Figure 2.5 – Classification des différentes sources de pertes pour un mode de Bloch situé au dessus du cône de lumière dans une structure de dimensions finies.
2.3 Etude du facteur de qualité dans une structure de dimensions
finies
2.3.1 Facteur de qualité du mode A1 dans un cristal photonique 2D uniforme
Dans un premier temps, nous allons étudier l’évolution du facteur de qualité du mode A1 en fonction de la taille latérale du réseau et de son facteur de remplissage, afin de dégager les paramètres géométriques du cristal photonique présentant les meilleurs facteurs de qualité. La figure 2.6 donne le facteur de qualité du mode A1 en fonction de la surface occupée par le cristal photonique 2D et du facteur de remplissage de silicium de la structure. La surface du cristal photonique est calculée selon la formule suivante : ((N − 1)a + 2r)2 où N est le nombre de rangées de piliers suivant la direction X, r le rayon des piliers et a la période. Dans la figure 2.6, la période du cristal photonique est 1µm, la longueur d’onde du mode de Bloch A1 varie en fonction du facteur de remplissage. Pour ce mode, le facteur de qualité tend vers l’infini lorsque la taille de la structure augmente. Cependant, lorsque le cristal photonique est de taille limitée, il existe alors une compétition entre les fuites verticales et latérales. C’est ce que l’on observe sur les cartographies du champ Hz et Ex de la figure 2.2 : nous sommes en présence d’un mode qui s’étend sur toute la surface du cristal photonique et dont le champ fuit aussi bien sur les bords de la structure que dans la direction verticale. Il est difficile cependant d’évaluer le rapport entre pertes latérales et verticales sur l’observation d’une simple cartographie de champ.
Il est intéressant de noter à partir de la figure 2.6, que pour une surface donnée, le plus fort facteur de qualité est obtenu pour un facteur de remplissage particulier, ici le plus souvent 38 ou 50% (phénomène en accord avec [47] pour un mode au dessus du cône de lumière dans un réseau de trous). Sur la figure 2.7, nous avons reporté le facteur de qualité du mode A1 en fonction du facteur de remplissage du cristal photonique pour deux tailles données : 5x5 et 21x21 piliers. Pour la plus petite taille du CP, le facteur de qualité maximum est obtenu pour un facteur de
Figure 2.6 – Facteur de qualité (FDTD 3D) du mode A1 en fonction de la surface occupée par le cristal photonique et du facteur de remplissage de silicium à période constante.
Figure 2.7 – Facteur de qualité du mode A1 en fonction du facteur de remplissage du CP 2D pour un CP de 5x5 piliers (a) et 21x21 piliers (b).
2.3. Etude du facteur de qualité dans une structure de dimensions finies
remplissage en silicium de 38% alors que pour une taille supérieure, il est atteint lorsque ff=50%. Dans les deux cas, le facteur de qualité le plus élevé est obtenu pour des facteurs de remplissage proches (38 et 50%) alors que les dimensions sont très différentes.
Dans la suite, nous allons tenter de déterminer les contributions relatives des pertes aux bords de la structure des pertes dans la direction verticale. Cela permettra de donner quelques règles de conceptions de cristaux photoniques 2D supportant un mode qui ne se couple pas en Γ.
2.3.2 Facteur de qualité vertical
Il est possible d’estimer le taux de pertes verticales d’un mode de Bloch à partir du calcul de sa fréquence complexe. En effet, le facteur de qualité vertical pour un mode situé autour du point Γ dans un cristal photonique de taille latérale infinie s’écrit : Qvertical = − ωréelle
2ωimaginaire. La figure 2.8 donne le diagramme de bandes en fréquence complexe pour le mode A1 dans un cristal photonique de taille latérale infinie, d’épaisseur 300nm de silicium. Il a été calculé en utilisant le logiciel FDTD Meep, qui permet de placer des conditions aux limites périodiques latéralement et des interfaces absorbantes (PML) dans la direction verticale. La partie imaginaire croit lorsque
Figure 2.8 – Diagramme de bandes donnant la valeur de la fréquence complexe en fonction du vecteur d’onde k// dans la direction X de l’espace réciproque. Les résultats sont donnés pour des valeurs de facteurs de remplissage variant de 19 à 62%.
l’on s’éloigne du point Γ où elle est nulle. Cela signifie que les fuites verticales, dues au couplage du mode de Bloch avec les modes rayonnées, apparaissent pour des valeurs de k//= 0et augmentent à mesure que k//augmente. Ainsi, plus la taille du cristal photonique sera petite et plus les pertes hors du plan seront importantes. Cet effet dépend néanmoins du facteur de remplissage utilisé. En utilisant le fait que le vecteur d’onde de l’espace réciproque k est lié à l’espace réel par k// ≈ πL pour le mode fondamental et en supposant toujours que la phase à la réflexion aux interfaces entre le cristal photonique 2D et l’extérieur est nulle, il est possible de calculer à partir de la fréquence complexe le facteur de qualité vertical en fonction de la surface occupée par le
cristal photonique. Le résultat est donné figure 2.9. Il est intéressant de noter que les facteurs de remplissage 38 et 50% présentent, pour des surfaces supérieures à 6µm2 le confinement vertical le plus important.
Ce facteur de qualité vertical rend compte uniquement des fuites hors du plan dues au couplage
Figure 2.9 – Facteur de qualité vertical en fonction de la surface occupée par le cristal photonique 2D pour des facteurs de remplissage de silicium variant de 19 à 62%.
du mode de Bloch avec les modes rayonnés dans une structure de dimensions latérales finies pour des valeurs de k//6= 0. Les facteurs de remplissage en matériau haut indice qui permettent un confinement vertical le plus important semble donc être situés entre 38 et 50%. Nous allons maintenant étudier les éléments régissant le confinement latéral du mode dans le cristal photonique.
2.3.3 Etude des fuites latérales
Afin d’exprimer la valeur du facteur de qualité latéral, nous reprenons le modèle Fabry-Pérot développé dans [48] pour des modes parfaitement guidés dans la membrane (nous nous affranchissons ici des pertes verticales). Ce formalisme, valable uniquement pour une cavité 1D, permet de mettre en évidence le lien entre facteur de qualité latéral et vitesse de groupe. Le facteur de qualité latéral est exprimé de la manière suivante :
Qlatéral= π (1 − R(λ0)) 2L λ0 ng(λ0) −λ0 π φr λ|λ0 (2.6) R étant la réflectivité modale aux interfaces de la cavité, φrla phase à la réflexion, λ0 la longueur d’onde de résonance, L la longueur de la cavité, ng l’indice de groupe.
2.3. Etude du facteur de qualité dans une structure de dimensions finies
L’indice de groupe ng vaut c
vg. Nous avons vu plus haut que la vitesse de groupe s’écrit :vg =
∂ω
∂k = αk//en utilisant l’approximation parabolique pour un mode situé autour de Γ. Nous avons également vu que les conditions d’existence du mode de Bloch dans la cavité permettent d’écrire : k = pπ−φr
L . Il est alors possible de réécrire l’équation 2.6 de la façon suivante :
Qlatéral = π (1 − R(λ0)) 2 c λ0 L2 α ng(λ0) − λ0 π φr λ|λ0 (2.7) Cette expression est constituée de deux termes entre parenthèses : le second terme est lié à la durée de vie du photons hors de la cavité avant d’être réfléchi à l’intérieur de la structure. L’effet de la réflectivité modale aux interfaces du cristal photonique sur le facteur de qualité est expliqué dans [49].
Le premier terme est lié à la durée de vie des photons dans la membrane à cristal photonique avant qu’ils n’atteignent les bords. Ce terme dépend de la taille du cristal photonique (terme en L2), mais également de la courbure de bandes α autour de Γ. Le facteur de qualité latéral sera d’autant plus important que les dimensions latérales du cristal photonique seront importantes et que la courbure de bande est faible.
La figure 13 montre l’évolution de la valeur de la courbure de bande en α du mode A1 en fonction du facteur de remplissage du cristal photonique 2D. Cette courbe montre que la valeur de la courbure de bande autour de Γ n’est pas une fonction monotone du facteur de remplissage mais elle présente un minimum situé autour de 35%. D’après les résultats obtenus sur le calcul du facteur de qualité vertical et latéral, nous choisirons dans la suite de travailler avec des facteurs de remplissage situés entre 30 et 50%.
Figure 2.10 – Courbure de bande pour le mode A1 autour de Γ en fonction du facteur de remplissage du CP 2D à réseaux de piliers.
point Γ, comme pour la réalisation de microlasers à émission par la surface, doivent fonctionner sur des structures ayant des tailles relativement faibles, tout en gardant leurs propriétés (confinement et forts facteurs de qualité).
Dans la suite, nous allons présenter les stratégies employées afin de réduire les fuites latérales dans un premier temps, puis verticales, tout en réduisant la taille de la structure.