7.4.1 Le fluide parfait : mod`ele g´en´eral pour l’hydrostatique, tr`es simplifi´e pour l’hydrodynamique
Un fluide parfait est un fluide newtonien de viscosit´e nulle, i.e. η = 0 dans la loi de comportement (7.25), qui se r´eduit donc `a
σ = −p1 . (7.47)
Comme le terme proportionnel `a η dans (7.25) est aussi proportionnel `a D, on peut remarquer que tout fluide newtonien au repos se comporte comme un fluide parfait. Par contre en situation d’´ecoulement aucun fluide n’est parfait si ce n’est l’h´elium 4 `a tr`es basse temp´erature (T < 2,2 K). En hydrodynamique l’hypoth`ese de fluide parfait est donc une hypoth`ese de mod´elisation, `a peu pr`es raisonnable si le terme visqueux peut ˆetre n´eglig´e devant un terme tem-porel ou devant un terme d’inertie, ce qui peut arriver si on n’est pas trop pr`es d’une paroi solide.
C’est surtout un mod`ele tr`es simplifi´e qui permet de mettre en ´evidence quelques ph´enom`enes pertinents en hydrodynamique, qui se trouvent exister aussi (de fa¸con qualitativement similaire mais, en g´en´eral, quantitativement diff´erente) pour des fluides visqueux.
7.4.2 Equation d’Euler´
Lorsqueη = 0 l’´equation de Navier-Stokes (7.43) d´eg´en`ere en l’´equation d’Euler
ρdv dt = ρ
"
∂v
∂t +
∇v
·v
#
= −∇p .b (7.48)
On a employ´e le verbe d´eg´en´erer car le fait de supprimer le terme de diffusion visqueuse en
∆vdans (7.43) change l’ordre le plus ´elev´e des d´eriv´ees de la vitesse par rapport `a l’espace : ´egal
`
a 2 dans (7.43), il devient ´egal `a 1 dans (7.48).
7.4.3 Conditions limites
Une cons´equence de cette d´eg´en´erescence est qu’il faut d´egrader les conditions limites en vitesse (7.36), en les rempla¸cant par exemple, au niveau d’une paroi solide, par une condition d’imperm´eabilit´e : si n est la normale `a cette paroi, suppos´ee fixe dans un premier temps, on n’exige pas la nullit´e de v(x) en un point de la paroi, mais seulement celle de la vitesse normale,
v(x)·n = 0. (7.49)
Ainsi on autorise l’existence d’une vitesse tangentielle non nulle, i.e. un glissement du fluide parfait `a la paroi. D’un point de vue moins math´ematique mais plus physique, ce glissement est permis par l’absence de forces de frottements visqueux dans un fluide parfait.
Dans le cas d’une paroi mobile `a la vitessevd(x), on ´ecrit que
v(x)·n = vd(x)·n . (7.50)
7.4. Mod`ele du fluide parfait 139
7.4.4 Premier th´eor`eme de Bernoulli
En ´ecoulement permanent ou stationnaire, grˆace `a la r´e´ecriture (7.46) du terme non lin´eaire dans l’´equation d’Euler, on peut mettre celle-ci sous la forme
ργa = ∇ ρv2 2
!
+ ρ rotv
∧v = −∇p .b (7.51)
Consid´erons une trajectoire C de l’´ecoulement permanent, qui est aussi une ligne de courant de cet ´ecoulement. Si M est un point courant de cette ligne C, on a, lorsque M varie de dM,
∇ pb + ρv2
i.e., d’apr`es la d´efinition intrins`eque du gradient vue en calcul tensoriel, d pb + ρv2 Suivant Bernoulli17, on introduit une quantit´e homog`ene `a une longueur et appel´ee charge18, qui est conserv´ee le long de la ligne de courant de l’´ecoulement permanent,
H = pb ρg + v2
2g = z+ p ρg + v2
2g = constante le long de C . (7.53) Ceci constitue lepremier th´eor`eme de Bernoulli19. Il met en ´evidence un effet tr`es important,
`
a l’origine d’une multitude d’applications en m´ecanique des fluides : comme, le long deC, p = constante(C) − ρgz − ρv2
2 , (7.54)
une zone de survitesse, v2 plus grande que la moyenne, cr´ee une d´epression, p plus faible que la moyenne. Une interpr´etation physique de cet effet est que, lorsque les atomes ou mol´ecules constituant le fluide vont plus vite, elles ontmoins de tempspour heurter une surface (physique ou virtuelle), donc pour y cr´eer des forces de pression.
17. Math´ematicien et physicien suisse du XVIII`eme si`ecle.
18. En anglais‘head’.
19. Qu’il soit premier ou deuxi`eme importe peu, et d’ailleurs cettenum´erotationd´epend des auteurs. Ce qui importe c’est de retenir les hypoth`eses de validit´e de ce th´eor`eme et sa d´emonstration, somme toute plutˆot simple.
Ce conseil vaut aussi pour lesecondth´eor`eme de Bernoulli, qui arrivera en section7.4.7.
7.4.5 Dynamique de la vorticit´e
Plus g´en´eralement, dans le cas d’un ´ecoulement ´eventuellement instationnaire, grˆace `a (7.46) l’´equation d’Euler s’´ecrit
ρ∂v
∂t + ∇ ρv2 2
!
+ ρ rotv
∧v = −∇p .b (7.55)
En prenant le rotationnel de cette ´equation, comme le rotationnel d’un gradient est nul, et la masse volumique est constante, on obtient l’´equation de la vorticit´e
∂rotv
∂t = rot v∧rotv
. (7.56)
Cette ´equation d’´evolution spatio-temporelle montre que, si on part `at=t0 d’un ´ecoulement sans vorticit´e, tel que
rotv = 0 dans le domaine fluide, (7.57)
alors `a tout instant ult´erieur on aura aussi rotv = 0 dans le domaine fluide. Ainsi il n’existe pas de m´ecanisme de cr´eation de vorticit´e en fluides parfaits.
7.4.6 Ecoulements irrotationnels et potentiels´
Puisque aucune cr´eation de vorticit´e n’y est possible, on suppose souvent qu’un ´ecoulement de fluide parfait se fait `a vorticit´e nulle. Un tel ´ecoulement, v´erifiant par d´efinition la propri´et´e (7.57), est dit irrotationnel . Une cons´equence math´ematique de cette propri´et´e est l’existence, si le domaine fluide est simplement connexe, ou dans un sous-domaine coup´ede celui-ci qui soit simplement connexe, d’un potentiel des vitesses scalaireφtel que
v = ∇φ . (7.58)
L’existence de ce potentiel est int´eressante d’un point de vue th´eorique car il est plus facile de calculer (et de manipuler) un champ scalaire qu’un champ de vecteur. En raison de cette existence on dit que les ´ecoulements irrotationnels sont aussi des ´ecoulements potentiels . La condition d’incompressibilit´e (7.11) montre alors que φestharmonique,
divv = 0 ⇐⇒ ∆φ = 0 . (7.59)
La th´eorie des ´ecoulements potentiels est une sous-discipline de la m´ecanique des fluides qui permet d’obtenir des r´esultats qualitativement corrects (voire, parfois, semi-quantitativement corrects) assez facilement. Elle est historiquement importante, puisque par exemple en a´erodynamique les premiers mod`eles d´evelopp´es l’ont ´et´e grˆace `a cette th´eorie20. Un autre domaine dans lequel cette th´eorie a port´e beaucoup de fruits est celui des´ecoulements en milieux poreux (par exemple dans un terrain g´eologique), voir par exemplePolubarinova-Kochina (1962).
20. Voir les chapitres 6 deChassaing(2000), VIII deHuerre(1998), ou 3 dePlaut(2015b).