucoup de propriétés des cristaux photoniques sont directement liées à l’étude de leur diagramme de bandes et la relation de dispersion. La représentation des diagrammes de bandes se fait pour des composantes du vecteur d’onde variant le long des directions de haute
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symétrie. Ces points de haute symétrie se trouvent dans la première zone de Brillouin qui fait partie du réseau réciproque. Les surfaces de dispersion des CPhs ont des périodicités et des symétries qui découlent de celles du réseau direct. Pour les étudier, on utilise les notions de réseau réciproque et de la zone de Brillouin.
On associe à un cristal photonique une fonction diélectrique périodique 𝜀(𝑟⃗) = 𝜀(𝑟⃗ + 𝑅⃗⃗) suivant la dimensionnalité de la structure, la constante diélectrique est une fonction périodique du système suivant N=1, 2 ou 3 directions de l’espace, et est invariante selon les (3-N) pour d’autres directions. Le vecteur 𝑅 ⃗⃗⃗⃗ est une combinaison linéaire des vecteurs de base du réseau direct ai:
𝑅⃗⃗ = 𝑙1𝑎⃗1+ 𝑙2𝑎⃗2+ 𝑙3𝑎⃗3 avec𝑙1, 𝑙2, 𝑙3: 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟𝑠 (I. 13)
Dans ce cas, le théorème de Floquet-Bloch pour un problème aux valeurs propres, nous permet de mettre les solutions de l’équation (I.10) sous la forme [32] :
𝐻⃗⃗⃗(𝑟⃗) = 𝑒𝑖𝑘⃗⃗.𝑟⃗𝐻⃗⃗⃗𝑛,𝑘⃗⃗(𝑟⃗) (I. 14)
Avec comme valeurs propres 𝜔𝑛2(𝑘⃗⃗)/𝑐2 où 𝐻⃗⃗⃗𝑛,𝑘⃗⃗ est la fonction de Bloch périodique satisfaisant la relation : (∇⃗⃗⃗ + 𝑖𝑘⃗⃗) ×1 𝜀(∇⃗⃗⃗ + 𝑖𝑘⃗⃗) × 𝐻⃗⃗⃗𝑛,𝑘⃗⃗ = (𝜔𝑛(𝑘⃗⃗) 𝑐 ) 2 𝐻⃗⃗⃗𝑛,𝑘⃗⃗ (I. 15)
La résolution d’une telle équation, pour un vecteur d’onde 𝑘⃗⃗ donné, conduit à un ensemble discret de valeurs propres𝜆𝑛(𝑘⃗⃗), fonctions du vecteur𝑘⃗⃗, discriminés par un indice de bande entier n. Ces valeurs propres sont reliées aux fréquences propres du cristal par :
𝜆𝑛(𝑘⃗⃗) = (𝜔𝑛(𝑘⃗⃗)
𝑐 )
2
(I. 16)
C’est l’ensemble des courbes de dispersion des fréquences propres 𝜔𝑛(𝑘⃗⃗) qui constitue la structure de bandes du CPh étudié.
Ce diagramme de bandes est un élément crucial, car il donne une « cartographie » de tous les états électromagnétiques possibles pouvant exister dans la structure photonique. Les états propres associés à des valeurs propres différentes sont orthogonaux entre eux.
A chaque état propre, 𝐻⃗⃗⃗𝑛,𝑘⃗⃗ correspond une distribution précise du champ électromagnétique obéissant à certaines règles de symétrie. Etant donnée la périodicité, la fonction diélectrique peut être décomposée en série de Fourier et s’écrit sous la forme :
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𝜀(𝑟⃗) = ∑ 𝜀⃗(𝐺⃗𝑚)𝑒𝑖𝐺⃗𝑚.𝑟⃗ (I. 17)
𝑚
Le vecteur 𝐺⃗𝑚 est une combinaison linéaire des vecteurs de base du réseau réciproque bj: 𝐺⃗𝑚 = 𝑝1𝑏⃗⃗1+ 𝑝2𝑏⃗⃗2+ 𝑝3𝑏⃗⃗3 (I. 18)
Où 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3sont des nombres entiers.
Les vecteurs de ce réseau réciproque sont définis par les équations :
{ 𝑏⃗⃗1 = 2𝜋 𝑎⃗2× 𝑎⃗3 𝑎⃗1. 𝑎⃗2× 𝑎⃗3 𝑏⃗⃗2 = 2𝜋 𝑎⃗1× 𝑎⃗3 𝑎⃗1. 𝑎⃗2× 𝑎⃗3 (I. 19) 𝑏⃗⃗3 = 2𝜋 𝑎⃗1× 𝑎⃗2 𝑎⃗1. 𝑎⃗2× 𝑎⃗3
Où les vecteurs du réseau réciproque bj sont reliés au réseau direct par la relation : 𝑎⃗𝑖. 𝑏⃗⃗𝑗 = 2𝜋𝛿𝑖𝑗 (I. 20)
Avec le symbole de Kronecker 𝛿𝑖𝑗 = {1 si 𝑖 = 𝑗 0 ailleurs
Les paramètres 𝑎⃗𝑖et 𝑏⃗⃗𝑗sont les vecteurs des réseaux réel et réciproque.
Revenons à la condition qu’impose une translation à une fonction de Bloch : 𝐻⃗⃗⃗(𝑟⃗ + 𝑅⃗⃗𝑛) = 𝑒𝑖𝑘.⃗⃗⃗⃗𝑅⃗⃗𝑛ℎ⃗⃗(𝑟⃗) (I. 21)
Cette équation est inchangée lorsque l’on remplace le vecteur𝑘 ⃗⃗⃗⃗par le vecteur 𝑘⃗⃗ + 𝐺⃗ où 𝐺⃗, en tant que vecteur du réseau réciproque, vérifie la relation (I. 20). Cela signifie que les états propres correspondant aux vecteurs 𝑘 ⃗⃗⃗⃗et 𝑘⃗⃗ + 𝐺⃗ sont physiquement équivalents, et possèdent la même énergie. En d’autres termes, l’énergie des ondes de Bloch existant dans la structure photonique est une fonction périodique du vecteur d’onde, de même périodicité que le réseau réciproque. Nous pouvons donc restreindre la recherche des états propres à la première zone de Brillouin, polyèdre construite autour de l’origine de l’espace réciproque et qui renferme tous les états possibles du système. On peut en effet ramener tous les vecteurs de l’espace réciproque à un vecteur appartenant à la première zone de Brillouin, en leur rajoutant un vecteur 𝐺⃗ du réseau réciproque.
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D’autres considérations, de symétrie en particulier, peuvent encore limiter le domaine de l’espace réciproque à sonder. L’appartenance du réseau réciproque à un certain groupe de symétrie permet de restreindre l’étude à ce qu’on appelle la zone de Brillouin réduite.
Donc par définition :
Les vecteurs définissant le réseau direct et réciproque sont inverses l’un de l’autre. Ainsi, puisque les vecteurs du réseau direct ont les dimensions d’une longueur, ceux du réseau réciproque ont la dimension de l’inverse d’une longueur. Dans notre cas, les vecteurs du réseau réciproque fournissent donc une base naturelle pour les vecteurs d’onde optique qui joueront un rôle prépondérant dans la théorie des bandes interdites photoniques.
Les zones de Brillouin sont des régions qui partitionnent l’espace réciproque associé au cristal. Il en existe une infinité et peuvent être définies à l’aide des plans de Bragg qui sont les plans médiateurs de l’ensemble des vecteurs formés par des combinaisons linéaires des vecteurs du réseau réciproque. La définition de la nième zone de Brillouin est la suivante : ensemble des points pouvant être atteint depuis l'origine en croisant n −1 plans de Bragg (Figure I-2).
On appelle zone de Brillouin irréductible la plus petite surface qui permet de déduire la relation de dispersion dans tout l’espace réciproque. Elle correspond à la plus petite surface qui peut être utilisée pour reconstruire la première zone de Brillouin (ZB) en utilisant les symétries du réseau réciproque.
Figure I -2 : Premières zones de Brillouin (ZB) d'un réseau carrée.
Les plans de Bragg sont traces en différentes couleurs.
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La première zone de Brillouin est la cellule élémentaire de l’espace réciproque où les points sont les plus proches de l’origine que tous les autres points du réseau périodique. La figure I-3 présente plusieurs exemples de cristaux photoniques et les zones de Brillouin correspondantes, pour des cas 1D (réseau de Bragg) et 2D (réseau carré et triangulaire). Comme on peut le remarquer sur ces figures, dans les cas 1D et 2D, la première zone de Brillouin s’obtient en traçant les médiatrices des segments joignant l’origine des nœuds les plus proches du réseau réciproque.
À partir de ce domaine ainsi délimité, il est possible de couvrir tout l’espace en faisant des translations d’un vecteur 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗. Il suffit donc de faire évoluer 𝑘⃗⃗ dans ce domaine pour représenter 𝑘⃗⃗ , l’ensemble des courbes de dispersion du cristal. Ce domaine peut encore être réduit en considérant les symétries du cristal.
Prenons l’exemple de 1D. Dans ce cas, la première zone de Brillouin est l’intervalle [−𝜋
𝑎, +𝜋
𝑎]. Mais on peut remarquer que si une onde de vecteur 𝑘⃗⃗ et de fréquence 𝜔 est solution du problème, la symétrie du système nous impose une propagation de l’onde
Figure I -3: Réseaux miroir de Bragg et 2D (à gauche) et les zones de Brillouin correspondantes (au centre grisé) et à droite
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en sens opposé, de vecteur−𝑘⃗⃗. On peut donc restreindre l’étude à un intervalle[0, +𝜋
𝑎], que l’on nomme zone de Brillouin « irréductible».