4.5.1 L’anneau de Galois R42
La d´emonstration du th´eor`eme de Kochen et Specker en dimension 4 s’est appuy´ee sur la contradiction entre une relation alg´ebrique pour les observables et celle pour les valeurs propres (cf. section 4.1.2).
Or ces mˆemes valeurs propres sont aussi les caract`eres additifs du corps F4. On va
poursuivre et montrer d´esormais que les vecteurs propres sont les caract`eres additifs d’un anneau not´e R42.
De mˆeme que F4 poss`ede pour corps de base F2 = Z2, constitu´e des bits 0 et 1, l’anneau
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
Tab. 4.15 – Addition dans Z4
. 0 1 2 3
0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1
Tab. 4.16 – Multiplication dans Z4
En observant les tables de Z4 ci-dessus, on peut noter la diff´erence avec l’addition et
la multiplication dans F4, dont les tableaux sont 4.2 et 4.3 respectivement. En particulier
2 ∗ 2 = 0 ou, en d’autres termes, l’anneau poss`ede 2 pour diviseur de z´ero (non trivial). Dans la section 4.2.1, on a introduit les polynˆomes F2[x], `a coefficients dans le corps de
base F2 = Z2, et d´efinit le corps F4 comme l’ensemble des classes de polynˆomes obtenues
en effectuant les op´erations modulo le polynˆome irr´eductible x2+ x + 1.
D´esormais, on introduit les polynˆomes Z4[x], `a coefficients dans l’anneau de base Z4, et
on d´efinit l’anneau R42 comme l’ensemble des classes de polynˆomes obtenues en effectuant
les op´erations modulo le mˆeme polynˆome irr´eductible x2 + x + 1 (une classification des
anneaux d’ordre plus ´elev´e que Z4 se trouve dans [PR05]).
Il est ais´e de montrer que tout ´el´ement y de l’anneau Z4 s’´ecrit :
y = a + 2.b avec a, b∈ Z2,
o`u les op´erations + et . ont lieu dans Z4.
La mˆeme relation s’applique `a la d´ecomposition de tout ´el´ement y de l’anneau R42, `a
partir de l’ensemble T = {0, 1, x, x2= 3 + 3.x} :
y = a + 2.b, y ∈ R42 et a, b ∈ T,
o`u les op´erations + et . (ainsi que le carr´e) sont dans l’ensemble T . Cela ´etant dit, il y a une ressemblance entre T et F4= {0, 1, x, x2= x + 1}.
La d´ecomposition ci-dessus permet d’exprimer les ´el´ements de l’anneau R42 par le
+2. 0 1 x 3x+3
0 0 2 2x 2x+2
1 1 3 2x+1 2x+3
x x x+2 3x 3x+2
3x+3 3x+3 3x+1 x+3 x+1
Tab. 4.17 – Synth`ese des ´el´ements deR42 par l’op´eration +2.
Dans le tableau 4.17, +2. indique qu’un ´el´ement de la table est la somme a + 2.b de l’´el´ement a de la ligne et de 2 fois l’´el´ement b de la colonne (on a omis pour simplifier la forme du tableau 4.17 de mettre le symbole +2. pour les ´el´ements de R42).
4.5.2 Les caract`eres additifs de l’anneau R42
La section 4.4 a permis d’´elucider le plan de montage des valeurs propres pour les observables du carr´e de Peres et Mermin (et des MUBs), `a partir des caract`eres additifs du corps F4. Le mˆeme type d’approche s’applique aux vecteurs propres communs aux
observables d’une ligne, pour peu que l’on exhibe les caract`eres additifs de l’anneau R42.
Dans le cas pr´esent, la trace d’un ´el´ement g de R42, sur l’anneau de base Z4, s’´ecrit :
g∈ R42 9−→ tr(g) = +σ(g) o`u σ(g) = a2+ 2.b2
Grˆace `a cela, on obtient le caract`ere additif d’un ´el´ement de l’anneau :
g∈ R42 9−→ κ(g) = e 2iπ
4 tr(g)= itr(g)
4.5.3 Les vecteurs propres communs des MUBs
Les vecteurs propres Θa
b,lcommuns `a chacune des lignes a = 0...4 de l’ensemble complet de MUBs, c’est-`a-dire aussi aux 2 derni`eres lignes du carr´e de Peres et Mermin, r´esultent imm´ediatement de la d´efinition du caract`ere additif de R42. Dans cette notation du vecteur
propre, b = 0...3 d´esigne l’index du vecteur, et l = 0...3 d´esigne l’index de la composante du vecteur.
Les MUBs sont constitu´ees de la base de calcul :
B1 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)},
{Θa
b,l= 12κ[(a + 2.b).l]}b,l=0...3; soit, de fa¸con explicite :
B2 = 12{(1, 1, 1, 1), (1, 1, −1, −1), (1, −1, −1, 1), (1, −1, 1, −1)}
B3 = 12{(1, −1, −i, −i), (1, −1, i, i), (1, 1, i, −i), (1, 1, −i, i)}
B4 = 12{(1, −i, −i, −1), (1, −i, i, 1), (1, i, i, −1), (1, i, −i, 1)}
B5 = 12{(1, −i, −1, −i), (1, −i, 1, i), (1, i, 1, −i), (1, i, −1, i)}
Les expressions de ces bases sont en accord avec les r´esultats de la r´ef´erence [Kib10], r´esultats obtenus `a partir d’une d´ecomposition polaire de l’alg`ebre de Lie de SU(2).
Comme on pouvait s’y attendre, le produit scalaire (cf. section A.5.2) entre les vecteurs
|Θab3 = >3
l=0Θab,l d’une base (orthogonale), et le vecteur |Θcd3 (c := d), d’une autre base, est constant en module, ´egal `a 7Θa
b | Θcd3. Cela vaut aussi pour le produit scalaire d’un vecteur |Θa
b3, avec ceux de la base de calcul.
Notons que cette th´eorie l`eve une partie de la d´eg´en´erescence : les valeurs propres appartiennent en commun aux 15 op´erateurs du tableau 4.11, tandis que les vecteurs propres sont partag´es seulement par les op´erateurs au sein d’une base. Le passage des caract`eres additifs du corps F4 (`a 4 ´el´ements) `a ceux de l’anneau R42 (`a 16 ´el´ements) a
permis ce d´evoilement. Si une lev´ee compl`ete de la d´eg´en´erescence est possible, on pourra peut-ˆetre consid´erer que l’on a `a faire, avec les structures de Galois, `a une r´eelle th´eorie `a variables cach´ees qu’Einstein appelait de ses vœux. C’est dans ce but premier que Michel Planat a eu l’id´ee d’int´egrer certains ´el´ements de l’alg`ebre `a la m´ecanique quantique.
Conclusion
On a vu qu’en partant de l’analyse de th´eor`emes li´es `a la compl´etude de la th´eorie quantique, l’alg`ebre permettait d’´etablir des liens entre quelques unes de ses structures (corps et anneaux de Galois) et des facettes du calcul quantique comme les matrices de Pauli et la compl´ementarit´e quantique. Cependant cette vision reste trop g´en´erique et, pour vraiment comprendre, pour aller plus en profondeur dans cette d´emarche, il semble int´eressant d’´etudier des cas plus particuliers pour ensuite si possible revenir `a des g´en´e- ralisations. Cette d´emarche va ˆetre celle du dernier chapitre de cet essai.
Un formalisme original des
relations de commutation :
approche g´eom´etrique
Introduction
Une importante question th´eorique en m´ecanique quantique pour des espaces de Hil- bert de dimension finie est partiellement rest´ee en suspens : celle de trouver des ensembles complets (c’est-`a-dire maximaux) de bases mutuellement non biais´ees (de MUBs), quelque soit la dimension. Cela provient, entre autre, de la question de la compl´ementarit´e quan- tique et du no-go th´eor`eme de Kochen et Specker (cf. chapitre 4). Quant `a la d´efinition des MUBs, elle a d´ej`a ´et´e donn´ee dans le chapitre 4 (cf. ´equation 4.3).
Par ailleurs, le comportement des MUBs est intimement li´e aux protocoles d’informa- tion quantique (la t´el´eportation quantique [BB84], par exemple) et au calcul quantique (cf. chapitres 2, 3).
On sait par construction [BBRV02] que, pour une dimension d de l’espace de Hilbert consid´er´e puissance d’un nombre premier, on aura d + 1 MUBs et d + 1 ensembles maxi- malement commutant disjoints de cardinal d − 1. Cela signifie que l’on peut r´eunir un maximum de d − 1 op´erateurs qui commutent les uns avec les autres, et qu’il y a d + 1 r´eunions de ce type. Pour d quelconque, le nombre de MUBs est au maximum ´egal `a d + 1 [KSSdG05].
Exemple : pour 2 qubits, d = 4. On a d2 − 1 = 42 − 1 = (22 − 1) × (22 + 1), ce qui
signifie qu’il y a 5 MUBs et 5 ensembles maximaux disjoints d’op´erateurs qui commutent, de cardinal 3, explicit´es dans le tableau 5.1.
I2⊗ σz σz⊗ I2 σz⊗ σz
σx⊗ I2 I2⊗ σy σx⊗ σy
σx⊗ σz σz⊗ σx σy⊗ σy
I2⊗ σx σy⊗ I2 σy⊗ σx
σy⊗ σz σx⊗ σx σz⊗ σy
Tab. 5.1 – Un ensemble complet de 5 bases mutuellement non biais´ees pour 2 qubits Cela signifie d´ej`a qu’une base pour 2 qubits est totalement caract´eris´ee par les vecteurs propres communs de 3 op´erateurs.
Entre deux lignes distinctes, ces observables (il s’agit des op´erateurs de Pauli g´en´eralis´es pour les 2 qubits, d´ej`a abord´es dans le chapitre 4) sont mutuellement non biais´ees. Ainsi, une mesure pr´ecise effectu´ee grˆace aux observables d’une ligne laisse-t-elle attendre des r´esultats tout `a fait al´eatoires pour une autre mesure, qui serait effectu´ee ult´erieurement sur les observables d’une autre ligne.
Quant aux lignes prises deux `a deux, elles forment des MUBs. Pour le voir, on cherche les vecteurs propres communs sur chacune des lignes du tableau 5.1 et on constate d’une part, qu’ils sont chacun non biais´es avec tous ceux des autres lignes et d’autre part, que l’ensemble des vecteurs d’une ligne constitue une base pour l’espace de Hilbert de dimension 4, H4.
Une id´ee naturelle pour l’´etude des MUBs est ainsi d’´etudier les propri´et´es de commu- tation/non commutation entre les op´erateurs de Pauli g´en´eralis´es.
Afin d’en faciliter l’´etude on peut tˆacher d’en « dessiner » les propri´et´es et, de toute fa¸con, commencer par le cas le plus simple et non trivial : les 2 qubits. Les 2 qubits constituent un cas particulier car ainsi que l’on va le voir, toutes les propri´et´es et les diff´erentes partitions de leur graphe de Pauli, d´efinies dans la section 5.1, sont englob´ees dans la g´eom´etrie du quadrangle g´en´eralis´e d’ordre 2 (cf. section B.3.1). Une g´en´eralisation `a n qubits a ´et´e depuis lors ´etudi´ee et sera abord´ee dans la section 5.2, de mani`ere succincte du fait que la m´ethodologie employ´ee ne diff`ere pas fondamentalement. La section 5.1 est principalement une explication d´etaill´ee de [PS08], pour ensuite aborder, dans la section 5.3, les cas particuliers auxquels je me suis int´eress´ee [PBS07, PB07].
Beaucoup d’´el´ements vont ˆetre ´evoqu´es durant ce chapitre et proviennent de divers horizons. Les annexes A, B et C donnent les notions de base respectivement en alg`ebre, en g´eom´etrie projective et en th´eorie des graphes.