1-1- Empilement périodique de couches diélectriques

Les cristaux photoniques unidimensionnels sont des simples alternances de couches de permittivité différentes. Le miroir de Bragg, qui est un empilement de couches de matériaux diélectriques de permittivités différentes est un cas particulier très intéressant. Grâce à ses interférences constructives, il permet de renvoyer pratiquement la totalité de l’onde incidente. Le nombre de couches doit être impair et débuter par la couche d’indice de réfraction le plus

Figure I -4 : Schéma d’un miroir de Bragg constitué d’un empilement de couches de permittivités ε₁ et ε₂ (ε₁> ε₂)

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fort. En respectant ces conditions, on obtient uniquement des interférences constructives en réflexion, aux minimas de transmission.

Considérons un miroir comportant deux types de couches de longueur et de permittivité (a1, ε1) et (a2, ε2) avec ε1˃ε2 et appelons a la période spatiale de l’empilement (Figure I -4). Lorsqu’une onde incidente se propage au sein d’un de ces deux milieux et arrive à l’interface de ces derniers, une partie de cette lumière est réfléchie. Cette réflexion s’accompagne d’un changement de phase de π, si l’onde va d’un milieu de faible indice vers un milieu de fort indice. L’autre partie est transmise au deuxième milieu au sein duquel elle va se propager. L’opération que nous venons de décrire se répète pour chaque couche constitutive du miroir de Bragg comme le montre la figure I -5.

Il s’agit d’une description très simple du phénomène. Il faut tout de même prêter attention à la valeur des déphasages, qui eux-mêmes dépendent de la longueur d’onde. Selon leurs valeurs, on peut obtenir des interférences constructives, qui vont entraîner une réflexion totale, ou destructives.

Si l’on souhaite obtenir une structure parfaitement réfléchissante sur une certaine bande de longueurs d’ondes, il convient de choisir intelligemment l’épaisseur des couches :

- Lorsque l’épaisseur optique totale 𝑛₁. 𝑎₁+ 𝑛₂. 𝑎₂ des alternances est de λ/2 où λ est la longueur d’onde, l’onde réfléchie par l’interface (1) est en phase avec celles réfléchies par les interfaces (3), (5), etc.

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- Par suite de ces interférences constructives, on finit par aboutir à une réflexion totale, ce qui revient à dire que l’onde ne peut, en fait, se propager et que l’on a bien affaire à une bande interdite photonique.

- Dans le cas particulier où les deux couches de chaque alternance ont une même épaisseur optique 𝑛₁. 𝑎₁ = 𝑛₂. 𝑎₂ =^𝜆

4 ; et les ondes réfléchies par toutes les interfaces (1), (2), (3), etc. sont en phase.

Lorsqu’une onde plane se propageant dans un empilement périodique de couches minces optiques d’indices différents, le système unidimensionnel peut être résolu de manière quasiment analytique. Le développement donné ici peut être trouvé dans les références [39] ou [40]. Considérons le cas d’une onde en incidence normale pour laquelle le champ électrique est orienté suivant Oy (Figure I -6).

On à l’équation d’une onde (I. 23) se propageant dans un cristal photonique peut s’écrire sous forme simple:

𝑐2 𝜀(𝑥) 𝜕2𝐸 𝜕𝑥2 = ^𝜕 2𝐸 𝜕𝑡2

Le développement en série de Fourier de la périodicité de permittivité 𝜀(𝑥) = 𝜀(𝑥 + 𝑎):

𝜀−1(𝑥) = ∑ 𝐴_𝑚𝑒𝑥𝑝 (𝑗^2𝜋𝑚

𝑎 ^𝑥)

𝑚=+∞

𝑚=−∞

Où m est un entier naturel.

𝐴_𝑚 Sont les coefficients de Fourier.

a est la période de l’empilement.

Figure I -6: Géométrie d’un miroir de Bragg constitué deux couches de permittivité ε₁ et ε₂.

y x a ε1 ε2 E k

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La périodicité du système impose aux modes propres du champ électrique d’être des modes de Bloch.

𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐸_𝑘(𝑥, 𝑡) = 𝑢_𝑘(𝑥). 𝑒𝑥𝑝(𝑗(𝑘𝑥 − 𝜔_𝑘𝑡)) Où 𝜔_𝑘est la fréquence du mode propre

et 𝑢_𝑘(𝑥) est une fonction périodique de période a.

Ceci implique que les modes de Bloch peuvent ensuite être décomposés en série de Fourier :

𝐸_𝑘(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐸_𝑚𝑒𝑥𝑝 [𝑗 (𝑘 +^2𝜋𝑚

𝑎 ^{) 𝑥 − 𝑗𝜔𝑘𝑡] (I. 26)}

𝑚=+∞

𝑚=−∞

Où les 𝐸_𝑚sont les coefficients de Fourier associés à 𝐸.

Analytiquement, nous allons supposer que dans le développement de l’inverse de la permittivité diélectrique les trois termes centraux sont prédominants, le développement devient alors :

𝜀−1(𝑥) ≈ 𝐴₀+ 𝐴₁𝑒𝑥𝑝 (𝑗^2𝜋

𝑎 ^{𝑥) + 𝐴−1𝑒𝑥𝑝 (−𝑗} 2𝜋

𝑎 ^{𝑥) (I. 27)}

En substituant les développements de (1.25) et (1.26) dans l’équation d’onde puis en dérivant et regroupant les termes, nous obtenons une équation avec toutes les valeurs de m (le terme en facteur de l’exponentielle égal à 0):

𝐴₁(𝑘 +^{2(𝑚 − 1)𝜋} 𝑎 ^{) . 𝐸𝑚−1+ 𝐴0(𝑘 +} 2𝑚𝜋 𝑎 ⁾ 2 . 𝐸_𝑚+ 𝐴₋₁(𝑘 +^{2(𝑚 + 1)𝜋} 𝑎 ^{) . 𝐸𝑚+1≈ (} 𝜔_𝑘 𝑐 ⁾ 2 (I. 28)

Les modes 𝐸₀(𝑚 = 0) et 𝐸₋₁(𝑚 = −1) sont les modes dominants dans lesquels le champ électrique est au bord de première zone de Brillouin (𝑘 = 𝜋 𝑎⁄ ).

Si on suppose que la courbe de dispersion est proche de celle qu’aurait un matériau homogène de permittivité diélectrique égale à la permittivité moyenne de la structure, c'est-à-dire que 𝜔_𝑘2 ≈ 𝐴₀𝑐2𝑘2, on obtient le système matriciel suivant :

[ 𝜔_𝑘2− 𝐴₀𝑐2𝑘2 −𝐴₁𝑐2(𝑘 −^2𝜋 𝑎 ⁾ 2 −𝐴₋₁𝑐2𝑘2 𝜔_𝑘2− 𝐴₀𝑐2(𝑘 −^2𝜋 𝑎 ⁾ 2 ] . [^𝐸0 𝐸₋₁^{] = [} 0 0^{] (I. 29)}

Ce système est linéaires et possède une solution non triviale si et seulement si son déterminant s’annule :

42 || 𝜔_𝑘²− 𝐴₀𝑐²𝑘² −𝐴₁𝑐²(𝑘 −^2𝜋 𝑎 ⁾ 2 −𝐴₋₁𝑐²𝑘² 𝜔_𝑘²− 𝐴₀𝑐²(𝑘 −^2𝜋 𝑎 ⁾ 2|| = 0 (I. 30)

En extrémité de zone de Brillouin, le calcul de ce déterminant devient simple et donne deux solutions qui sont les extrémités de la courbe de dispersion:

𝑐𝜋

𝑎 ^{√𝐴0− |𝐴1}| < 𝜔 <^𝑐𝜋

𝑎 ^{√𝐴0+ |𝐴1}|

Donc cet intervalle de fréquences représente ce que l’on appelle bande interdite photonique (figure I -7), dans lequel aucun mode n’existe dans cet intervalle.

Notons que celui-ci est d’autant plus grand que la modulation de la constante diélectrique 𝐴₁est importante et qu’il s’annule lorsque le matériau est homogène (𝐴₁=0).

La figure I -7 représente la relation de dispersion 𝜔(𝑘) entre la pulsation ω et le vecteur d’onde 𝑘 d’une onde monochromatique qui propage dans un cristal unidimensionnel, on remarque que :

- Aux faibles fréquences lorsque 𝜆 ≫ 𝑎 : l’onde se propage sans être perturbée par la modulation d’indice du milieu.

- Au bord de la zone de Brillouin lorsque 𝑘 ≈ 𝜋 𝑎 ⁄ et𝑘 ≈ − 𝜋 𝑎 ⁄ : les fréquences des deux modes sont du même ordre de grandeur et les modes de vecteur d’onde se mélangent. Ceci conduit à une levée de dégénérescence et à l’apparition de la bande interdite photonique.

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- A l’intérieur de la bande interdite, aucun mode ne peut se propager, le milieu est alors un réflecteur parfait. Évidement ceci est vrai uniquement dans le cas idéal d’un matériau non absorbant et pour une structure périodique infinie.

- Le mode de haute fréquence possède des maximas de champ électrique localisés dans le matériau de bas indice, alors que celui de basse fréquence est localisé dans les régions à haut indice. Ces deux distributions de symétrie opposées ne pouvant pas exister simultanément à la même fréquence, elles sont séparées par une bande interdite photonique [23].