Mécanismes du couplage dans une structure de taille finie, allure du

Dans un premier temps, nous étudions le diagramme de rayonnement d’un mode qui ne se couple pas strictement en Γ dans une structure de taille latérale finie. Nous verrons ensuite comment il est possible de modifier l’allure de ce diagramme de rayonnement de façon à contrôler

4.1. Emission d’un mode de Bloch situé au dessus du cône de lumière

l’émission du mode de Bloch.

Pour cela, nous prenons le cas d’un réseau 1D, supportant un mode ne se couplant pas au point Γ de la courbe de dispersion. Ce réseau est de taille latérale finie et possède donc un certain nombre de modes de cavité, chacun défini par une enveloppe qui lui est propre.

L’intérêt d’utiliser un cristal photonique 1D membranaire est de s’affranchir des problèmes liés à la discrétisation sur la modulation de l’indice lors de la simulation FDTD 3D. En effet, dans ce type de simulation, la cellule de travail est divisée en plusieurs cellules élémentaires dont le côté est égal au pas de discrétisation choisi. Nous avons donc simulé des structures 1D de tiges où la période et la largeur des tiges correspondent à un nombre entier de pas de discrétisation. De cette façon, le réseau conserve sa symétrie, il n’y a pas d’approximation sur la valeur de l’indice de l’objet.

Mode fondamental

Nous choisissons donc un réseau 1D de tiges de silicium dans une matrice de silice. La période du réseau est de 500nm, le facteur de remplissage est de 80%, l’épaisseur de la membrane vaut 300nm de façon à exploiter le premier mode au point Γ de la courbe de dispersion, mode ne se couplant pas en Γ et à courbure de bande négative. Le mode fondamental est situé autour de 1.55µm et possède un facteur de qualité d’environ 1500 pour une taille latérale de structure de 10µm. La figure 4.2 donne la répartition spatiale des composantes du champ Hz et Ex pour ce mode à la longueur d’onde de résonance.

Figure 4.2 – Cartographies des composantes du champ Hz et Ex dans le cristal photonique 1D étudié : (a) dans le plan médian de la membrane (x,y) et dans des plans transverses : (b) dans le plan (x,z) et (c) dans le plan (y,z). Il s’agit d’un mode qui ne se couple pas en Γ, de part ses propriétés de symétries. De fortes fuites latérales et verticales sont présentes pour ce mode.

4.1. Emission d’un mode de Bloch situé au dessus du cône de lumière

Dans le cas d’un réseau 1D, nous définissons un axe de symétrie situé au centre de la cellule élémentaire (plan miroir sur la figure 4.1 et annexe sur les symétries). Pour le mode étudié ici, la composante du champ électrique Ex est antisymétrique par rapport à ce plan de symétrie (également figure 4.1 (a) et 4.2 (b)). L’enveloppe quasi-gaussienne du mode fondamental est en revanche symétrique par rapport à ce même plan de symétrie. Ce mode de Bloch en cavité est donc antisymétrique par rapport à un plan de symétrie de la structure et sa diffraction par un réseau symétrique (c’est-à-dire la structure à cristal photonique) ne comporte donc pas de composante dans la direction strictement verticale.

Ce raisonnement est également valable dans le cas d’un réseau 2D. Il faudra par contre tenir compte des deux directions de la périodicité (dans le cas de la maille carrée, ces deux directions sont équivalentes et l’on peut se ramener à un raisonnement 1D). L’étude des symétries des modes dans les cristaux photoniques à maille traditionnelle (carrée, triangulaire ou graphite) permet d’expliquer le couplage ou non des modes de Bloch en Γ dans la direction verticale (plus de détails en annexe).

Ce raisonnement est purement qualitatif. Il donne la possibilité de prévoir le couplage ou non du mode de Bloch en Γ. Il ne permet pas en revanche d’estimer la force de ce couplage ou l’ouverture angulaire du diagramme de rayonnement. Pour cela, il faut avoir recours à la simulation. Le diagramme de rayonnement calculé pour le mode étudié est donné figure 4.3, en échelle linéaire puis logarithmique. Le long de la périodicité, le diagramme de rayonnement présente effectivement un zéro au point Γ, où k//= 0.

La coupe dans le diagramme de rayonnement le long de kx = 0 (figure 4.4 (a)) montre qu’en k_y = 0l’émission est parfaitement nulle, telle que nous l’avions prévu. La figure 4.4 (b) montre que 90% de l’émission du mode est réalisé dans un cône de demi-angle au sommet de 22°.

Figure 4.3 – Puissance émise dans l’espace de Fourier du mode fondamental A1 en échelle linéaire et logarithmique, pour le cristal photonique étudié (taille latérale : 10µm). Le cercle rouge correspond à l’ensemble des angles accessibles pour l’émission du mode (ou cône de lumière).

Nous obtenons donc effectivement un couplage nul pour k//= 0. Il est possible d’étendre ce résultat au cas des réseaux 2D exploitant le même type de mode de Bloch. Le diagramme

Figure 4.4 – Coupe selon kx = 0 dans le diagramme de rayonnement de la figure 4.3 et pourcentage de l’émission rayonnée en fonction de l’angle d’émission.

de rayonnement présenterait dans ce cas une forme en anneau [53, 81, 82]. Nous observerons expérimentalement cette émission propre aux modes de Bloch ne se couplant pas en Γ un peu plus loin.

Sur le diagramme de rayonnement des figures 4.3 et 4.4 nous observons des oscillations en plus des deux lobes principaux. Ils sont principalement dus au fait que lors du calcul du champ lointain, nous réalisons une transformée de Fourier sur un cristal photonique de dimensions latérales finies, lui-même inséré dans une cellule de calcul de dimensions finies. Cela entraîne inévitablement l’apparition d’harmoniques dans l’image du diagramme de rayonnement (effet de fenêtrage).

Les dimensions latérales de la structure précédente étaient relativement faibles. Si l’on augmente la taille latérale de la structure, le diagramme de rayonnement devrait se rapprocher de l’allure du diagramme de rayonnement pour une structure de taille latérale infinie. L’émission rayonnée devrait alors se situer plus proche de k//= 0, dans un cône d’angle plus faible que pour la structure précédente.

Le calcul du diagramme de rayonnement pour une structure de taille latérale de 15µm est donné figure 4.5. Il présente la même forme que le diagramme de rayonnement précédent mais le cône d’émission est beaucoup plus petit par rapport au cristal photonique précédent. Cela se confirme sur la coupe selon kx= 0 du diagramme de rayonnement et sur le pourcentage de rayonnement émis en fonction de l’angle d’émission (figure 4.6) : cette fois, plus de 95% du rayonnement est réalisé dans un cône de demi-angle au sommet de 20°.

L’émission devient de plus en plus directive (la puissance rayonnée est localisée dans un cône d’émission de plus en plus petit) lorsque la taille de la structure augmente. En effet, lorsque la taille de la structure augmente, l’élargissement dans l’espace réciproque diminue et tend vers un Dirac, qui correspond au cas où le cristal photonique est de

4.1. Emission d’un mode de Bloch situé au dessus du cône de lumière

Figure 4.5 – Puissance émise dans l’espace de Fourier du mode fondamental A1 en échelle linéaire et logarithmique, pour un cristal photonique 1D de 15µm de côté.

Figure 4.6 – Coupe selon kx = 0 dans le diagramme de rayonnement de la figure 4.3 et pourcentage de l’émission rayonnée en fonction de l’angle d’émission.

taille infinie.

La question qui se pose alors est de savoir si la modification de l’environnement du cristal photonique a une influence sur le diagramme de rayonnement, par exemple si le cristal photonique repose sur un substrat dans l’air (typiquement un réseau de piliers sur un substrat de silice, dans l’air) ou si son environnement est parfaitement symétrique (membrane suspendue ou englobée dans une matrice d’un matériau plus faible indice), ou bien encore si l’on ajoute un miroir de Bragg sous la membrane à cristal photonique.