Modes à transpositions limitées et théorie des cribles

Formellement, un mode à transposition limitée est un ensemble d’entiers de classes de hauteurs A pour lequel si l’on note Tm la transposition d’un nombre m de demi-tons différents

de l’octave, on a la relation suivante : Tm (A)=A. Autrement dit, la transposition de l’ensemble

coïncide avec le même ensemble au moins pour une valeur de transposition86.

Notons que la réduction de l’octave modulo 12, qui définit une structure de groupe cyclique dans le tempérament égal, est une propriété implicite dans le concept de mode à transposition limitée tel que Messiaen le caractérise. La seule différence par rapport au concept théorique élaboré par le compositeur français relève du fait que nous ne posons aucune limitation sur le nombre de notes, tandis que Messiaen ne considère que des modes ayant au moins 6 éléments. Le problème est donc d’ordre musicologique plus que théorique car il touche à la définition même du concept de mode. Nous considérons cette notion dans un sens très large, comme suggéré par Anatol Vieru, qui inclut dans son ouvrage théorique

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Notons que les cribles 20, 22, 22n correspondent tous au même sous-ensemble infini de Z.

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C’est-à-dire 20∩ 21=∅ ou bien que (20)

c

=21 et (21)

c

=20.

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Nous reviendrons plusieurs fois sur ce concept théorique que Messiaen a élaboré au début des années quarante et qu’on retrouve, formalisé d’une façon différente, chez d’autres théoriciens de la musique, et en particulier chez Anatol Vieru, duquel nous allons bientôt examiner les propositions théoriques majeures. Si l’on en croit ce que Xenakis écrit dans Formalized Music, la théorie des cribles aurait dû fournir une nouvelle interprétation des modes à transposition limitée de Messiaen [XENAKIS 1992, 377]. Cependant, le compositeur n’a jamais publié, à notre connaissance, le document auquel il se réfère. Le problème de représenter tout mode à transposition limitée de Messiaen en termes de cribles a été étudié par le compositeur et théoricien français André Riotte qui est l’un des représentants majeurs, en France, de l’approche algébrique en musique et musicologie. Cependant, le catalogue des modes à transposition limitée de Messiaen n’étant pas exhaustif [MAZZOLA 1990, 98], il nous semble important de donner ainsi le catalogue complet de tout mode ayant cette propriété à travers le formalisme proposé par Xenakis. Nous reviendrons sur les propriétés algébriques d’une telle structure dans l’analyse de la théorie modale du compositeur roumain Anatol Vieru et dans la généralisation au domaine rythmique proposée par le mathématicien Dan Tudor Vuza. Nous avons proposé récemment un regard théorique sur les modes à transposition limitée de Messiaen à partir de leur utilisation par le compositeur indien Param Vir dans l’opéra Ion [ANDREATTA 2003a].

l’étude des propriétés de certaines structures modales « défectives », ayant jusqu’à trois éléments.

De ce point de vue, l’exemple le plus simple de mode à transposition limitée, dans le tempérament classique, est constitué par deux notes à distance de triton. Dans le formalisme de Xenakis, une telle structure s’exprime par le crible 60. De même, le mode à transposition

limitée ayant trois notes à distance d’une tierce majeure, s’exprime un utilisant un seul crible

40. Il existe trois modes à transposition limitée ayant quatre éléments. Un premier mode,

formé par une superposition d’intervalles de tierce mineure, s’exprime à travers le crible simple 30. Les deux autres modes sont obtenus en considérant l’union ensembliste de deux

intervalles de triton respectivement à la distance d’une seconde mineure et d’une seconde majeure. Leur expression en termes de cribles sont donc, respectivement : 60∪61et 60 ∪ 62.

La figure suivante montre ces deux cribles dans leur représentation musicale traditionnelle :

Figure 17 : Les deux cribles 6₀∪6₁et 6₀∪ 6₂ et leurs modes à transposition limitée associés

Dans les modes à transposition limitée ayant six éléments, Messiaen considère uniquement la gamme par tons entiers 20 et une gamme formée par l’union ensembliste de trois intervalles

de triton à la distance d’une seconde mineure et d’une quarte juste, c’est-à-dire la gamme exprimée par le crible : 60 ∪ 61 ∪ 65. Cette dernière échelle est représentée par la figure

suivante :

Figure 18 : Le cinquième mode de Messiaen ou mode représenté par le crible 60∪ 61 ∪ 65

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La définition précédente s’exprime en langage algébrique en disant qu’un mode à transposition limitée est un sous-ensemble « périodique » du groupe cyclique Z/nZ, c’est-à-dire un sous-ensemble A pour lequel, si l’on note

On peut donc compléter le catalogue des modes à transposition de Messiaen ayant six éléments en ajoutant trois autres modes. Le premier mode « oublié » est donné par l’union ensembliste de deux accords augmentés à distance de demi-ton. Ce mode qui peut être représenté avec le crible 40∪ 41 est donné par la figure suivante :

Figure 19 : le mode à transposition limitée 4₀ ∪ 4₁ dans sa représentation musicale

Les deux autres modes de six éléments que Messiaen n’a pas inclus dans son catalogue sont deux modes très intéressants, car ils sont l’inverse l’un de l’autre. Le premier est donné par l’union ensembliste de trois intervalles de triton à la distance d’une seconde mineure et d’une tierce mineure. Il s’écrit donc dans la forme : 60 ∪ 61 ∪ 63. Son « inverse » est donné

par l’union ensembliste de trois intervalles de triton à la distance d’une tierce mineure et d’une quarte juste. Il s’écrit donc dans la forme : 60 ∪ 63 ∪ 65. Les deux modes sont

représentés par la figure suivante :

Figure 20 : Deux modes à transpositions limitée mutuellement inverses

Les autres modes à transposition limitée permettant d’obtenir un catalogue complet sont ceux répertoriés par Messiaen. Tout d’abord le deuxième mode ou gamme octotonique, qu’on peut formaliser en termes de crible comme l’union ensembliste de deux tétracordes diminués à distance d’un demi-ton. Cette gamme est représentée par la figure suivante87 :

Figure 21 : La gamme octotonique ou crible 3₀ ∪ 3₁

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Par analogie, on peut formaliser le troisième mode à transposition limitée de Messiaen comme une union de trois accords augmentés, précisément 40, 42 et 43, comme représenté par

la figure suivante88 :

Figure 22 : Le troisième mode ou 4₀∪ 4₂ ∪ 4₃

Le quatrième mode de Messiaen est le premier mode de huit éléments du catalogue qui admet six transpositions possibles89. Il est aussi le premier pour lequel il faut utiliser des modules différents afin de l’exprimer sur la forme d’une union ensembliste de cribles élémentaires. André Riotte [RIOTTE 1992, 92] propose de le représenter dans les deux formes équivalentes : 60∪ 61∪ 32 ou bien (63∪ 64)

c

. La figure suivante montre le mode dans sa représentation musicale :

Figure 23 : Le quatrième mode à transposition limitée

Nous avons déjà mentionné le cinquième mode constitué par une union ensembliste de trois intervalles de triton. Ils ne restent que deux modes à formaliser. Le sixième mode est un « agrandissement » de la gamme par tons, à laquelle on a ajouté deux hauteurs à la distance de triton. Il peut également être vu comme le complémentaire de l’union ensembliste de deux

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Comme dans le cas précédent, la représentation du crible à travers son « complementaire » est plus économique. En fait, le mode peut s’écrire comme (41)

c

, ce qui indique qu’elle est le complément de l’accord augmenté.

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Nous n’avons pas analysé ce concept qui est pourtant la motivation compositionnelle de la recherche théorique sur ces structures musicales de la part d’Olivier Messiaen. Comme Célestin Deliège le souligne, l’idée sous- jacente au concept de charme des impossibilités suggère que « moins le mode comporte de transpositions

possibles, plus il est intéressant » [DELIEGE 2003, 29]. Ainsi la gamme par tons et le mode octotonique sont

parmi les plus intéressants car ils n’admettent respectivement que deux et trois transpositions possibles. Messiaen inclus, dans ce calcul, la transposition T0 de 0 demi-tons. Ainsi, la gamme par tons n’admet que les

deux transpositions T0 et T1 car une transposition d’une seconde majeure de la gamme laisse inchangée la

intervalles de triton à la distance d’une seconde majeure. La première représentation est donnée par la figure suivante :

Figure 24 : Le sixième mode représenté avec les deux cribles 20 ∪ 65 ou bien (61∪ 63) c

Pour conclure90, le septième mode ayant 10 éléments, le seul qui soit le complémentaire d’un intervalle de triton, précisément du crible 64. Il peut aussi être considéré comme un

« agrandissement » de la gamme par tons, à laquelle on a ajouté deux intervalles de triton. Ce mode est représenté par la figure suivante :

Figure 25 : Le crible 2₁∪ 6₀ ∪ 6₂ ou (6₄)c

est sa représentation musicale

Notons que les propriétés mathématiques d’un mode à transposition limitée sont beaucoup plus évidentes si l’on utilise la représentation circulaire et le concept de structure intervallique, deux idées qu’on ne retrouve pas chez Xenakis et sur lesquelles un compositeur comme Anatol Vieru a construit sa théorie modale. Avant de pouvoir entrer dans l’univers théorique de ce compositeur, nous allons compléter ce premier parcours de l’œuvre théorique de Xenakis en analysant comment la réflexion sur les hauteurs se transporte, comme dans le cas de Babbitt, au domaine du rythme. Cependant, à la différence de Babbitt, qui formalise et utilise ce modèle rythmique en composition déjà à partir de la deuxième moitié des années quarante, la réflexion théorique de Xenakis sur le temps ne se précise que dans les années quatre-vingt. Cela est assez surprenant car l’axiomatique hilbertienne, relue à travers la

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Au total, le catalogue exhaustif comprend donc seize modes à transposition limitée, si l’on inclut aussi le total chromatique 10. De même, on peut établir un catalogue exhaustif des modes à transposition limitée dans la

division de l’octave en 24 quarts de tons. Le formalisme de la théorie des cribles reste inchangé, la seule différence étant la congruence modulaire qui sera calculée modulo 24. La combinatoire engendrée par le passage du groupe cyclique Z/12Z au groupe Z/24Z est cependant trop élevée pour permettre une utilisation efficace de la théorie des cribles dans l’établissement d’un catalogue exhaustif de ces structures musicales. Nous indiquerons dans la suite de cette étude comment le problème peut être envisagé en utilisant une véritable démarche

psychologie génétique de Jean Piaget91, avait permis au compositeur de dégager, dès les années soixante, une algèbre temporelle comme catégorie structurelle du temps métrique. Cependant, ce n’est que dans l’écrit sur le temps [XENAKIS 1988/1996] que Xenakis aborde le problème d’une axiomatisation des structures temporelles, fondement théorique qui justifie l’application de la théorie des cribles au niveau rythmique.

Notons que cette axiomatique engage la catégorie hors temps de la musique, autrement dit « tout schéma temporel […] est une représentation hors temps du flux temporel dans lequel

s’inscrivent les phénomènes, les entités » [XENAKIS 1988/1996, 40]92. L’axiomatique des structures temporelles engage une notion de séparabilité entre événements temporels qui peuvent ainsi « être assimilés à des points-repères dans le flux du temps » [XENAKIS 1988/1996, 41]93. Une comparaison de ces points-repères conduit naturellement à la notion de distance qui devient opérationnelle, à travers les outils de la théorie des cribles, lorsqu’on identifie le crible 10 avec la notion la plus élémentaire du rythme : le rythme régulier. Comme

dans le cas des hauteurs, à l’aide des trois opérations logiques de base (union, intersection, complémentarité), « on peut construire […] des architectures rythmiques très complexes qui

peuvent même aller jusqu’à la distribution simil-aléatoire de points sur une droite si la période est suffisamment longue » [XENAKIS 1988/1996, 43].

Pour donner un exemple d’une telle architecture, nous revenons d’abord au domaine des hauteurs où cette même notion permet d’obtenir des gammes non-octaviantes, à savoir des structures dont la période n’est pas un multiple entier de l’octave. Un exemple d’une telle

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En particulier à travers l’étude de l’ouvrage Le développement de la notion de temps chez l’enfant [PIAGET 1946].

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Comme Xenakis l’avait souligné quelques années auparavant dans une note adressée à la Revue Musicale, la « typification de la musique », comme il appelle les deux catégories hors temps et temporel, postule que « dans

le “hors temps” est inclus le “temps” [et que] la temporelle est réduite à l’ordonnance » [XENAKIS 1968a,

51]. Aux catégories de l’hors temps et de l’en temps (ou du temporel) on peut ajouter une troisième catégorie, celle du temps logique. Cette notion, qui a été introduite à partir de considérations plus générales sur l’informatique musicale et les langages de programmation [ASSAYAG 2000], se montre particulièrement pertinente dans une démarche de modélisation du processus compositionnel. Nous la discuterons dans la troisième partie en analysant l’utilisation, par Xenakis, des méthodes algébriques en composition, en particulier dans la pièce Nomos Alpha (1966) pour violoncelle solo. Pour une discussion sur l’articulation entre hors temps,

en temps et temps logique, dans son évolution à partir de la pièce Herma (1960-61) jusqu’à Nomos Alpha voir

notre article « Formal aspects of Iannis Xenakis’s Symbolic Music : a computer-aided exploration of some compositional processes » [AGON et al. 2003].

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C’est nous qui soulignons. Les « points-repères » sont des attaques, ce qui montre la proximité de ce modèle théorique avec celui des time-points chez Milton Babbitt. La différence fondamentale relève du fait qu’il n’y a plus de primauté de l’octave, et donc du nombre 12, dans la démarche de Xenakis, ce qui fait de la théorie des cribles un outil théorique extrêmement puissant, non seulement pour la composition mais aussi pour l’analyse musicale. Nous reviendrons sur ce point dans la conclusion de cette section.

gamme est offert par l’un des cribles employés dans la pièce Nomos Alpha afin de gérer, selon les commentaires du compositeur, l’organisation des hauteurs94.

La gamme que nous allons étudier dans sa structure de crible est constituée d’une série d’opérations logiques d’union, d’intersection et de complémentarité sur des cribles élémentaires ayant une périodicité de 11 et 13 unités. Les deux nombres étant premiers entre eux95, le crible résultant aura une périodicité de 11×13=143 unités, ce qui ne correspond pas à un multiple de 12. Le crible, noté Λ(11,13), peut s’exprimer de la façon suivante :

Λ(11,13) = (A∩B)∪(C∩D)∪E où : A = (133 ∪ 135 ∪ 137 ∪ 139) c B = 112 C = (114 ∪ 118) c D = 139 E = 130 ∪ 131 ∪ 136.

La figure suivante montre la réalisation de la gamme une fois fixée une origine (par simplicité le Do4) et une unité minimale (par exemple le quart de ton)96.

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Plusieurs analystes qui se sont penchés sur cette œuvre ont mis en évidence les contradictions entre le modèle abstrait du crible et l’application compositionnelle souvent très libre de la part du compositeur. La question est sans doute pertinente dans une analyse qui vise à montrer le degré de précision avec lequel Xenakis a appliqué un modèle formel dans ses œuvres. Cependant, une telle analyse n’est pas le but de cette étude qui vise à dégager des éléments théoriques de la pensée de Xenakis, plutôt que des résultats statistiques sur les écarts (conscients ou inconscients) entre modèle théorique et application compositionnelle. Cette dernière, comme on le verra dans la troisième partie, implique toujours un certain degré de « bricolage », pour reprendre un terme introduit par Lévy- Strauss dans la Pensée sauvage [LEVY-STRAUSS 1962]. Ce concept est, paraît-il, au cœur des préoccupations du compositeur quand il s’exprime ainsi : « Une seule de mes œuvres, “S.T.”, est issue de programmes

informatiques. Toutes les autres sont du bricolage, au sens biologique : des ajustements que l’on ne peut contrôler dans leur tonalité. » [XENAKIS 1980, 96-97]. Je remercie Marc Chemillier et Stéphan Schaub de

m’avoir orienté vers cet aspect important de la pensée du compositeur.

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Deux nombres entiers sont premiers entre eux s’ils n’ont pas de diviseur commun, c’est-à-dire si leur PGCD (plus grand commun diviseur) est 1.

96

Il s’agit donc d’une gamme micro-tonale et non-octaviante, ce qui montre clairement la distance qui sépare cette approche théorique de la formalisation des hauteurs chez Milton Babbitt et la tradition analytique

Figure 26 : Une réalisation musicale du crible Λ(11,13)

Le processus « ensembliste » est explicité par le diagramme suivant :

Figure 27 : Explicitation du processus « ensembliste » dans la construction de la gamme non octaviante

Si l’on interprète le crible au niveau rythmique, par exemple en choisissant comme durée minimale la triple croche, on obtient un pattern rythmique n’ayant pas de régularités locales. Ce pattern est montré sur la figure suivante :

Figure 28 : Une interprétation rythmique du crible Λ(11,13)