1.3 Astrophysique de laboratoire comme cas particulier de HDE
1.3.3 Nombres adimensionnés
∇˜ρ˜u = 0 (1.19) u2 0ρ0 p0 ˜ ρ r0 u0t0 ∂t˜u + ˜˜ u ˜∇˜u = − ˜∇˜p (1.20) ∂˜tp − γ˜ pρ˜˜∂˜tρ +˜ u0t0 r0 ˜ u ˜∇˜p − γpρ˜˜u ˜˜∇˜ρ = 0 (1.21)
Sous cette forme deux nombres adimentionnés apparaissent : v0t0/r0 et p0/ρ0u2
0. Si plusieurs systèmes pré-sentent ces mêmes nombres adimentionnés alors ils répondent aux mêmes équations et auront donc la même évolution (s’ils ont les mêmes conditions initiales à des facteurs dimensionnels prêts).
1.3.3 Nombres adimensionnés
Les études effectuées au cours de cette thèse concernent l’instabilité de Rayleigh-Taylor (IRT)dans un contexte relatif aux restes de supernova. Afin que nos études puissent tendre vers la similarité nous portons un intérêt par-ticulier à un ensemble restreint de nombres adimensionnés. Nous distinguerons les nombres adimensionnés pour lesquels nous souhaitons une égalité exacte, ceux pour lesquels nous recherchons un ordre de grandeur et ceux où seule la grandeur relative à une valeur critique nous importe (habituellement 1, car se sont des rapport entre différents phénomènes physiques). Les deux premières catégories cherchent à recréer au mieux le système de comparaison. La troisième ne permet que de vérifier quel phénomène physique est prédominant dans chaque sys-tème. Dès à présent nous considérons les équations de Navier-Stokes, qui sont plus globale que celle d’Euler et prennent en compte la viscosité et différent phénomène de transport, ainsi que leur généralisation à la magnétohy-drodynamique.
1.3.3.1 Condition à l’interface
Étant donné que les systèmes que nous étudions présentent une interface, il est particulièrement important de vérifier que les conditions de passage entre interfaces sont équivalentes dans les systèmes étudiés.
Nombre d’Atwood Le nombre d’Atwood mesure le rapport des densités au travers d’une interface.
Classique-ment, il vaut :
An= ρ1− ρ2
ρ1+ ρ2
(1.22) avec ρ1et ρ2les densités de part et d’autre de l’interface. Ce nombre est donc compris entre −1 et 1, classiquement il est défini positif. Par ailleurs, nous pouvons remarquer qu’il est strictement équivalent au rapport des densités puisque sa définition réalise une bijection de [0; +∞[ vers [−1; 1].
Il vaut :
Re = uL
ν (1.24)
avec u la vitesse caractéristique du système, L sa longueur caractéristique et ν la viscosité cinématique. Il peut aussi être interprété comme le rapport entre les temps caractéristiques du transport des quantités de mouvement par viscosité et par inertie. Il permet donc de distinguer entre le régime où la viscosité domine (régime de Stockes Re < 1) et ceux où elle est faible (écoulement laminaire Re <∼ 1e3) voire négligeable (écoulement turbulent -Re ≫ 1).
Dans nos expériences, la viscosité peut être donnée par la formule de Braginskii [Rob04] : ν = 3.3.10−5T
5/2A1/2
Z4ρ ln Λ (1.25)
avec ν la viscosité cinématique en cm2.s−1, T la température ionique en eV, ρ la densité en g.cm−3, A le nombre de masse du matériau, Z son numéro atomique et ln Λ le logarithme Coulombien. Cette formule est applicable pour des plasmas cinétiques (plasma faiblement corrélé Γ ≪ 1) et quasiment totalement ionisé (plasma chaud).
Il est possible de remplacer la viscosité cinématique par la diffusivité magnétique pour obtenir le nombre de Reynolds magnétique. Cette diffusivité magnétique s’exprime, selon [RDR00], comme :
DM ≃ 1.5.1O7 Z
TeV (1.26)
avec DM la viscosité en cm2.s−1, Z le numéro atomique, T la température en eV. Cette formule correspond à un logarithme Coulombien de 6.
1.3.3.3 Autre nombres physiques
Nombre de Péclet Le nombre de Péclet correspond au rapport du transfert d’une quantité physique par
convec-tion et de celui par diffusion. Il s’exprime sous la forme : Pe= Lu
D (1.27)
avec L la longueur caractéristique, u la vitesse caractéristique et D le coefficient de diffusion. Il est possible de distinguer plusieurs types de diffusion : thermique, magnétique, binaire (d’espèce chimique)... À chaque type de diffusion correspond un nombre de Péclet.
Un nombre de Péclet élevé assure un transport par advection.
En combinant nombre de Péclet et nombre de Reynolds, on peut obtenir le nombre de Prandlt (Pr= Pe/Re).
Facteur de refroidissement À haute température, le rayonnement doit être pris en compte dans le calcule de
l’énergie et de la pression du plasma. Il influence aussi les flux d’énergie. Le facteur de refroidissement est défini comme le rapport des temps caractéristiques de refroidissement radiatif (par rayonnement), trad, et de transport hydrodynamique, thydro:
trad
thydro thydro= L
u (1.28)
1.3. Astrophysique de laboratoire comme cas particulier de HDE
Il faut noter que la valeur des nombres adimensionnés dépend fortement de leur définition : un même système pourra avoir différentes valeurs pour un même nombre adimensionné. En effet, tous se basent sur des valeurs caractéristiques du système qui sont laissées au choix du scientifique. Un exemple, nous utilisons dans cette thèse la longueur d’onde des IRT comme longueur caractéristique, mais nous aurions pu utiliser la largeur du flux laser (la tâche focale du laser).
• La HDE traite de la matière dans des conditions extrêmes (pression supérieure à 1 Mbar).
• Ces conditions peuvent notamment être créées à l’aide d’ondes de choc, qui sont des variations abruptes des paramètres fluides (vitesse, densité, pression...).
• Les ondes de chocs suivent les relations de Rankine-Hugoniot.
• Au cours de cette thèse, nous avons produit des chocs par l’interaction entre un laser de puissance nanoseconde et de la matière.
• L’interaction entre un laser picoseconde et la matière produit des électrons hautement énergétiques : les électrons suprathermiques.
• L’astrophysique de laboratoire fait partie de la HDE visant l’étude contrôlée de propriétés astrophysiques au sein du laboratoire.
• Ce domaine d’étude repose sur des lois d’échelle.
• Une expérience dite similaire possède les mêmes nombres adimensionnés que le système astrophy-sique auquel elle se réfère. La géométrie doit elle aussi être respectée.
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Chapitre 2
Généralités hydrodynamiques
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Le dernier élément présent dans le titre de cette thèse, à savoir les "diagnostics X à haute résolution", sera abordé ultérieurement dans une partie consacrée aux méthodes utilisées lors des expériences.
2.1 Les instabilités hydrodynamiques
L’hydrodynamique, ou mécanique des fluides, est une discipline de la physique visant l’étude des fluides, qu’ils soient statiques ou en mouvement. Les fluides sont des milieux déformables, ils ne représentent pas un état de la matière en particulier étant donné que les liquides, les gaz et les plasmas sont tous des fluides. Dans certains cas, même les solides peuvent avoir un comportement fluide. Du fait de leur abondance dans notre environnement direct, leur étude est ancienne. Ainsi aux alentours de 250 avant J.C., Archimède de Syracuse découvrit le célèbre principe d’Archimède (Des corps flottants) ce qui fit de lui le père fondateur de l’hydrodynamique. En 1757, L. Euler donna naissance à ses célèbres équations éponymes [Eul57]. Celles-ci ont été maintes fois modifiées pour rendre compte de phénomènes physiques de plus en plus complexes tels que : la compressibilité, la viscosité, ou encore
FIGURE2.1 – Représentation schématique du principe de l’IRT. Deux fluides, milieu 1 et 2, de densités différentes, ρ1 et ρ2, sont en contact. Ils sont soumis à la pesanteur, ~g, ou une force équivalente dans le référentiel de leur interface. L’interface entre les deux fluides est perturbée par rapport à sa position d’équilibre, z = 0.
le couplage possible avec les champs électromagnétiques (magnétohydrodynamique)... Bien que connues depuis plus de deux siècles, ces équations restent non résolues. Malgré leur apparente simplicité, la présence de termes non-linéaires est source de complexité entraînant l’apparition d’instabilités et conduisant à de la turbulence, sujet qui à ce jour fascine encore bon nombre de physiciens et de mathématiciens.
En physique, un système est dit instable si une petite perturbation entraîne son évolution vers un état tiers. C’est le cas par exemple pour un pendule solide mis en équilibre à l’envers. Tel quel il demeure à l’équilibre, mais la moindre perturbation va le pousser à évoluer vers son point d’équilibre stable (pendule à l’endroit). D’un point de vue énergétique, un système est dit à l’équilibre lorsque son énergie totale atteint un extremum. Cet équilibre est instable en cas de maximum.
Comme son nom l’indique une instabilité hydrodynamique apparaît lorsqu’un système fluide se trouve dans une situation dite instable. Ainsi toutes perturbations appliquées au système entraînera une évolution l’éloignant de son état précédent. Il est à noter que la présence de perturbation ne peut pas être empêchée dans le cadre de la mécanique des fluides. Il y aura toujours du bruit thermique.
Dans le cadre de l’hydrodynamique, le terme d’instabilité réfère souvent à des phénomènes auto-entretenus s’amplifiant. Ce n’est pas une généralité absolue, ainsi l’instabilité de Richtmyer-Meshkov que nous verrons plus tard ne répond pas à ce critère. Elle est impulsionnelle et ne s’amplifie pas.