5.3 Les syst`emes composites
5.3.1 Motivations
5.3.1.1 Les espaces de Hilbert composites
Une id´ee naturelle, `a la suite de la g´en´eralisation de la section pr´ec´edente, est d’´etudier les cas composites, caract´eris´es par un autre type d’op´erateurs de Pauli g´en´eralis´es. Le cas le plus simple est celui de l’alliance qubit-qutrit.
Un qutrit est un syst`eme `a trois niveaux, au sens de la m´ecanique quantique et il s’´ecrira comme un vecteur colonne unitaire `a 3 composantes.
De mani`ere g´en´erale, on appellera qudit le vecteur d’´etat d´ecrivant un syst`eme quan- tique attach´e `a un espace de Hilbert de dimension d, Hd.
Pour d une dimension ´egale `a un nombre premier p, une mani`ere de caract´eriser les syst`emes composites est la suivante : on construit [BBRV02] une base orthonorm´ee d’un espace de Hilbert de dimension p en utilisant les op´erateurs de Pauli X et Z, nomm´es ´egalement op´erateurs shift et clock. Leurs actions respectives sont :
X|n3 = |n + 13 et Z |n3 = ωpn|n3 avec ωp = e
2iπ
p (racine pi`eme de l’unit´e) (5.10)
La base associ´ee (il s’agit de la base des op´erateurs de Pauli g´en´eralis´es) sera alors sous la forme [BBRV02, KSSdG05] :
{Zk}; k = 1, ..., p − 1 et {(XZm)k} ; k = 1, ..., p − 1 , m = 0, ..., p − 1 (5.11)
Ses composantes sont regroup´ees en p + 1 classes disjointes contenant chacune p − 1 op´era- teurs qui commutent deux `a deux. On a au total p2−1 op´erateurs, plus l’op´erateur identit´e,
la matrice Ip, que l’on ne fait pas toujours intervenir du fait de son action triviale. De telles classes sont maximales en terme de cardinal. Les vecteurs propres communs de diff´erentes classes forment diff´erents ensembles complets de MUBs [BBRV02, KSSdG05].
Le cas le plus simple ( p = 2 ) correspond au qubit et il s’agit des 4 matrices de Pauli habituelles.
Le cas suivant ( p = 3 ) correspond `a un syst`eme physique `a 3 niveaux : le qutrit. Une base orthonormale d’op´erateurs pour un tel syst`eme sera [Law04] :
σI = {I3, Z, X, Y, Z2, X2, Y2, V, V2} pour I = 1, 2, ..., 9 avec X = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 , Z = 1 0 0 0 ω 0 0 0 ω2 o`u ω = e 2iπ 3 , Y = XZ et V = XZ2
dernier postulat de la m´ecanique quantique : par exemple, pour un syst`eme `a 6 niveaux, on effectue le produit tensoriel entre les op´erateurs de Pauli pour 1 qubit, et ceux pour 1 qutrit. On aurait pu ´egalement d´efinir une base pour un espace de Hilbert de dimension 6 directement `a partir de shift et clock, bien que ces op´erateurs aient une forme un peu diff´erente des matrices de Pauli originelles [Kib08], puisque 6 n’est pas un nombre premier, mais le choix a ´et´e fait de s´eparer le syst`eme `a deux niveaux de celui `a trois. En effet, il s’agit d’une ´etude des relations de commutation et de la compl´ementarit´e quantique, et ce choix permet de mieux appr´ehender le rˆole des MUBs des diff´erents syst`emes les unes par rapport aux autres.
5.3.1.2 Les syst`emes composites par l’alg`ebre
Dans cette section, on aura `a faire `a une dimension d, o`u d est un produit de nombres premiers distincts. Quand on parlera de groupe de Pauli et d’op´erateurs X et Z en dimen- sion d, on utilisera implicitement la repr´esentation du groupe de Pauli issue de produits tensoriels entre les op´erateurs X et Z qui ont d´ej`a ´et´e pr´esent´es dans la section 5.3.1.1.
Munis de la loi de multiplication, les op´erateurs X et Z g´en`erent le groupe de Pauli G (non commutatif) `a partir de la relation [HS07] :
ZX = ωXZ
A partir de l`a a ´et´e montr´e [Vou07, HS07] que les ´el´ements de G pouvaient ˆetre mis sous la forme suivante :
ωaXbZc o`u a, b, c ∈ Zd
On peut r´eduire le nombre d’´el´ements du groupe de Pauli, nombre ´egal `a d3, `a d2 en
consid´erant le quotient de G par son centre G" : G/G" (cf. section A.1.3).
La r´ef´erence [HS07] d´ecrit les relations de commutation entre les op´erateurs de G et de G/G", d’une part en utilisant les vecteurs (b, c) appartenant `a Z2
det en consid´erant leur sous module cyclique (cf. section A.2.3), d´efini comme suit :
Zd(b, c) = {(ub, uc), u ∈ Zd},
et d’autre part, en mettant `a contribution les points de la droite projective :
P1(Zd) = {Zd(b, c), (b, c) est admissible}.
Pour rappel, un vecteur admissible (b, c) est tel que :
∃(x, y) ∈ Z2d, " b c x y # est inversible,
ce qui pour une matrice `a coefficients dans un anneau commutatif est ´equivalent `a avoir un d´eterminant ´egal `a l’une des unit´es de cet anneau.
Une classe d’´equivalence de (b, c) est un sous module cyclique libre Zd(b, c), d’ordre d, et aussi un point de la droite projective P1(Zd).
On rappelle (afin de pouvoir faire un parall`ele avec le paragraphe suivant concernant la d´efinition d’un ensemble perpendiculaire) la structure de graphe de la droite projective
P1(Zd) : deux points distincts Zd(b, c) et Zd(b", c") sont dits distants si
det 8 8 8 8 8 " b c b" c" #888 8
8 est ´egal `a une unit´e de Zd, sinon ils sont dits voisins.
Un autre concept int´eressant permet de r´epartir les vecteurs appartenant `a Z2
d diff´e- remment : on d´efinit un ensemble perpendiculaire (`a ne pas confondre avec l’hyperplan du mˆeme nom d’un quadrangle) (b, c)⊥ comme suit :
(b, c)⊥ = {(u, v) ∈ Z2
d, (b, c)⊥ (u, v)} o`u(b, c) ⊥ (u, v) si det 8 8 8 8 8 " b c u v #888 8 8= 0
On note [PB07] d’ores et d´ej`a que deux vecteurs appartenant au sous module cyclique libre sont mutuellement perpendiculaires. Selon [HS07], les op´erateurs de G qui commutent avec un op´erateur fix´e constituent un ensemble perpendiculaire. En utilisant cette analogie, on peut identifier les ´el´ements d’un sous module cyclique libre qui sont mutuellement per- pendiculaires, avec les ensembles maximaux d’op´erateurs de Pauli qui commutent, comme cela a d´ej`a d’ailleurs ´et´e fait implicitement dans [PBS07]. A posteriori on ne devrait pas ˆetre surpris que la droite projective P1(Z6) corresponde `a la structure d’incidence des en-
sembles maximaux commutant du syst`eme qubit-qutrit (cf. section 5.3.2). Pour compl´eter cette vision g´eom´etrique des relations de commutation, il faut identifier les vecteurs (pas n´ecessairement admissibles) de Z2
d avec les d2 op´erateurs de Pauli.
Le th´eor`eme 1 de la r´ef´erence [HS07] ´enonce qu’un sous module cyclique libre Zd(b", c") contenant un vecteur (b, c) appartient `a l’ensemble perpendiculaire (b, c)⊥. Seulement si (b, c) est admissible, le dit module est ´egal `a (b, c)⊥.
Cela va dans le sens de l’interpr´etation [PB07] selon laquelle les ensembles maximaux d’op´erateurs qui commutent (qui correspondent `a Zd(b, c)) d´efinissent ´egalement une base d’op´erateurs (correspondant `a (b, c)⊥).
Une cons´equence imm´ediate concerne l’application aux MUBs. Deux vecteurs d’une bases seront perpendiculaires tandis que deux vecteurs de deux MUBs distinctes ne le seront pas. En utilisant deux vecteurs distincts non nuls et admissibles (b, c) et (b", c"), les deux ensembles de vecteurs :
sont disjoints seulement si :
uv(bc"− cb") := 0
c’est-`a-dire si
uv := 0 et (b, c), (b", c") ne sont pas perpendiculaires
On ne peut pas « partitionner » en termes d’ensembles maximaux commutant car il n’y en a pas du fait que l’anneau Zd poss`ede des diviseurs de 0, qui est donc tel que u et
v peuvent ˆetre des diviseurs de 0. Le nombre maximum de MUBs en dimension compo-
site pourrait ainsi ˆetre reformul´e comme ´etant le nombre maximum de tels ensembles de vecteurs disjoints dans l’anneau associ´e `a la dimension en question [PB07].
Si la dimension d est la puissance de nombres premiers distincts pk, le th´eor`eme 2 de la r´ef´erence [HS07] produit des r´esultats quantitatifs `a propos de :
– le nombre de points, not´e nd, de la droite projective P1(Zd) contenant tout vecteur
(b, c)
– le partitionnement de (b, c)⊥ comme ´etant l’union (au sens de la th´eorie des en- sembles) de ces points
– la cardinalit´e de (b, c)⊥ On a en effet d’apr`es ce th´eor`eme :
nd= ? k∈K (pk+ 1) et 8 8 8(b, c)⊥888 = ? k∈K pk (5.12)
o`u K est un l’ensemble des indices relatives `a la d´ecomposition des composantes de (b, c) en ses id´eaux principaux.
On va maintenant aborder dans le d´etail des cas particuliers de syst`emes composites. Selon les syst`emes, on privil´egiera les aspects les plus pertinents.