Résoudre le problème
IV- 4-3- Couches parfaitement adaptées « PML »
Les conditions aux limites absorbantes des couches parfaitement adaptées (PML) semblent s’affirmer aujourd’hui comme les plus efficaces et performantes parmi les autres méthodes.
En 1994, la couche parfaitement adaptée (PML) a été proposée par J. P. Berenger [29]. L'unicité de la PML est qu'une onde plane avec l'incidence arbitraire, la polarisation et la fréquence est adaptée à toutes les frontières. Autrement dit, cette technique est basée sur le principe d’adaptation d’impédance à l’interface entre un milieu non absorbant et un milieu absorbant de conductivité électrique 𝜎 et magnétique 𝜎∗ non nulle (figure II -10), mais les deux milieux de même indice de réfraction.
Cette condition est représentée par : 𝜎
𝜀 = 𝜎∗
𝜇0 (II. 42) Donc le principe de cette méthode est basé sur les hypothèses suivantes :
- L’onde d’incidence normale n’est pas réfléchie à l’interface entre les deux milieux et s’atténue dans le milieu absorbant, si l’onde arrive à incidence oblique elle provoque l’apparition des réflexions parasites à l’interface.
- L’absorption est non nulle suivant la normale à l’interface entre les deux milieux et elle est nulle suivant l’axe parallèle à l’interface.
- L’épaisseur de la couche absorbante PML peut être choisie de manière qu’elle soit la plus grande possible pour bien absorber l’onde électromagnétique.
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- Une condition de Mur métallique peut être ajoutée en limite de PML sans effet de réflexion conséquente d’énergies dans le domaine de calcul.
Dans la couche adaptée PML(figure II-11), l’onde plane incidente est décomposée en deux ondes :
- Dans le plan d’incidence normale : Une onde est atténuée et absorbée par le milieu PML et ne subit qu’une très faible réflexion. Cette onde vérifie l’équation (II. 42). - Sur l’axe tangentiel : une onde à incidence rasante se propageant parallèlement à
l’interface entre les deux milieux, ne subit aucune réflexion et aucune absorption dans le milieu PML.
L’absorption part de zéro à l’interface PML-domaine de calcul et augmente pour atteindre sa valeur maximale au bord extérieur de la PML. La condition de mur électrique qui consiste à forcer à zéro les composantes tangentielles du champ électrique est appliquée sur le bord extérieur de la couche PML.
Dans le domaine de PML, les composantes des champs électrique et magnétique sont décomposées sur les deux axes principaux en fonction de la conductivité virtuelle (𝜎𝑥, 𝜎𝑥∗, 𝜎𝑦, 𝜎𝑦∗𝜎𝑧, 𝜎𝑧∗), suivant chaque direction et qui permet d’annuler les réflexions sur chacune des limites du domaine. Donc, la représentation des composantes électromagnétiques dans les équations de Maxwell s’accompagne de la définition de conductivités virtuelles donnée par 12 équations différentielles partielles couplées du premier ordre qui sont décrites par [30] :
102 𝜇0𝜕𝐻𝑥𝑦 𝜕𝑡 + 𝜎𝑦 ∗𝐻𝑥𝑦 = −𝜕(𝐸𝑧𝑥+ 𝐸𝑧𝑦) 𝜕𝑦 (II. 43. 𝑎) 𝜇0𝜕𝐻𝑥𝑧 𝜕𝑡 + 𝜎𝑧 ∗𝐻𝑥𝑧 = 𝜕(𝐸𝑦𝑥 + 𝐸𝑦𝑧) 𝜕𝑧 (II. 43. 𝑏) 𝜇0𝜕𝐻𝑦𝑧 𝜕𝑡 + 𝜎𝑧 ∗𝐻𝑦𝑧 = −𝜕(𝐸𝑥𝑦+ 𝐸𝑥𝑧) 𝜕𝑧 (II. 43. 𝑐) 𝜇0𝜕𝐻𝑦𝑥 𝜕𝑡 + 𝜎𝑥 ∗𝐻𝑦𝑥 = 𝜕(𝐸𝑧𝑥 + 𝐸𝑧𝑦) 𝜕𝑥 (II. 43. 𝑑) 𝜇0𝜕𝐻𝑧𝑥 𝜕𝑡 + 𝜎𝑥 ∗𝐻𝑧𝑥 = −𝜕(𝐸𝑦𝑥 + 𝐸𝑦𝑧) 𝜕𝑥 (II. 43. 𝑒) 𝜇0𝜕𝐻𝑧𝑦 𝜕𝑡 + 𝜎𝑦 ∗𝐻𝑧𝑦 = 𝜕(𝐸𝑥𝑦+ 𝐸𝑥𝑧) 𝜕𝑦 (II. 43. 𝑓) 𝜀𝜕𝐸𝑥𝑦 𝜕𝑡 + 𝜎𝑦𝐸𝑥𝑦 = 𝜕(𝐻𝑧𝑥 + 𝐻𝑧𝑦) 𝜕𝑦 (II. 43. 𝑔) 𝜀𝜕𝐸𝑥𝑧 𝜕𝑡 + 𝜎𝑧𝐸𝑥𝑧 = − 𝜕(𝐻𝑦𝑥 + 𝐻𝑦𝑧) 𝜕𝑧 (II. 43. ℎ) 𝜀𝜕𝐸𝑦𝑧 𝜕𝑡 + 𝜎𝑧𝐸𝑦𝑧 = 𝜕(𝐻𝑥𝑦+ 𝐻𝑥𝑧) 𝜕𝑧 (II. 43. 𝑖) 𝜀𝜕𝐸𝑦𝑥 𝜕𝑡 + 𝜎𝑥𝐸𝑦𝑥 = − 𝜕(𝐻𝑧𝑥+ 𝐻𝑧𝑦) 𝜕𝑥 (II. 43. 𝑗) 𝜀𝜕𝐸𝑧𝑥 𝜕𝑡 + 𝜎𝑥𝐸𝑧𝑥 = 𝜕(𝐻𝑦𝑥 + 𝐻𝑦𝑧) 𝜕𝑥 (II. 43. 𝑘) 𝜀𝜕𝐸𝑧𝑦 𝜕𝑡 + 𝜎𝑦𝐸𝑧𝑦 = − 𝜕(𝐻𝑥𝑦+ 𝐻𝑥𝑧) 𝜕𝑦 (II. 43. 𝑙)
La discrétisation spatiale de l’algorithme FDTD impose le problème des réflexions parasites vers la structure modélisée dans le cas d’une forte absorption de l’onde dans la couche PML. Pour réduire cet effet et améliorer l’absorption, on exige une augmentation graduelle de façon polynomiale de l’absorption 𝜎 dans la couche PML :
𝜎(𝜌) = 𝜎𝑚(𝜌 𝑒) 𝑛 (II. 44) Avec : 𝜎𝑚 : La conductivité maximale
𝜌 ∶ La profondeur à l’intérieur de la région PML 𝑒 ∶ La profondeur totale de la couche PML (≈10∆)
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𝑛 ∶ L’ordre de l’équation de croissance de la conductivité, aussi appelé ordre de la PML. Ce facteur est dans la plupart des cas choisi entre 2 et 5.
IV-5- Conclusion
L’idée maîtresse d'utiliser des outils numériques parfaitement adaptés à la conception des structures photoniques 2D est de réduire l’espace de calcul numérique à un minimum, et de s’appuyer sur d’autres techniques de simulation des propagation pour compléter l’approche.
Dans ce chapitre nous avons présenté l’algorithme de base et la formulation de plusieurs techniques de modélisation numérique telle que : La méthode des éléments finis FEM, la méthode des matrices de transfert TMM, la méthode de décomposition en ondes planes PWE et la méthode des différences finies dans le domaine temporel FDTD.
Ces méthodes sont devenues des outils fiables pour simuler le comportement électromagnétique des CPhs lors d'une propagation d'onde dans ces milieux.
La PWE est simple, versatile, puissante et convient très bien à la modélisation de structures fortement diffractives de dimensions de l’ordre de la longueur d’onde. Elle est bien ajustée pour des structures photoniques de dimensions infinies pour la détermination des modes propres et pour calculer les contours de dispersion des matériaux diélectriques périodiques à deux dimensions ainsi que le spectre fréquentiel de la structure. Cette méthode est adaptée à l’étude de matériaux à bande interdite photonique avec et sans défaut.
La FDTD est basée sur la résolution directe des équations de Maxwell par les différences finies centrées dans le temps et dans l’espace. Elle permet en outre d'obtenir, en tenant compte des conditions aux frontières, la réponse rigoureuse de la structure étudiée. Elle converge vite vers un résultat assez précis, sans un maillage excessif
Nous sommes intéressés par ces deux méthodes pour la modélisation des cristaux photoniques bidimensionnels, leurs propriétés optiques et la simulation des structures périodiques en géométrie du guidage et qui feront l’objet du chapitre suivant.
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