Distribution de Planck, loi de Planck

p= h−k et ε = h−_{ω avec h}− = _2π^h ≈ 1, 055 10−34 _{J s}

On relie l’énergie d’un photon à celle de l’onde qui lui est associée en disant que cette énergie vaut N_ωh⁻ω, où N_ω est le nombre de photons de pulsation ω. L’énergie de l’onde est ainsi quantifiée puisque N_ω est un entier positif ou nul.

En utilisant k= ω/c et les équations de Planck−Einstein, on en déduit ε = p c. Si on compare ce résultat à celui, tout à fait général, donné par la mécanique re-lativiste (ε² = p2_c2 + m2_c4_{), on en déduit que le photon est une particule de}

masse nulle.

L’onde possède deux états de polarisation possibles. Les photons correspondants auront donc deux états de spin possibles. Mais attention : il ne faut pas en conclure pour autant que leur spin vaut¹/₂. Une étude plus approfondie montre qu’en fait le spin des photons vaut s= 1, mais que la valeur ms = 0 est interdite, de la même façon que l’état de polarisation longitudinale de l’onde qui lui est associée est interdit par les équations de Maxwell. Conclusion : les photons sont des bosons de spin 1, mais il faudra remplacer(2s + 1) non pas par 3, mais par 2.

Pour terminer le passage onde particules, on associe un état individuel possible pour les photons (une pulsation ω et un état de spin) à chaque mode propre classique (un vecteur d’onde et un état de polarisation). C’est ce qui nous permet de calculer la densité d’états individuels pour les photons. Il suffit de remplacer dans g_ω(ω) dω la pulsation ω par ε/h⁻ et dω par dε/h⁻ :

g(ε) dε = gω(ω) dω = ^{V ω2dω}

π²c³ = ^{V ε2}

π²c³h^{−3 dε} ⇒ g(ε) = ^{V ε2} π²c³h⁻³

2.4.3 Distribution de Planck, loi de Planck

Contrairement aux particules matérielles pour lesquelles il faut négliger les inter-actions entre particules, les interinter-actions entre photons sont rigoureusement nulles. On a donc affaire à un gaz de bosons rigoureusement parfait. La fonction de dis-tribution de Bose-Einstein (avec ε = h−_{ω) permet de calculer le nombre moyen de} photons de pulsation ω :^[7]

N_ω = ¹ e^{(h−ω−μ)/kT} − 1

Les photons interagissent avec les parois. C’est ce qui rend possible l’établisse-ment de l’équilibre thermique avec le thermostat. Pour un système isolé à l’équilibre thermique, les nombres de photons émis ou absorbés peuvent être différents, à partir du moment où l’énergie est conservée. C’est un système ouvert, bien que l’enceinte soit fermée . . . Le fait que le nombre de photons ne soit pas conservé permet de dire que le potentiel chimique des photons est nul. D’où :

Nω = ¹

e^h−ω/kT − 1 ^{Distribution de Planck.}

Attention : la situation n’a rien à voir avec celle d’un système ouvert échangeant des particules avec un réservoir. Lorsqu’on étudie un système ouvert, le nombre de particules du système fluctue mais le nombre total de particules (système + réservoir) reste constant. Dans le cas d’un système de photons, le nombre total de photons n’est pas conservé. Les parois émettent ou absorbent des photons, elles les créent ou les annihilent.

En conséquence de ce potentiel chimique nul, toutes les grandeurs thermody-namiques pourront être exprimées uniquement en fonction de T et V . Thermody-namiquement, il n’y a plus que deux termes dans l’équation fondamentale, ce qui restreint le nombre de transformées de Legendre possibles. À partir de S/k :

S/k(E, V, N) = βE + ξV β = ^∂S/k ∂E  V,N ξ= ^∂S/k ∂V  E,N (+βF ) est la Transformée de Legendre de S/k pour la variable E :

βF(β, V, N) = βE − S/k E = ^∂βF ∂β  V,N ξ= − ^∂βF ∂V  β,N (−βΦ) est la Transformée de Legendre de S/k pour la variable V :

βΦ(E, ξ, N) = S/k − ξV β = ^∂βΦ ∂E  ξ,N V = − ^∂βΦ ∂ξ  E,N (+βG) est la Transformée de Legendre de S/k pour les variables E et V :

βG(β, ξ, N) = βE + ξV − S/k E = ^∂βG ∂β  ξ,N V = ^∂βG ∂ξ  β,N

β H, βΨ, β E, et β Θ sont respectivement égaux à S/k, β F , β Φ et β G.

La loi de Planck exprime la densité spectrale d’énergie électromagné-tique u(ω, T ). Par définition, à T donnée, u(ω, T ) dω est l’énergie par unité de volume des ondes de pulsation comprise entre ω et ω + dω. C’est, à un facteur multiplicatif près, l’intensité mesurée en fonction de ω du rayonnement émis par un trou dans la paroi. C’est la loi la plus importante. Historiquement mais aussi parce qu’elle permet de déduire toutes les autres.

Pour calculer la densité spectrale u(ω, T ), on écrit de deux manières différentes l’énergie dE que possèdent les photons de pulsation comprise entre ω et ω+ dω :

– d’une part en utilisant la définition de u(w,T) : dE_ω = V u(ω, T ) dω

– d’autre part, c’est le nombre de modes propres de pulsation entre ω et ω+ dω multiplié par l’énergie emmagasinée par les Nω phonons d’énergie h⁻ω :

dEω = gω(ω) dω × Nωh⁻ω = ^{V ω2}

π²c^{3 dω}

1

e^−hω/kT − 1^h−ω

Ce qui donne la loi de Planck (figure 2.3) : u(ω, T ) = ^h−ω3

π²c³(eh−ω/kT − 1)

Fig. 2.3 – Loi de Planck

Historiquement, cette loi a une importance considérable. Elle fut obtenue par Planck à partir de mesures expérimentales. A noter que théorie et expérience sont en excellent accord dans tout le domaine de température accessible, et quelle que soit la pulsation.

À basse fréquence, on obtient : e^h−ω/kT − 1 ≈ ^h−ω

kT ⇒ u(ω, T ) ≈ ^{kT ω2} π²c³

C’est la formule de Rayleigh-Jeans aussi appelée formule classique, car c’est le résultat que donne la théorie électromagnétique classique (on peut consta-ter d’ailleurs que la constante de Planck a disparu). Selon la théorie classique, la densité spectrale est une fonction constamment croissante de la pulsation. Ce n’est physiquement pas possible, puisque l’énergie totale (l’aire sous la courbe) contenue dans l’enceinte serait infinie. Expérimentalement, ce résultat est correct à basse fré-quence, mais on constate que, à fréquence plus élevée, la densité spectrale passe par un maximum pour décroître rapidement vers 0 à haute fréquence : ce phénomène logique physiquement (connu sous le nom de catastrophe ultraviolette) n’avait aucune justification théorique à l’époque.

La position ω_m du maximum varie proportionnellement à T :^[8]

ω_m= 2, 8214^kT

h⁻

Ce résultat, déduit initialement des courbes expérimentales, est connu sous le nom de loi du déplacement de Wien. La mesure de ω_mconduit à la température de la source. Cette technique est utilisée pour mesurer la température des étoiles.

La valeur u_m que prend ce maximum varie en T³ :

u_m= u(ωm, T) = 1, 4212 ^k3T3

π²h⁻²c³

Aux températures usuelles (lampe à incandescence : 3000 K, arc électrique : 4000 K, surface du soleil : 5500 K, . . .), ω_mest dans l’infrarouge. Il atteint le domaine visible à une température d’environ 6400 K. A noter que le passage de T = 2800 K (lampe ordinaire) à T = 3200 K (lampe halogène) multiplie l’intensité par un facteur variant de 2 à 5 dans le domaine visible.