Instabilité de Rayleigh-Taylor

2.1.1.1 Le principe

L’IRTfut étudiée pour la première fois par Lord Rayleigh en 1883 [Ray83] puis en 1950 par G.I. Taylor [Tay50]. De nos jours, elle suscite encore de nombreuses publications chaque année ; tant, qu’une revue scientifique est nécessaire environ tous les 10 ans, la dernière en date étant celle de Y. Zhou [Zho17].

L’instabilité de Rayleigh-Taylor se développe à l’interface entre deux fluides de densités différentes lorsque le fluide le plus dense repose sur le moins dense (cf. figure2.1). Elle résulte en la formation de structures allongées appelées bulles dans le cas du fluide le moins dense, en référence aux bulles d’air ascendante dans de l’eau, et pics (aussi qualifiés d’aiguilles) pour le plus dense. En présence d’une interface plane, cette situation correspond à un maximum d’énergie potentielle de pesanteur et donc à une situation d’équilibre instable. La force, entraînant la mise en mouvement des fluides, est la flottabilité. Elle correspond à la somme du poids et de la poussée d’Archimède (ou résultante des forces de pression) appliquée sur un élément fluide. Elle s’exprime comme

(ρ − ¯ρ) · ~g ^(2.1)

, avec ρ(x, y, z) la densité du fluide, ¯ρ(z) la densité moyennée sur une surface orthogonale à la pesanteur (¯ρ(z) = R R ρ(~r)dxdy) et ~g l’accélération de pesanteur.

De cette formule, nous pouvons déduire que en l’absence de toute perturbation (interface plane) le système est à l’équilibre et ne pourra pas évoluer. En effet, la force nécessaire au développement de cette instabilité n’existe que lorsqu’un élément fluide se trouve dans une couche de densité différente.

2.1. Les instabilités hydrodynamiques

De plus il est apparent que le système est instable dès que le gradient de densité, ~_{∇ρ, s’oppose la force de} pesanteur. Autrement dit dès que ~_{∇ρ · ~g < 0.}

En HDE, les effets de la gravité sont souvent négligeables. Néanmoins cela n’implique pas l’absence d’IRT. En effet, même si l’accélération de pesanteur, principal responsable de l’instabilité, n’est pas présente, toutes forces à distance ayant un comportement similaire à la pesanteur peut la remplacer. Par similaire nous entendons un champ de force à distance, d’intensité proportionnelle à la masse de l’objet auquel il s’applique et n’ayant qu’une direction et qu’un sens.

Par exemple, supposons un système composé de deux fluides en contact et en mouvement accéléré. Dans le référentiel de l’interface (elle-même en mouvement) une pseudo-force, la force d’inertie, s’applique au fluide. Elle possède les mêmes propriétés que la force de pesanteur et peut donc engendrer l’IRT. Ainsi le système est instable si le gradient de densité s’oppose à la force d’inertie, autrement dit si l’accélération de l’interface est dans le même sens que le gradient de densité. Cela revient à dire que les gradients de densité et de pression, qui au repos suivent la direction de la pseudo-force, sont opposés l’un à l’autre.

C’est d’ailleurs cette pseudo-force qui est responsable des instabilités étudiées dans cette thèse. Dans les expériences que nous avons effectuées (cf. chapitre 4), c’est lors de la décélération de l’interface que l’IRT se développe.

2.1.1.2 Mise en équation

Afin de parfaire notre compréhension de l’IRT et de sa dynamique, une étude théorique de l’instabilité s’impose. Le problème est ainsi posé : "Soit un système composé de deux fluides de densités différentes, ρ1et ρ2, mis à la verticale l’un de l’autre, avec le fluide 1 au dessus. Ce système est soumis à la pesanteur, ~g. Supposons une petite perturbation de l’interface entre ces deux fluides. On considérera que l’interface se trouve initialement en z = 0, où l’axe ˆuzest défini tel que ~g = −g ˆuz. Comment évolue la perturbation de l’interface ?"

Deux approches pour résoudre ce problème existent. La première repose sur la théorie des écoulements po-tentiels. Elle se caractérise par sa simplicité, mais suppose des écoulements irrotationnels et ne permet pas l’ajout de phénomène physique tel que la viscosité ou la compressibilité des fluides (ce qui est plutôt limitant en HDE). La seconde approche est plus complexe mais plus facilement généralisable. C’est d’ailleurs l’approche historique employée par Lord Rayleigh dans son papier [Ray83] présentant l’instabilité.

Afin de faciliter l’exposé de cette seconde méthode, nous allons nous placer dans le cas simple considéré par Lord Rayleigh. Nous supposerons donc que l’écoulement est uniquement hydrodynamique, qu’il n’y a pas de viscosité, de tension de surface, que les fluides sont non-miscibles. Le système est donc soumis aux équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement suivant :

(

∂tρ + ∇ · (ρ~u) = 0

ρ (∂t~u + (~u · ∇) ~u) = ρ~g − ∇p ^(2.2)

où ~u est la vitesse fluide et p la pression.

À cela, nous ajoutons l’hypothèse d’un écoulement incompressible, ∇ · ~u = 0. À ce point cette hypothèse peut paraître trop forte et l’hypothèse des fluctuations incompressibles pourrait suffire. Mais une hypothèse qui sera émise par la suite entraînera celle de l’écoulement incompressible. Il ne nous reste plus qu’à appliquer la théorie des perturbations au premier ordre, afin de linéariser le système, et à décomposer la perturbation de la surface (initialement orthogonal à ∇p et donc à ˆuz) en onde plane, en suivant la théorie de Fourier. Toute perturbation pourra donc s’exprimer sous la forme : f(~r, t) = f(z) · exp(ikxx + ikyy + nt), où kxet kysont les composantes selon les axes ˆuxet ˆuydu vecteur d’onde et n le coefficient de croissance exponentielle.

En ajoutant les conditions de continuité à l’interface (uzet p) ainsi qu’en supposant que les fluides sont uniformes et qu’il n’y a pas de perturbation à l’infini de l’interface, nous obtenons le taux de croissance de l’instabilité :

n =pAnkg (2.3)

où An est le nombre d’Atwood valant (ρ1− ρ2)/(ρ1+ ρ2), k est la norme du vecteur d’onde de la perturbation avec k2= k2

x+ k2

FIGURE 2.2 – Évolution du taux de croissance de l’IRT, n, en fonction du nombre d’onde, k, et des processus physiques considérés. Trois cas sont illustrés : le cas idéal, en bleu, où seule la gravité et la pression rentrent en compte ; le cas où nous considérons les effets des forces visqueuses, en orange ; et celui où seul l’effet de la tension de surface est considéré, en vert. Dans les deux cas non-idéaux représentés un taux de croissance maximum, nmax, apparaît.

Cette formule implique que si le nombre d’Atwood est négatif, et donc que le fluide le plus léger se trouve au dessus, le système est stable. Il y aura oscillation de la perturbation, autour de la position de repos de l’interface. Dans un cas réel cette oscillation sera amortie notamment sous l’effet de la viscosité.

Si le fluide le plus lourd est au dessus, et donc que le nombre d’Atwood est positif, la perturbation croîtra de façon exponentielle. La situation est donc instable (voir figure2.3).

Ce développement basique donne ce qui est souvent appelé le taux de croissance de l’IRT. Il est à noter que c’est un taux de croissance linéaire qui repose sur de nombreuses hypothèses, dont certaines sont incompatibles avec la HDE. La plus évidente est l’incompressibilité de l’écoulement. Néanmoins ce taux peut servir de base de travail et permet une première approximation.

2.1.1.3 Autre phénomène physique et modification de la croissance

Changer les hypothèses présentes dans le développement de la partie précédente ou considérer l’effet d’autres phénomènes physiques ou forces, entraînent une modification du taux de croissance de l’instabilité. Bon nombre de ces altérations ont déjà été étudiées au cours du siècle dernier. La plupart sont compatibles avec la méthode présentée précédemment, à savoir une approche de dynamique des fluides à laquelle on ajoute la théorie des perturbations et une décomposition en série de Fourier. Dans cette section, nous allons présenter différents phé-nomènes physiques ainsi que leur effet sur le taux de croissance. Nous ne rentrerons pas dans les détails, mais un lecteur avisé pourra s’adonner au jeu de re-dériver chaque solution ou trouvera simplement l’ensemble des explications dans les papiers cités.

Le premier effet que nous allons considérer est celui de la viscosité. En HDE, il est courant de considérer la viscosité comme négligeable devant les termes de pression et d’énergie (interne et cinétique). Ce terme, bien que négligeable pour le reste de la dynamique, a d’importants effets sur le développement de l’IRT, qui dépassent une simple diminution du taux de croissance linéaire. Si nous ajoutons la viscosité au problème initial et que nous supposons que le coefficient de viscosité cinématique, ν ne dépend que de la hauteur z, le taux de croissance linéaire de l’IRT devient alors :

n =pAnkg + k4ν2− k2ν (2.4)

Il est important de noter que l’ajout de la viscosité n’entraîne pas qu’une diminution du taux de croissance mais abouti aussi à l’apparition d’un nombre d’onde critique, kmax, au-delà duquel le taux de croissance diminue (voir figure2.2). Dans ce cas, le taux de croissance de l’instabilité admet un maximum, nmax, et ne diverge donc pas.

2.1. Les instabilités hydrodynamiques

FIGURE 2.3 – Représentation schématique du devenir d’une interface entre deux fluides. La situation initiale

(gauche) correspond au problème de RT. Si le milieu le plus dense se trouve au dessus la situation est instable (centre). Les perturbations de l’interface croissent exponentiellement. Dans le cas contraire (droite) le milieu est stable. Il y a alors oscillation des perturbations de l’interface et possiblement dissipation de celles-ci.

kmax= ¹ 2  Ang ν2 1/3 (2.5) nmax= ³ 4 s (Ang)^4/3 ν2/3 −^(Ang) 2/3 4ν1/3 (2.6)

La diffusion de la matière, possible dans le cas de fluide miscible, a un effet similaire au cas précédent. Cette diffusion joue un rôle en HDE, où elle a, contrairement à la viscosité, un effet habituellement non-négligeable. Il est en effet courant de vérifier les temps de diffusion des atomes de différentes espèces au sein d’un plasma lors de la préparation d’expérience laser avec des cibles comportant de multiples matériaux. Dans la plupart des cas cet effet est négligeable sur le temps de l’expérience, mais sa présence peut modifier l’ensemble de la dynamique. Par ailleurs, les effets de diffusion sont souvent mal représentés dans les codes de simulation hydrodynamique. Ainsi les codes eulériens ont tendance à surestimer les effets de la diffusion, alors que les codes lagrangiens quant à eux les sous-estiment (voire ne les prennent pas en compte).

Une formule plus générale, prenant en compte les effets de la viscosité et de la diffusion, décrit le taux de croissance de l’instabilité [DHH62] :

n =pAnkg/Ψ + k4ν2− k2(ν + D) (2.7) où Ψ est une fonction du nombre d’Atwood (autrement dit du rapport des densités) et D est le coefficient de diffusion binaire. La diffusion a un effet stabilisateur et peut rendre les petites longueurs d’onde stables du point de vue de l’IRT (voir figure2.4).

La tension de surface peut aussi jouer un rôle limiteur sur la croissance de l’instabilité. Par principe elle limite la déformation de l’interface et donc la croissance de nombreuses instabilités. En prenant en compte uniquement les effets de la tension de surface en plus de la situation initiale, nous arrivons à un nouveau taux de croissance de l’instabilité égal à [Cha81]

n = s gk  An− ^k 2T g (ρ1+ ρ2)  (2.8) avec T la tension de surface. Cette formule présente, comme pour les formules précédentes, un nombre d’onde critique, kmax, pour lequel le taux de croissance est maximal, mais elle présente aussi un nombre d’onde limite, klim,

FIGURE2.4 – Variation du taux de croissance de l’IRT, n, en fonction du nombre d’onde de la perturbation, k, et du rapport entre coefficient de viscosité cinématique, ν, et coefficient de diffusion binaire, D. Un nombre d’onde limite au-delà duquel toutes perturbation devient stable apparaît dès lors que les effets de la diffusion sont suffisamment importants. La fonction Ψ est prise constante dans cette représentation.

au-delà duquel le système n’est plus instable (voir figure2.2). klim = r Ang(ρ1+ ρ2) T (2.9) kmax=√¹ 3^{klim nmax=} s 2 3√ 3pAngklim (2.10)

Par ailleurs, il est à noter que bien que la tension de surface ait un effet limitant comme la diffusion, ces deux phénomènes s’ajoutent mal. En effet, la tension de surface limite directement la diffusion, diminuant fortement ses coefficients. Bien qu’elle soit souvent négligeable en HDE, face aux termes de pression et d’énergie interne et cinétique, la tension de surface doit être prise en compte notamment lors de simulation. Sans quoi la croissance des instabilités se retrouve souvent sous-évaluée dans les codes eulériens [Dim+04] (notamment pour des simulations réalisées avec FLASH, un des codes que nous utilisons en simulation).

Dans le cadre de la HDE, il paraît intéressant de connaître l’effet de l’ablation par laser sur l’IRT. En effet, la HDE expérimentale est intimement lié au développement des lasers. La détente de la matière ablatée par laser est propice au développement d’instabilités. Enfusion par confinement inertiel(FCI), l’un des domaines de la HDE ayant un impact important sur les recherches effectuées dans ce domaine, des non uniformités du dépôt laser peuvent favoriser la croissance d’IRT (imprint), qui peuvent empêcher l’ignition. Cela amène naturellement à se questionner sur la dynamique des IRT qui se développent au front d’ablation. Des études successives ont été menées dès 1974 afin dans connaître la dynamique. Elles conclurent que l’ablation a un rôle stabilisateur sur l’IRT. Deux formules, décrivant cette dynamique, ont été développées. La plus ancienne, la formule de Takabe [Tak+85], fait appel à une méthode semi-analytique ajustant ses paramètres pour répondre aux résultats des simulations et expériences précédemment réalisées. Sa formulation la plus courante est : n = α^√_{kg − βkv}a, avec α et β deux paramètres d’ajustement trouvés égaux à 0,9 et 3 respectivement, et va la vitesse de flots du plasma à travers le front d’ablation. L’autre se base sur une méthode analytique couplée à un ajustement des asymptotes [San96]. Elle se formule comme

n ≈ α(k)pkg − 3kva (2.11)

avec α(k) ≡ p1 − (k/kc)^rl’effet stabilisant par conduction thermique et kcle nombre d’onde de coupure. On peut remarquer dans ces deux formules l’absence du nombre d’Atwood, cela est dû à la configuration étudiée, la FCI. Dans ce cas, il n’y a pas de saut de densité à proprement parler, mais plutôt un gradient. Nous estimons alors que la croissance de l’instabilité se fait en √kg [Mun88;BLV90] qui est qualifié de mode global (bien qu’il ne soit jamais atteint). Des études plus récentes [Gon+96] ont amené des formules plus exactes, mais plus complexes. Ces études introduisent notamment un nombre d’Atwood de la FCI qui n’a rien à voir avec les densités. Ce nombre

2.1. Les instabilités hydrodynamiques

FIGURE2.5 – Simulations de l’effet du champ magnétique sur la croissance de l’IRT en MHD. Trois configurations

sont présentées : champs magnétique, B, parallèle au vecteur d’onde (gauche), orthogonal au vecteur d’onde et au plan de l’interface (centre) et orthogonal au vecteur d’onde mais parallèle à l’interface (droite). Dans ces deux derniers cas le champ magnétique ne change pas le taux de croissance de l’instabilité. Néanmoins il influence la morphologie des pics dans les trois cas. Image (simulation) tirée de [FP15] figure 2.

classiquement exprimé comme AT = 1/(1 + kLmin) dépend seulement du nombre d’onde et de la longueur caracté-ristique du gradient de densité, Lmin. Ce pseudo nombre d’Atwood va influencer le taux de croissance donnant des formules, tel que pATkkgk − βkvA, où l’ensemble des paramètres non définis dépend du coefficient de transport thermique, ainsi que des modèles de détente du plasma considérés.

L’une des hypothèses, formulées lors de notre étude initiale de l’IRT, est fortement incompatible avec la HDE. C’est l’hypothèse d’incompressibilité. De par la nature même des processus physiques présents dans ce domaine, à savoir les ondes de choc, ainsi que l’état de la matière étudiée, le plasma, il paraît impensable que l’écoulement puisse être incompressible. En réalité, cette hypothèse, bien que forte, peut être justifiée dans certains cas, no-tamment loin du choc et quand le plasma ne se détend pas (milieu confiné). Une étude analytique de l’effet de la compressibilité peut être menée uniquement en l’absence d’ajout d’autre phénomène physique, tel que la tension de surface ou la viscosité. C’est ce qui a été réalisé par D. Livescu [Liv04]. Le taux de croissance une fois modifié prend pour forme : n = ^√f kg, où f est une fonction de nombreux paramètres dont les densités du système au repos, les rapports de capacités thermiques (γ), la pression au niveaux de l’interface... Ce taux de croissance peut être supérieur à celui du cas incompressible, bien que dans de nombreux cas il lui est inférieur. Le cas particulier, où la densité est continue à l’interface, présente un intérêt certain pour les études de l’IRT en astrophysique ou en FCI. Dans ce dernier cas, il peut être démontré que quelque soit le profil de densité des milieux, la croissance de l’instabilité ne dépassera pas le mode global [Mun88;BLV90]. Par ailleurs si nous supposons que la distribution de densité est exponentielle, avec ρ(z) = ρ0exp(z/L) (l’interface étant supposée être en z = 0), le taux de croissance devient alors

n =pkg r

4kL

1 + 4k2L2 (2.12)

Nous pouvons noter que dans ce cas la notion d’interface devient particulièrement floue.

Un dernier phénomène physique ayant une importance en HDE et en astrophysique est l’effet du champ ma-gnétique. Étant donné que dans ces domaines, la matière est le plus souvent sous forme de plasma, elle se couple aisément avec le champ électromagnétique. Ce champ est d’abord généré par le plasma, dont la dynamique est en retour influencée. Ici nous ne nous intéresserons qu’à l’application d’un champ magnétique externe, ~B. Un tel champ selon son orientation pourra fortement inhiber la croissance de l’instabilité. En présence d’un champ magnétique uniforme, le taux de croissance de la phase linéaire devient [Cha81;Hil+11] :

n²= kg  An− ^B 2kk 4π (ρ1+ ρ2) kg  (2.13) où B est la norme du champ magnétique et kk la composante du vecteur d’onde de la perturbation dans la direction du champ.

FIGURE 2.6 – Représentation schématique de la croissance possible de l’IRT, dans le cas d’une perturbation mono-mode. Dans l’approximation linéaire, la perturbation croît sans déformation (gauche). En présence d’effet non-linéaire, des modes secondaires commencent à apparaître (centre), il y a couplage entre modes. Ici les trois premiers modes possibles sont sommés avec un déphasage aléatoire. Par contre les effets non-linéaires ne per-mettent pas d’obtenir la forme caractéristique de champignon de RT (droite). Seules des instabilités secondaires, comme l’IKH, peuvent créer cette déformation.

Nous pourrions déduire de la formule précédente que le champ magnétique n’aura aucun effet sur l’instabilité dès lors qu’il est orthogonal au vecteur d’onde de celle-ci. En réalité ce n’est pas le cas. Même s’il n’a pas d’effet sur la croissance de l’instabilité, il aura un effet sur la morphologie des pics de l’IRT, comme la figure2.5, tirée de [FP15], nous le montre.

Nous venons de voir le taux de croissance qui détermine la dynamique de l’IRT à l’ordre 1 dans le cas le plus simple. Les modifications de ce taux de croissance dans des cas pertinents pour la HDE et pour nos études ont été ensuite présentées. Même si, par la suite, nous nous référerons le plus souvent au cas simple, n = ^√Ankg, nous garderons à l’esprit les modifications possibles dues aux autres effets notamment lors d’inconsistance entre expérience, théorie et simulation.

Pour aller plus loin dans notre compréhension théorique de l’IRT, il faut considérer son évolution aux temps longs. En effet, la théorie telle que abordée précédemment ne correspond qu’aux temps courts du développement de l’IRT. Elle sous-entend une croissance exponentielle de l’amplitude des modes de la perturbation. Autrement dit, toute perturbation purement sinusoïdale le restera et verra son amplitude croître de manière exponentielle. En réalité ce n’est pas le cas, car des effets non-linéaires rentrent en jeu. Ces effets sont dus aux équations de l’hydrodynamique qui ont un fort aspect non linéaire, ~u · ∇~u. Il y aura donc couplage entre les différents modes de Fourier dès lors que nous considérons les termes d’ordre supérieur à 1. Cela est vrai même en présence d’une perturbation mono-mode, puisque celle-ci pourra se coupler à elle-même formant ainsi des harmoniques. Une étude plus complète du couplage entre modes peut être trouvée dans la littérature [Dra06]. Il est à noter qu’elle ne repose pas uniquement sur l’aspect non linéaire des équations d’Euler, mais fait appel aussi à des considérations sur la continuité de l’interface. C’est d’ailleurs cette dernière qui engendre la création d’harmoniques, il est question de