Bilan d’´energie cin´etique d’un ´ecoulement ouvert - Pertes de charge

le fait que du fluide entre et sortsans cessed’une r´egion d’int´erˆet Ω_t tube de courantau sens de la d´efinition donn´ee apr`es l’´equation (7.3), et de la figure 7.1. Explicitons `a un instant t donn´e le bilan d’´energie cin´etique (7.81). La densit´e volumique d’´energie cin´etique ´etant

ρe_c = ρv² 2 ,

il vient, d’apr`es la formule de transport (3.9), compte tenu de l’hypoth`ese de stationnarit´e, dEc

o`u l’on rappelle quen=n(x) d´esigne le champ des normales sortantes unitaires sur∂Ωt. Faisons l’hypoth`ese que lessurfaces d’entr´ee S_e et desortie S_s du tube de courant Ω_tsontplanes, et qu’`a leur niveau l’´ecoulement est (quasi) unidirectionnel,

v = −v(x)n(x) sur S_e, v = +v(x) n(x) sur S_s . (7.84) Cette hypoth`ese implique que le d´ebit massique (7.4) circulant dans le tube de courant

˙

Ins´er´ee dans (7.83), elle donne d’autre part, puisque v·ns’annule sur le bord lat´eral de Ω_t,

Introduisons les fonctions valeurs moyennes sur les sections d’entr´ee et de sortie du tube de courant, hfi_e = 1 en utilisant les notations de la section 7.1.1. On a alors

˙

m = ρhvi_eA_e = ρV_eA_e = ρhvi_sA_s = ρV_sA_s (7.88) avec Ve etVs lesvitesses d´ebitantes en entr´ee et sortie. D’autre part l’´equation (7.86) s’´ecrit

dE_c

D´efinissons les coefficients d’´energie cin´etique, sans dimension, α_e =

Dans le cas d’un fluide parfait, et d’un tube de courant dont les bords lat´eraux sont des parois solides (cas fr´equent !...), comme il n’y a pas de frottements `a ces parois on suppose souvent que l’´ecoulement est uniforme sur les sections S_e etS_s,

v est ind´ependante de xsurS_e etS_s . En cons´equence

α_e = α_s = 1.

Cette formule est aussi approximativement valable (en moyenne) en ´ecoulement turbulent, car alors le profil de vitesse est assez uniforme, en dehors de couches limites au voisinage des parois.

Dans le cas d’un ´ecoulement laminaire dans un tuyau, ´etudi´e dans l’exercice 7.4, o`u les effets visqueux sont tr`es importants, par contre

α_e = α_s = 2.

Ces deux cas extrˆemes sugg`erent qu’en g´en´eral les coefficientsα sont proches de 1, ce qui est souvent v´erifi´e. En utilisant ces coefficientsα, on a en tout cas en g´en´eral

dEc

Travaillons maintenant pour reformuler le terme de puissance des forces de pesanteur (7.75), Ppesanteur =

Z Z Z

Ωt

ρg·vd³x . (7.92)

Grˆace `a l’un des r´esultats de l’exercice 2.2 du cours de calcul tensoriel on a, en choisissant l’axe des zvers le haut comme en section7.3.3,

g·v = −g(∇z)·v = g z divv − g div(zv) = −g div(zv)

7.5. Propri´et´es des ´ecoulements de fluides newtoniens 147

du fait de l’hypoth`ese d’incompressibilit´e. En utilisant la formule int´egrale de la divergence on en d´eduit

D’apr`es la d´ecomposition du bord de notre tube de courant en sections d’entr´ee S_e, de sortie S_s, plus le bord lat´eral sur lequel v·n s’annule, on a

P_pesanteur = −ρg

en faisant usage de (7.84). En posant l’hypoth`ese que les sections S_e et S_s ont une faible extension verticale, i.e. que

z ' z_e sur S_e et z ' z_s sur S_s , (7.93)

on obtient

Ppesanteur ' ρgzeVeAe − ρgzsVsAs = ˙m(gze−gzs) . (7.94) Consid´erons maintenant les puissances des forces de pression et de frottement visqueux,

P_pression + P_visqueux = − Le bord lat´eral, sur lequelv·n= 0, ne contribue pas `a la premi`ere int´egrale. En fluide parfait, le terme visqueux est toujours nul. En fluide visqueux, et en supposant que le bord lat´eral est une paroi solide, on y av=0, donc ce terme visqueux est encore nul sur le bord lat´eral. En cons´equence ces deux puissances doivent se calculer seulement sur S_e et S_s. Afin de mener `a bien ce calcul, on va exploiter le fait que les ´ecoulements sur ces sections ont ´et´e suppos´es unidirectionnels, cf.

l’´equation (7.84). D’apr`es l’´etude faite en section7.5.1, et en particulier le r´esultat (7.71), valable ici `a cause de (7.93), la pression est approximativement constante sur les sections S_e etS_s,

p ' pe sur Se et p ' ps sur Ss . (7.96) compte tenu de (7.88). D’autre part, en choisissant par exemple sur Ss un rep`ere local tel que n=e1, on peut utiliser les notations de la section7.5.1pour expliciter l’int´egrand de la puissance des contraintes visqueuses dans (7.95). Il vient

D·n

en vertu du fait que l’´ecoulement est forc´ement uniforme dans la directione1, cf. la discussion au ni-veau de l’´equation (7.64). Ainsi la puissance des forces de frottement visqueux r´eput´ees ext´erieures est, en premi`ere approximation, nulle. Le bilan (7.81) s’´ecrit donc

dE_c

Introduisons, par analogie avec (7.53), lescharges g´en´eralis´ees H_e = z_e + p_e

ρg + α_eV_e²

2g et H_s = z_s + p_s

ρg + α_sV_s²

2g . (7.99)

Il vient l’´equation

˙

m g(H_e−H_s) = P_diss ≥ 0 . (7.100)

En fluide parfait, comme

P_diss = 0

et, le plus souvent,α_e ' α_s ' 1,on vient de retrouver par cette m´ethode´energ´etique le premier th´eor`eme de Bernoulli (7.53),

He = Hs .

Ce th´eor`eme a donc une interpr´etation´energ´etique : il exprime d’une certaine mani`ere la conser-vation de l’´energie dans les fluides parfaits (incompressibles et isothermes),

ρgH = ρgz + p + 1

2ρv² (7.101)

´etant unedensit´e volumique d’´energie totale, somme de la densit´e volumique d’´energie potentielle de pesanteur, de la densit´e volumique d’´energie de pressionet de la densit´e volumique d’´energie cin´etique²².

Enfluide visqueux par contre l’´equation (7.100), d´esign´ee par certains auteurs comme leth´ eo-r`eme de Bernoulli g´en´eralis´e , montre l’existence d’une perte d’´energie ou perte de charge<sup>23</sup> entre S<sub>e</sub> et S<sub>s</sub>, qui est exactement due `a la dissipation visqueuse. Pour que l’´ecoulement soit effectivement permanent, cette perte de charge doit ˆetre compens´ee par exemple par une pompe situ´ee en amont ou en aval de l’´ecoulement ; la formule (7.100) est alors pr´ecieuse car elle permet d’estimer la puissance que doit fournir cette pompe. On introduit en g´en´eral un gain de charge²⁴ Hpompe > 0 dˆu `a la pompe, comme cela sera fait dans le probl`eme 7.3, et on ´ecrit, par analogie avec la formule (7.100), que la puissance m´ecanique que doit d´evelopper la pompe

Ppompe = ˙m g Hpompe . (7.102)

Ce gain de charge correspond, lorsque l’admission et le refoulement se font dans des conditions similaires, `a un gain de pressionδp_pompe; alors la puissance

P_pompe = q δp_pompe . (7.103)

De mˆeme, dans une turbine hydraulique par exemple, on a une perte de chargeH_turbine essentiel-lement due²⁵ `a cette turbine mˆeme, et, toujours par analogie avec la formule (7.100), on ´ecrit la puissance m´ecanique r´ecup´er´ee par la turbine

P_turbine = ˙m g H_turbine . (7.104)

22. En ´etant plus rigoureux sur la terminologie thermodynamique , mˆeme si les aspects thermiques sont ici inexistants, l’´energie totale(7.101) est en fait uneenthalpie totaleen situation isotherme, cf. par exemple Feidt(1996).

23. ‘Head loss’ en anglais.

24. Certains d´esignent aussiHpompe comme lahauteur manom´etrique totale de la pompe.

25. On devrait pour ˆetre pr´ecis introduire `a droite de la formule (7.104) un rendement.1 ...

7.6. Remarques de conclusion 149

Les calculs de pertes de charge - en fait, de pertes et gains de charge - dans les circuits hy-drauliques sont tr`es importants en m´ecanique des fluides appliqu´ee; des exemples concrets seront donn´es dans les probl`emes 7.3, 7.5 et 7.6. On distingue en g´en´eral les pertes de charge

r´eguli`eres dans des tuyaux ou canaux longs, proportionnelles `a la longueur de ces tuyaux ou canaux (cf. par exemple la section 8.2.4du prochain chapitre), despertes de charge sin-guli`eres dues `a des vannes, robinets, coude, convergent, etc... Des lois ph´enom´enologiques ont

´et´e d´evelopp´ees pour estimer ces pertes de charge, cf. par exemple Idel’cik(1999).

D’un point de vue plus fondamental, il conviendrait de compl´eter ces bilans d’´energie cin´etique par un bilan d’´energie interne, et en particulier de montrer que l’´energie dissip´ee est transform´ee en ´energie interne. Un tel bilan sort du cadre de cet enseignement ; voir `a ce sujet les chapitres III de Huerre(1998) ouChassaing (2000), ou le chapitre 1 dePlaut (2015b).

7.6 Remarques de conclusion

Ce chapitre se poursuivra dans le suivant consacr´e aux applications de l’analyse dimension-nelle`a la m´ecanique des fluides. Ainsi, le tr`es importantnombre de Reynolds sera introduit et discut´e dans le chapitre8, qu’il faudrait mieux lire avant d’aborder les probl`emes 7.5et7.6...

Nous terminons en ´evoquant l’importance actuelle de lasimulation num´erique en m´ecanique des fluides, qui tend `a remplacer de plus en plus les exp´erimentationsr´eelles, au point que l’on parle maintenant d’exp´eriencesnum´eriques. Mˆeme s’il est clair que les exp´eriencesr´eellesne disparaitront jamais, il est aussi clair que grˆace `a la puissance de l’outil informatique on peut faire beaucoup de progr`es grˆace aux exp´eriencesnum´eriques. Ces exp´eriences se font avec des m´ethodes qui ressemblent pour certaines `a celles utilis´ees en m´ecanique des solides, et d´ej`a ´evoqu´ees au niveau de la section4.2.4, `a savoir desm´ethodes d’´el´ements finis(cf. par exempleZienkiewicz

& Taylor 2000). Desm´ethodesconcurrentes dites devolumes finissont aussi beaucoup utilis´ees, cf. par exemplePatankar(1980) ; un exemple concret d’utilisation d’un code volumes finis d´evelopp´e au Lemta sera montr´e sur la figure 8.1. Des initiations `a ces m´ethodes seront propos´ees `a Mines Nancy en deuxi`eme et troisi`eme ann´ee par les d´epartements relevant de l’´energie et des proc´ed´es.