2.2 Modes de Bloch dans une structure de dimension finie : un
peu de formalisme
2.2.1 Cas de la structure infinie
Dans une structure de taille latérale infinie et de période a, le mode de Bloch, considéré sans pertes, est parfaitement localisé dans l’espace réciproque, c’est-à-dire qu’il possède un unique vecteur d’onde k// qui vaut, pour un mode situé en Γ, 0. C’est bien le cas d’un mode de Bloch qui ne se couple pas en Γ, qui nous intéresse ici, pour lequel la durée de vie des photons dans le cristal photonique est infinie. Dans l’espace réel, le mode de Bloch est délocalisé, et s’étend sur toute la surface du cristal photonique. Un exemple de répartition spatiale de la composante Hz pour un tel mode est donné figure 2.3. L’amplitude du champ est la même sur l’ensemble de la structure. La transformée de Fourier de cette répartition donne un Dirac en k//=0.
Figure 2.3 – Amplitude et répartition spatiale du champ Hz dans une structure à réseau carré de piliers (ff=38%) supposée de taille latérale infinie.
2.2.2 Cas de la structure de taille finie
Dans le cas où le cristal photonique est de dimensions finies, le vecteur d’onde dans le plan k//
n’est plus localisé exactement en Γ mais possède une extension autour de ce point dans l’espace réciproque. Dans l’espace réel, l’amplitude du champ n’est plus constante sur toute la surface du cristal photonique mais possède alors une enveloppe qui dépend de la forme et de la taille de la structure. On peut donc voir le cristal photonique de taille finie comme une cavité à l’intérieur de laquelle le mode de Bloch est soumis à des conditions d’existence.
En étudiant les conditions d’existence du mode dans le cristal photonique de dimensions finies, nous allons introduire le concept de fonction enveloppe et définir les différentes sources de pertes dans ces structures.
Conditions d’existence du mode de Bloch en cavité
Dans une structure de taille latérale infinie et de période a, le champ électrique En,kdu mode de Bloch sur la bande n du diagramme de dispersion et de vecteur d’onde k vérifie l’équation d’onde suivante :
∇ ∧ (∇ ∧ En,k(r)) = ωn c
2
(r)En,k(r) (2.1)
Où (r) est la fonction diélectrique périodique du cristal photonique. En utilisant le théorème de Bloch, les modes prennent alors la forme :
En,k(r) = un,k(r)eik.r (2.2)
Les modes de Bloch ainsi obtenus sont donc composés de fonctions de Bloch un,k qui possèdent la périodicité de la structure (théorème de Bloch) et d’une fonction eik.r, décrivant la propagation du mode [16, 30]. En négligeant l’interaction entre les bandes, il est possible de décrire le mode de cavité comme une superposition de modes de Bloch du cristal photonique infini [44] :
E(r) = Z
W (r)Ek(r)dk (2.3)
Où Ekest le mode de Bloch du cristal photonique infini au point k (ci-dessus).
En supposant que le confinement n’est pas brutal, il est alors possible de montrer que si F(r) est la transformée de Fourier inverse de W(k), alors F(r) est la fonction enveloppe du mode :
E(r) = F1(r)uk(r) avec F1(r) = Z
W1(k)eik.rdk (2.4)
Le rôle de la fonction enveloppe devient ici tout à fait clair : elle module les fonctions de Bloch du cristal. La transformée de Fourier de la fonction enveloppe F(r) nous donne accès à la décomposition en modes de Bloch du mode de la cavité. La fonction enveloppe doit satisfaire les conditions aux frontières de la cavité, que l’on peut écrire dans une dimension de la manière suivante :
k(ω0)L = pπ − φr(ω0) avec p un entier (2.5) Dans cette équation, L est la longueur de la cavité, ω0 la fréquence de résonance du mode de cavité et φr la phase à la réflexion sur les frontières. En la supposant nulle, il est alors possible de relier les dimensions dans l’espace réel aux dimensions dans l’espace réciproque : k(ω0) = ±pLπ. La condition d’existence du mode de Bloch dans la cavité à cristal photonique est donc donnée par cette dernière équation qui traduit la quantification du vecteur d’onde du mode dans une structure de dimensions latérales finies.
Quelques exemples de modulation de l’enveloppe dans un cristal photonique sont représentés figure 6. Une étude détaillée de la répartition du champ dans un cristal photonique de dimensions finies en utilisant le formalisme de la fonction enveloppe peut être trouvée dans [45].
2.2. Modes de Bloch dans une structure de dimension finie : un peu de formalisme
Figure 2.4 – Quelques exemples de modulation du mode de Bloch par la fonction enveloppe dans un CP 2D de taille latérale finie (composante Hz du champ du mode A1 en polarisation quasi-TE). Les différents ordres sont notés en fonction du nombre de lobes dans les direction x et y : ordre (1,1) (a), ordre (2,1) (b), ordre (2,2) (c). Les longueurs d’onde de ces modes sont respectivement : 1.527, 1.5338 et 1.5399µm
2.2.3 Dynamique du mode de Bloch dans une structure de taille latérale finie
Comme nous venons de le voir, dans une structure de taille latérale finie, le vecteur d’onde k//
du mode de Bloch n’est plus exactement défini en Γ, mais possède un élargissement ∆k lié à la troncature de la structure imposée par la cavité. Autour du point Γ, l’approximation parabolique peut être appliquée [46] : ω = ω0+12αk//2 où α est la dérivée seconde de la courbure de la bande étudiée. La vitesse de groupe moyenne du mode de Bloch s’exprime alors de la façon suivante : vg = ∂ω∂k = αk//. Le mode sera donc d’autant plus “lent” que la courbure de bande sera faible. On aura donc tout intérêt à utiliser des modes de Bloch lents présentant la plus faible courbure de bande possible, limitant ainsi l’extension latérale du mode dans le cristal photonique et donc les pertes aux bords de la cavité.
2.2.4 Sources de pertes dans un cristal photonique de dimensions finies
Lorsque le mode de Bloch est situé dans une structure de taille latérale finie, la durée de vie des photons est limitée par l’ensemble de ses pertes dans toutes les directions de l’espace. Ces fuites peuvent être classées selon leur origine (voir figure 2.5). On distingue d’une part les fuites aux frontières de la structure, d’autre part les fuites verticales, dues à la nature du mode de Bloch situé au dessus du cône de lumière, c’est-à-dire dues au couplage des composantes du mode en k// 6= 0 avec l’ensemble des modes rayonnées. Le facteur de qualité total du mode de Bloch est alors donné par : Q−1
total= Q−1latéral+ Q−1vertical.
Le facteur de qualité latéral est défini par le produit : Qlatéral = ωτl, où τl est la durée de vie du photon avant sa fuite latérale aux bords du cristal photonique. Cette quantité est directement liée à la vitesse de groupe et à la courbure de la bande α au point Γ d’après les considérations précédentes. Le facteur de qualité vertical quant à lui est défini de la manière suivante : Qvertical= ωτv, où τv est la durée de vie du photon avant de s’échapper hors du plan de la structure, par couplage aux modes rayonnés. Nous allons maintenant étudier ces différents processus de pertes et mettre en valeur les paramètres qui régissent le confinement du mode de Bloch dans un cristal photonique de taille finie. Nous décrirons ensuite une stratégie pour permettre de limiter ces fuites afin de garder un facteur de qualité élevé tout en diminuant le volume modal.
Dans cette première partie, les cristaux photoniques 2D utilisés seront des réseaux carrés de micropiliers de silicium dans la silice. Ce choix est justifié par le fait qu’une partie des composants réalisés seront fabriqués dans la centrale technologique du LETI-CEA à Grenoble ce qui permet d’exploiter la résolution de la lithographie Deep UV sur des plaques SOI ou silicium amorphe 200mm. L’épaisseur de la membrane de silicium, de 300nm, a été choisie parmi les épaisseurs standards disponibles. Afin de garder le système symétrique, le cristal photonique est entièrement enterré dans la silice (SiO2).