CHAPITRE II
Techniques de
Modélisations des Cristaux
Photoniques
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I
- IntroductionLes simulations numériques sont apparues dans les années 70 grâce aux premiers développements de l’informatique. De nombreuses techniques de calcul ont été mises en œuvre afin d’aider les chercheurs à comprendre les propriétés des matériaux et en particulier et dans notre cas la conception de matériaux périodiques avec une géométrie à l'échelle nanométrique. Il y a eu une variété d'outils de modélisation développée pour étudier les cristaux photoniques et des méthodes analytiques et numériques ont été implémentées. Bien que la conception de composants à base de CPhs nécessite l’utilisation d’outils de simulation bien adaptés pour les applications en optoélectronique et optique intégrée, le développement des méthodes de modélisation numérique précises et rapides reste donc primordial pour l’étude de ces structures.
Il existe de nombreuses méthodes d’analyse appliquée pour la résolution des équations de Maxwell dans le domaine de la propagation des ondes et du champ électromagnétique dans les milieux périodiques structurés à l’échelle de la longueur d’onde.
On peut classer ces méthodes en deux types :
1.
Les méthodes semi-analytiques
: Elles créent une expression analytique du champ E/M à l’aide d’outils numériques : Méthode MMP (Multiple Multipole Method)
Appelée Méthode Multipolaire Multiple [1], basée sur une expansion multipolaire pour la résolution de problèmes linéaires en milieux isotropes avec des régions homogènes par morceaux.
Méthode VIM (Volume Integral Method)
La Méthode Intégrale de Volume associée aux méthodes de compression matricielle et appliquée pour la modélisation des problèmes électromagnétiques en basse fréquence avec l’absence du maillage de la région air, ce qui rend la méthode légère et rapide.
2.
Les méthodes numériques :
Elles permettent à priori de traiter des milieux complexes à l’aide de schémas discrets (discrétisation spatiale et temporelle). L’objectif est de fournir les éléments théoriques et numériques nécessaires à la75
compréhension des principales méthodes de modélisation et indispensables à une exploitation pertinente des outils de simulation commerciaux dans ce domaine.
Dans ce chapitre nous exposerons les différentes techniques numériques de modélisation, notre intérêt s'est porté sur quelques unes de ces méthodes, que nous avons eu l'occasion de découvrir, de développer d’appliquer, pour atteindre des objectifs précis dans l'étude des CPhs bidimensionnels en géométrie de guide d’onde.
II- Méthodes numériques pour l’étude des cristaux photoniques
L’analyse numérique associée à l’analyse mathématique rigoureuse est nécessaire pour l’analyse et le contrôle des erreurs de calcul dans un algorithme. Elle est aussi nécessaire dans l’étude de convergence et de conditionnement des solveurs itératifs dans la résolution du système d’équations linéaires obtenu après transformation des équations de Maxwell. On peut affirmer que l’analyse numérique permet ici de vérifier l’efficacité du choix du modèle numérique utilisée pour résoudre les équations de Maxwell appliquées aux problèmes nano-structures.
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Pour simuler les cristaux photoniques en structures de guidage, de nombreuses techniques sont utilisées pour déterminer les paramètres optiques des structures CPhs et d’analyser la propagation du champ électromagnétique.
Ces méthodes nous permettent de calculer et de tracer les courbes de la réflexion, la transmission et le diagramme de rayonnement (figure II -1). Parmi ces méthodes numériques on peut citer par exemple la méthode de décomposition en ondes planes PWE (Plane Wave Expansion), très utilisée pour le calcul de structures de bandes [2,3] et la méthode modale de Fourier FMM (Fourier Modal Method) [4], ces deux méthodes sont appliquées en travaillant dans l’espèce de Fourier dites méthodes fréquentielles. Des algorithmes numériques sont calculés dans l’espèce directe dites méthodes temporelles comme la méthode des différences finies résolues dans le temps, appelée FDTD (Finit Difference Time Domaine) [5]. Cette dernière est la plus couramment utilisée pour la résolution des équation de Maxwell mais d'autres méthodes basées aussi sur l'approche de décomposition sont également exploitées telles que la méthode des matrices de transfert TMM (Transfer Matrix Method) [6], la MST (Multiple scattering Theory) [7] et des éléments finis FEM (Finite Elements Method) [8], nécessite une connaissance assez élevée des mathématiques, et en particulier d’analyse numérique par rapport à la méthode FDTD.
II-1- Méthode des éléments finis /FEM
La méthode des éléments finis appelée FEM (Finit Element Method), est très populaire dans les applications en mécanique et en physique. Elle a été développée initialement dans les années 40, pour résoudre des problèmes de mécanique de structures. Quelques années plus tard, elle a été appliquée à tous les domaines de la physique et de l’électromagnétisme [9].
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La méthode des éléments finis est largement utilisée dans les simulations numériques pour la résolution des équations aux dérivées partielles (EDP), et est basée sur la description géométrique de la structure sous forme d’un maillage.
- En premier lieu, les équations aux dérivées partielles sont écrites sous une forme variationnelle vérifiée pour des fonctions test appartenant à un espace vectoriel bien défini.
- Résolution des EDPs et conditions aux limites : La discrétisation des formulations intégrales obtenues à l’aide de la formulation variationnelle est faite par une décomposition de la structure en éléments géométriques de formes simple (figure II-2) (structures planes, on utilise le plus souvent des triangles et pour des problèmes tridimensionnels, ce sont typiquement des tétraèdres).
- Si le problème devient complexe on utilise la méthode des résidus pondérés,
- A chaque nœud du réseau des FEM, la résolution de l’EDP donne une solution approximée par des fonctions d’interpolation, sachant que les fonctions de forme (les polynômes de Lagrange) sont définies localement sur chaque nœud du domaine, et vérifient aussi les conditions aux limites du problème (figure II -3).
- La dernière étape consiste une solution approximée qui est développée sur une base discrète de fonctions d’interpolation, cette solution est continue, et connue sur tout le domaine. L’approximation n'est pas valable qu'aux problèmes d’EDP du second ordre. L’avantage principal de la méthode des éléments finis par rapport aux autres méthodes est son maillage (forme géométrique et taille) adapté à la géométrie de la structure (dimension
Figure II -3 : Les différentes étapes de la FEM
Définition de la géométrie Maillage