Mouvement de particules dans un fluide

t 3τ ⁼ √ 2 D t et ¯r(t) = "_∞ 0 ^{r c}(r, t) 4π r2_dr "_∞ 0 ^c(r, t) 4π r2_dr =   8 t 3πτ ^{= 4}  D t π

3.5.4 Mouvement de particules dans un fluide

L’objet (la particule) se déplace toujours par pas successifs de longueur fixe, mais cette fois, à partir d’une position donnée, toutes les directions sont possibles. Si toutes les directions sont équiprobables (pas de champ de forces extérieur, pas de gradient de concentration), le résultat trouvé au paragraphe précédent reste valable. En effet, aucune hypothèse n’a été faite sur le nombre de directions possibles à partir d’un site donné. Rien ne nous interdit de faire tendre celui-ci vers l’infini. Il faut simplement vérifier que les valeurs moyennes et variances sont identiques aux précédentes.

On place l’objet à l’origine, et on cherche à savoir à quelle distance il se trouve de celle-ci au bout de N pas (ou au bout d’un temps t= N τ). À partir d’un point quelconque de la trajectoire, la probabilité pour que l’objet choisisse une direction située dans l’angle solide sin θ dθ dϕ autour de (θ, ϕ) vaut :

dP(θ, ϕ) = ^{sin θ dθ dϕ} 4π

Il nous faut les valeurs moyennes des coordonnées cartésiennes et de leurs carrés. On trouve en intégrant x dP , y dP , z dP , x²dP , y²dP , z²dP (avec x=  sin θ cos ϕ,

y=  sin θ sin ϕ, z =  cos θ, ϕ = 0 à 2π, θ = 0 à π) :

¯x = ¯y = ¯z = 0 Δx2 = x2 = Δy2 = y2 = Δz2 = z2 = ^2

3 ^(3.25)

On en déduit la densité de probabilité de trouver l’objet à l’instant t à une distance r de l’origine (mêmes résultats) :

W(r, t) = _{(4π D t)}¹ _3/2exp



− _{4 D t}^{r2 } avec D = _6τ^2 (3.26) puis les différentes valeurs moyennes :

¯r(t) = 4  D t π ^r 2 = 6 D t ^Δr_¯r =  3π 8 ^{− 1 ≈ 0, 422 (3.27)} Conclusion : une distance moyenne à l’origine variant en √

t, et les fluctuations

très étendues autour de ¯r.

Si maintenant on prend en compte le fait que les pas sont de longueur λ variable, on introduit la probabilité dP(λ, θ, ϕ) pour que l’objet choisisse un pas de longueur comprise entre λ et λ+ dλ dans une direction située dans l’angle solide sin θ dθ dϕ autour de (θ, ϕ) :

Les relations 3.25, 3.26 et 3.27 restent identiques, mis à part que maintenant  est le libre parcours moyen =^"₀^∞λ w(λ) dλ, et 2 _{le libre parcours quadratique} moyen ² =^"₀^∞λ²w(λ) dλ.

Calcul du libre parcours moyen.

On considère ici un gaz parfait de sphères dures. Les molécules qui le tuent se déplacent en ligne droite, ou plus exactement sur des lignes brisées consti-tuées de segments rectilignes : chaque fois qu’une molécule en rencontre une autre, il se produit une collision provoquant un changement brusque de direction. On n’en-visage ici que les collisions les plus courantes aux températures habituelles : chaque choc est supposé binaire (ne faisant intervenir que deux molécules) et élastique (pas de modification des structures internes des molécules, et donc conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie).

Le libre parcours moyen est la distance moyenne que parcourt une molécule entre deux collisions. Soient deux molécules A et B de masses m_Aet m_Bconvergeant toutes deux vers un point O à des vitesses v_A et v_B telles qu’elles vont y arriver en même temps. Leur centre de masse G converge également vers O. Il est facile de voir sur la figure 3.5 qu’on peut ramener le problème à deux particules convergeant vers G, la molécule A à la vitesse v_A− vG, la molécule B à la vitesse v_B− vG.

Fig. 3.5 – Collision : vitesses par rapport au centre de masse

Le mouvement du centre de masse n’a aucune influence sur la collision. On est ainsi conduit à n’étudier que les chocs frontaux : en mouvement relatif, les deux molécules partagent maintenant la même trajectoire. En termes d’énergie cinétique, on a tout simplement séparé le mouvement de translation du centre de masse du mouvement des molécules par rapport au centre de masse :

T = 1 2^mAv_A²+ 1 2^mBv_B² = 1 2^MvG² +1 2^mA(vA− vG)2+1 2^mB(vB− vG)2 avec M = mA+ mB et Mv_G = mAv_A+ mBv_B

Il faut maintenant prendre en compte le fait que les molécules ne sont pas ponc-tuelles. On peut avoir collision frontale si les deux trajectoires, toujours parallèles, sont séparées par une distance p (appelée paramètre d’impact). Si r_A et r_B sont les rayons des deux molécules, il y aura collision si p < r_A+ rB (figure 3.6).

Fig. 3.6 – Collision frontale : paramètre d’impact

En remplaçant v_G par (mAv_A + mBv_B)/M dans les deux derniers termes de l’énergie cinétique, on trouve :

T = ¹₂Mv_G² +¹₂m_AB(vA− vB)2 _{avec m}

AB= ^mAmB

m_A+ mB

(masse réduite) C’est la réduction du problème à deux corps qui permet ici de remplacer les deux molécules mobiles A et B par un objet ponctuel et sans masse et un objet mobile de masse m_AB, de rayon r_AB= rA+ rB et de vitesse v_AB= vA− vB.

Pour calculer le nombre moyen de collisions subies par une molécule A de la part des molécules B au cours de l’intervalle de temps δt, il suffit de compter le nombre de molécules B présentes dans un cylindre de section π r²_AB et de longueur ¯vABδt.

En divisant ensuite par δt, on obtient la fréquence de collisions A-B par atome A. On trouve, en utilisant 3.5 :

Z_A^B = ρBπ r²_AB¯vAB= ρBπ(rA+ rB)2 

8kT

π m_AB

Si le gaz est multiconstituant (molécules A, B, C, etc), on obtient la fréquence

de collisions pour une molécule A en ajoutant les différentes contributions :

Z_A= ZA A+ ZB

A+ ZC A . . .

Et pour son libre parcours moyen il suffit d’écrire :

_A = ^¯vA Z_A = ¹ Z_A  8kT π m_A = ¹ 4π r2 Aρ_A√ 2 + π(rA+ rB)2_ρB  1 + ^mA m_B + . . .

Le libre parcours moyen est indépendant de la température. Seules

les densités, les rayons moléculaires et les rapports de masse interviennent dans l’expression.

Pour un gaz monoconstituant, on a (molécules de masse m et de rayon r) :

Z = 4π r2_ρ  16kT π m ^{et } = ¹ 4π r2_ρ√ 2

Voici quelques valeurs numériques du libre parcours moyen, comparé à la distance moyenne d entre molécules, pour l’hélium (r = 128 pm), le néon (r = 154 pm), l’argon (r= 188 pm), le krypton (r = 202 pm) et le xénon (r = 216 pm).[6]

On constate que le libre parcours moyen est dans un gaz ordinaire 1,2 à 7500 fois plus grand (15 à 40 dans les conditions standard) que la distance moyenne entre molécules, et qu’il peut atteindre des valeurs considérables en vide extrême (oui, ce sont bien des giga-mètres) : un atome d’hélium du milieu intersidéral peut parcourir plus de30 millions de kilomètres (un an et demi à 100 K) sans subir aucune collision. Ce même atome dans dans les conditions standard subirait environ 300 millions de collisions par seconde.

ρ 108 _V 1012 _U 1016 _V 1019 _V 1022 _G 1027 d 2 mm E 100 μm V 5 μm S 500 nm P 50 nm O 1 nm He 34, 3 Gm 3434 km 343 m 343 mm 343 μm 3, 43 nm Ne 23, 7 Gm 2373 km 237 m 237 mm 237 μm 2, 37 nm Ar 15, 9 Gm 1592 km 159 m 159 mm 159 μm 1, 59 nm Kr 13, 8 Gm 1379 km 138 m 138 mm 138 μm 1, 38 nm Xe 12, 1 Gm 1206 km 121 m 121 mm 121 μm 1, 21 nm Lorsque le libre parcours moyen devient supérieur aux dimensions du récipient, ce ne sont plus les collisions entre molécules qui définissent les propriétés du gaz, mais les chocs molécule – paroi. On parle alors de ”régime moléculaire”. A contrario, lorsque le libre parcours moyen est très inférieur aux dimensions de l’enceinte, on parle de ""régime fluide” ou de ”régime de fluide quasi continu”.