Exercice 7.1 Bilan de force g´en´eral en hydro- ou a´erostatique
Soit un objet solide occupant un ouvert Ωt dans un fluide de masse volumiqueρ. Ce syst`eme est suppos´e `a l’´equilibre, ainsip = p0−ρgz avec gl’acc´el´eration de la pesanteur, zla coordonn´ee verticale. Calculez la r´esultante des efforts de pression exerc´es par le fluide sur le solide. Montrez que la r´esultante des efforts li´es `a la pression contantep0 est nulle,
Z Z
∂Ωt
−p0 n d2S = 0 , (7.105)
avec n la normale unitaire sortant de Ωt, alors que la r´esultante des efforts li´es au terme −ρgz, Z Z
∂Ωt
+ρgz n d2S = , (7.106)
est toujours verticale. Donnez l’interpr´etation physique et le nom de cette derni`ere force.
Indication : utilisez la formule int´egrale de la divergence, appliqu´ee `a certains tenseurs d’ordre 2.
Exercice 7.2 Calcul tr`es simplifi´e de l’altitude atteinte par un ballon d’h´elium lest´e [test de janvier 2014]
En octobre 2012, F´elix Baumgartner a battu plusieurs records du monde, dont celui de l’altitude la plus ´elev´ee atteinte par un homme en ballon (cf. www.redbullstratos.com). On veut d´evelopper un mod`ele tr`es simplifi´e pour estimer l’altitude maximale atteinte par le ballon d’h´elium avec capsule qu’il a utilis´e. L’atmosph`ere dans laquelle monte le ballon est suppos´ee standard; ses propri´et´es (accessibles par le ‘Standard Atmosphere Package’ de Mathematica ou sur le site web www.digitaldutch.com/atmoscalc) sont pr´esent´ees sur la figure 7.4.
1 On suppose que le ballon reste toujours sph´erique de mˆeme rayon a= 40 m et volume V, et que l’h´elium int´erieur, de masse molaire MHe= 4 g mol−1, reste `a une temp´erature T et pression p proches de celles qui existent au sol, T =T0 = 288 K et p=p0 = 1,013 105 Pa. Calculez alors, en supposant que l’h´elium est parfait, sa masse volumique ρHe, et sa masse totale mHe, au sol et durant l’ascension.
2 La masse des infrastructures solides (capsule, enveloppe du ballon...) et de F´elix ms = 3 t.
On n´eglige dans ce qui suit le volume de la capsule : le syst`eme est une sph`ere de rayon a et de masse m = ms+mHe plong´ee dans l’atmosph`ere. On suppose le mouvement de cette sph`ere purement vertical, avec une acc´el´eration γ. Localement autour du ballon, on n´eglige tout effet a´erodynamique, et de compressibilit´e de l’air ambiant. En utilisant une loi g´en´erale de l’hydro- ou a´erostatique ´etablie en TD, ´ecrivez mγ comme une diff´erence entre deux forces antagonistes, que vous nommerez physiquement. Comment ´evolue, d’apr`es ce mod`ele, γ en fonction de z?
3.a On admet qu’`a cause des frottements visqueux le ballon arrˆete son ascension `a une altitude zm o`u la formule pr´ec´edente conduit `a une acc´el´eration nulle,γ = 0. Calculez analytiquement puis num´eriquement la valeur de la masse volumique ρ de l’air `a cette altitude.
3.b En utilisant des donn´ees de la figure7.4, estimezzmavec ce mod`ele. Commentez physiquement.
Exercice 7.3 Hydrostatique : ´etude de deux manom`etres diff´erentiels
On admet que, dans un fluide visqueux comme de l’eau, en ´ecoulement dans une canalisation, il existe une chute de pression26 le long de la canalisation : p d´ecroˆıt en premi`ere approximation lin´eairement avec la coordonn´ee x dans la direction de l’´ecoulement. Le but de cet exercice est l’´etude de deux manom`etres permettant la mesure de la chute de pression entre deux points A et B d’une canalisation,
δp = pA−pB .
Ces manom`etres sont constitu´es de petites canalisations tubulaires. En premi`ere approximation, les fluides dans les canalisations manom´etriques sont au repos.
1.1 Calculez la hauteur h1 que l’on pourrait lire sur un manom`etre en U renvers´e comme celui pr´esent´e sur la figure 7.5a.
1.2 Faites une application num´erique dans le cas o`uδp= 50 Pa. En pratique on lith1 `a l’oeil, sur des graduations. La pr´ecision de lecture de h1 est donc de ±0,5 mm. Estimez en cons´equence la pr´ecision sur δp obtenue avec ce manom`etre.
26. directement li´ee `a laperte de charge.
7.7. Exercices et probl`emes 151
Fig. 7.4 – D’apr`es le mod`eleUS Standard Atmosphere - 1976, repr´esentation, en fonction de l’altitudez, de la temp´erature absolueT, pressionp, et masse volumiqueρde l’air.
A des tubes plastiques flexibles sont utilis´es pour relier le manom`etre, en g´en´eral fait de verre ou de plastique rigide, `a la canalisation, aux deux points de prise de pression A et B.
2.1 Calculez la hauteur h2 que l’on pourrait lire sur un manom`etre en U `a deux fluides de la figure7.5b. Le liquide lourd utilis´e est un m´elange d’´ether et de trichlor´ethyl`ene, non miscible avec l’eau, de masse volumiqueρ` = 1010 kg/m3 dans les conditions ambiantes.
2.2 Faites une application num´erique dans le cas o`u δp = 50 Pa. Lequel de ces deux syst`emes conduit `a la mesure la plus pr´ecise de la chute de pression ?
Exercice 7.4 Etude de l’´´ ecoulement laminaire dans un tuyau
Calculez l’´ecoulement laminaire dans un tuyau, dit deHagen-Poiseuille27: champs de vitesse et de pression motrice, pertes de charge en lien avec la dissipation visqueuse.
Commentaire : des ´el´ements de solution se trouvent dans les ´equations (8.18) `a (8.21).
27. Hagen, ing´enieur allemand, et Poiseuille, m´edecin fran¸cais, ont v´ecu au XIX`eme si`ecle.
Probl`eme 7.1 Etude et calcul d’´´ ecoulements en tuyau par m´ethode semi-globale [test de janvier 2014]
On s’int´eresse `a des ´ecoulements en tuyau d’un fluide newtonien (masse volumique ρ, viscosit´e dynamiqueη) `a l’aide d’une m´ethode semi-globale qui permet aussi d’´etudier les ´equilibres dynamiques en jeu. En dehors de la toute derni`ere question 9, qui n´ecessite l’usage de lois qui seront
´etablies dans le chapitre 8, les ´ecoulements sont suppos´es laminaires. Le tuyau consid´er´e, de paroi lisse, est long, les effets d’entr´ee-sortie sont n´egligeables : les ´ecoulements sont compl`etement
´etablis. Dans un rep`ere Oxyz avec Oz axe de r´evolution du tuyau, on utilise un syst`eme de coordonn´ees cylindriques (r, θ, z). Le tuyau de rayon int´erieur a contient au moins le domaine Ω = {(r, θ, z)∈ [0,a[× [0,2π[×]0,L[} ,dans lequel le champ de vitesse
v = w(r)ez n’est pas suppos´e plus connu que cela, et le gradient de pression motrice
∇pb = −G ez est suppos´e uniforme.
La direction verticale, oppos´ee `a celle de la gravit´e g, est donn´ee par la direction Z d’un rep`ere OXY Z qui peut ˆetre diff´erent de Oxyz.
1.a Donnez la forme du champ de pression motrice dans Ω.
1.b Physiquement, quel doit ˆetre le signe de la constante G pour que l’´ecoulement se produise dans la direction z, i.e. pour que la vitesse au centre W =w(0) soit positive ?
Cette derni`ere hypoth`ese sera toujours pos´ee.
2 Montrez que le champ de pression physique dans Ω est p = p0 + Az + BZ
et calculez A et B. Dor´enavant on note pm =Az, ph =p0+BZ. Comment peut on qualifier ces contributions ?
3.a SoitDun sous domaine quelconque de Ω, de normale unitaire sortante n. Montrez, en faisant usage de l’analyse tensorielle, que
Z Z Z
D
ρg d3x + Z Z
∂D
(−phn)d2S = 0 . (7.107)
Quelle est l’interpr´etation physique de cette ´equation ?
3.b Montrez que,Tv d´esignant la contribution visqueuse au vecteur contrainte sur la fronti`ere de D,
Z Z
∂D
ρv(v·n) d2S = Z Z
∂D
(−pmn+Tv)d2S . (7.108) Quelle est l’interpr´etation physique de cette ´equation ?
4.a Dans le cas o`u n = er, montrez que Tv est de la forme −τez, et reliez τ = τ(r) `a w0(r).
Donnez au moins une raison physique permettant d’expliquer que τ(r)>0 d`es que r >0.
4.b Dans le cas o`u en plusr=a, donnez l’expression vectorielle de la contrainte visqueuse exerc´ee par le fluide sur le tuyau. Sa norme est la contrainte pari´etale τp, que vous relierez `a τ(a).
Commentez physiquement.
7.7. Exercices et probl`emes 153
5.a Explicitez le bilan (7.108) dans le cas o`uD est un domaine fluide plus petit que Ω, D = {(r, θ, z)∈]0,r0[×[0,2π[×]0,L[} ,
avec r0 ∈]0,a[, comme repr´esent´e ci-contre.
r0
a
L
D´eduisez-en τ(r0) en fonction de Getr0, et commentez physiquement cette relation.
5.b En ´etendant ce qui pr´ec`ede au cas r0 =a, montrez que la contrainte pari´etale τp d´epend de fa¸con simple deGeta. Commentez physiquement cette relation.
6 Retrouvez `a l’aide de la relation ´etablie en 5.a, valable pourr =r0 quelconque, la forme pr´ecise de l’´ecoulement laminaire vue en cours.
7 On consid`ere dor´enavant le cas d’un tuyau horizontal ; pour fixer les notations on suppose que Z =y. Calculez la force totale Fexerc´ee par le tuyau sur le fluide contenu dans Ω, au niveau de leur surface de contactSl, puis, par le principe de l’action-r´eaction, la force totale F0 exerc´ee par le fluide contenu dans Ω sur le tuyau. Expliquez l’origine physique pr´ecise des deux termes qui composent cette force.
8.a Calculez num´eriquement le gradient de pression motrice, la contrainte pari´etale et ces deux termes de force dans le cas d’un ´ecoulement de p´etrole de masse volumiqueρ= 800 kg/m3,viscosit´e dynamiqueη= 0,025 Pa s, dans un tuyau de rayona= 4 cm, longueurL= 20 m, avec une vitesse d´ebitanteV = 4 m/s. Commentez physiquement.
8.b En prenant du recul, critiquez ce mod`ele, dans le cas de l’application num´erique pr´ec´edente.
9 On ´etudie le cas d’un ´ecoulement turbulent dans les conditions de la question 8.a. On admet que la relation ´etablie question 5.b entre τp, G et a est aussi valable dans ce cas. `A l’aide de r´esultats du chapitre8, calculez num´eriquement le gradient de pression motrice puis la contrainte pari´etale dans ce cas. Comparez aux r´esultats de la question 8.a et commentez physiquement.
Exercice 7.5 Equilibre d’un liquide en rotation autour d’un axe vertical´ [d’apr`es le test de janvier 2013]
On consid`ere un liquide incompressible visqueux contenu dans un r´ecipient et surmont´e d’air atmosph´erique. Le r´ecipient est pos´e sur une table tournante horizontale, en rotation autour d’un axe Oz vertical `a la vitesse angulaire ω constante. On rappelle que, dans le r´ef´erentiel R li´e `a la table, `a l’´equilibre la seule force d’inertie est la force volumique d’inertie d’entrainement (A.45).
1 Explicitez cette force et rappelez son interpr´etation physique.
2 Explicitez l’´equation de l’´equilibre local du liquide dans le r´ef´erentielR. Montrez que l’on peut en d´eduire la forme g´en´erale du champ de pression dans le liquide, puis la forme de la surface libre sup´erieure du liquide, o`u il est en contact avec de l’air atmosph´erique. Esquissez la forme de cette surface sur un sch´ema.
Exercice 7.6 Etude de l’´´ etablissement d’un ´ecoulement de Couette plan [test de janvier 2012]
Un fluide newtonien visqueux est confin´e entre deux plans situ´es en y = 0 et y = h. Ce syst`eme est r´ealis´e pratiquement dans un syst`eme de Couette cylindrique de tr`es petit inter-rayon h=b−aa, cf. la l´egende de la figure7.2. Partant d’une situation de repos, `at= 0 on suppose que l’on est capable d’imposer quasi instantan´ement une vitesseVex `a la paroi situ´ee eny=h, la paroi situ´ee eny = 0 restant fixe. On suppose que l’´ecoulement ainsi cr´e´e est de la forme
v = v(y,t) ex .
1 Quelle est l’´equation r´egissant la dynamique du champ v et du champ de pression p, sachant que le syst`eme est dispos´e dans un plan horizontal ?
2 Montrez que le champ de pression pdoit ˆetre homog`ene.
3 R´esolvez l’´equation de la dynamique du champ v. Montrez que la relaxation vers l’´ecoulement de Couette planv = V y/h se fait comme d´ecrit section 7.2.1.
Indications : vous poserez u = v − V y/h, et chercherez u sous la forme d’une s´erie de Fourier en y,
u(y,t) =
+∞
X
n=1
vn(t) sin nπy
h
.
Probl`eme 7.2 Etude d’un rh´´ eom`etre de Couette cylindrique
Un rh´eom`etre de Couette cylindrique (figure 7.2a) est une cavit´e comprise entre un cylindre int´erieur tournant, de rayon ext´erieura, et un cylindre ext´erieur fixe, de rayon int´erieurb, remplie du liquide newtonien `a ´etudier. En mesurant le couple appliqu´e au cylindre tournant en fonction de sa vitesse de rotation constante Ω, on veut remonter `a la viscosit´e du liquide. Comme on l’a vu dans le probl`eme de calcul tensoriel 2.2, on peut par sym´etrie et, puisque le fluide est incompressible, supposer que le champ de vitesse est de la forme v = V(r) eθ .
1 Explicitez le bilan local de quantit´e de mouvement dans le liquide et montrez `a partir de celui-ci que le champ de pression motrice ne d´epend que de r seulement, pb = p(r)b .
2 Calculez le champ de vitesse dans le liquide, et repr´esentez le champ de vecteurs correspondant sur un dessin.
3 Calculez le champ de pression dans le liquide, et pr´ecisez la forme de la surface sup´erieure du liquide en contact avec l’atmosph`ere, situ´ee en moyenne en z=h.
Commentaire et indications : Cette question relativement difficile peut ˆetre consid´er´ee comme une question subsidiaire , et devra donc plutˆot ˆetre trait´ee `a la fin. On supposera que le mod`ele obtenu `a la question pr´ec´edente pour le champ de vitesse est valable jusqu’`a la surface libre.
L’objectif est surtout de montrer que celle-ci est tr`es peu d´eform´ee ; ainsi, avec les param`etres de l’application num´erique de la question 6.2, vous devriez pouvoir d´emontrer que l’on a des variations de hauteur de la surface libre de moins de 1 mm.
7.7. Exercices et probl`emes 155
4 Quelle est la valeur du couple moteur qu’il faut exercer sur le cylindre int´erieur pour entretenir son mouvement ? Expliquez comment on peut mesurer la viscosit´e dynamique η du liquide.
5 Dans le but d’avoir une bonne pr´ecision sur la mesure deη, quelle est la bonneg´eom´etried’un rh´eom`etre de ce type ?
6.1 Faites un bilan global d’´energie cin´etique pour ce probl`eme, et interpr´etez physiquement ce bilan.
6.2 Si a= 3 cm, b= 4 cm, h= 20 cm, le fluide est une huile 1000 fois plus visqueuse que l’eau, quelle puissance doit d´evelopper le moteur pour entretenir un ´ecoulement permanent `a la vitesse de rotation Ω = 5 rad/s ?
7 A quoi faut-il faire attention lorsque l’on fait de telles mesures rh´eologiques ?`
Probl`eme 7.3 Bilans de force et de charge pour les pompiers
On consid`ere un camion de pompiers contenant un r´eservoir d’eau connect´e `a une pompe.
Celle-ci est situ´ee au niveau du bas du r´eservoir, pris comme origine des altitudes, z = 0. La surface sup´erieure de l’eau du r´eservoir se trouve en z =h ' 2 m. Cette pompe d´ebite de fa¸con quasi permanente dans un tuyau de caoutchouc de diam`etre28d= 70 mm, de longueurL= 50 m, avec un d´ebit volumique
q = ˙m/ρ = 10 l/s . (7.109)
On admet provisoirement29 que les pertes de charge r´eguli`eres dues `a la dissipation visqueuse associ´ee `a l’´ecoulement turbulent dans toute la longueur du tuyau
δHtuyau = 3,9 m`etres d’eau, (7.110)
et ce quelque soit la forme prise par le tuyau (pas forc´ement rectiligne). En bout de tuyau est fix´ee unelanceen m´etal, qui consiste essentiellement en un robinet suivi d’un cˆone convergent profil´e de diam`etre d’entr´ee d= 70 mm et de diam`etre de sortiedj = 20 mm. On admet qu’il n’y a pas de pertes de charge singuli`eres dues au robinet, qui lorsqu’il est ouvert d´egage totalement le passage pour l’eau, ni au convergent. Cette situation est repr´esent´ee sur la figure7.6a.
1 Quelle est la vitesse de sortieVj du jet d’eau dans l’air ?
2 On consid`ere ici une situation o`u le jet sortant de la lance est dirig´e sur un mur. Sur ce mur, il diverge comme cela est repr´esent´e sur la figure 7.6b. On fait un bilan sur le volume d’eau Ωt repr´esent´e sur cette figure. Son bord ∂Ωt est une surface de r´evolution d’axe Ox horizontal : sa surface d’entr´ee estSje, disque de diam`etredj, et d’aireAj; sa surface lat´erale en contact avec l’air estSa; sa surface de sortie du jet estSjs; sa surface de contact avec le mur estSm. En introduisant le vecteur unitaire sortantn de Ωt, on suppose que les ´ecoulements sont uniformes sur Sje, o`u v ' −Vjn, et Sjs, o`u v ' Vsn. Ceci a une cons´equence sur les champs de pression dans ces sections, que vous donnerez.
A l’aide de la loi globale d’´evolution de la quantit´e de mouvement, ´evaluez la force exerc´ee par le`
28. Dans ce probl`eme tous les diam`etres donn´es sont des diam`etres int´erieurs.
29. On reviendra sur cette question dans l’exercice8.1.
jet sur le mur, au niveau de la surface Sm. Vous supposerez que l’air ambiant est un fluide parfait non pesant. Faites une application num´erique et commentez.
3 Estimez la vitesse et la pression dans le tuyau dans une section droite de celui-ci situ´ee juste avant la lance. Vous ferez l’hypoth`ese que les ´ecoulements sont quasi uniformes dans cette section et dans la section de sortie du jet dans l’air.
4 Faites un bilan des pertes de charge dans le circuit hydraulique. Vous supposerez que le tuyau est horizontal, qu’il n’y a pas de pertes de charge entre la surface libre du r´eservoir et l’admission de la pompe, et que la pompe fournit un gain de chargeHpompe > 0,que vous calculerez.
5 Quelle est la puissance m´ecanique que doit d´evelopper la pompe ? 6 Quelle est la pression au refoulement de la pompe ?
7 On consid`ere maintenant une autre situation o`u le pompier s’attaque `a un feu d´eclar´e en haut d’un immeuble. Utilisant une ´echelle, le pompier est maintenant plac´e `a 15 m`etres du sol. Sachant que la pompe est situ´ee `a 1 m`etre du sol, quelle est la nouvelle charge Hpompe qu’il faut utiliser pour assurer le mˆeme d´ebit d’eau ? Quelle est la nouvelle puissance d´evelopp´ee par la pompe ? Quelle est la nouvelle pression au refoulement de la pompe ?
8 Dans cette question subsidiaire plus difficile, on revient `a la situation des questions 1 `a 6, o`u la lance et le tuyau sont rectilignes horizontaux orient´es dans la direction x. On suppose que la pression au refoulement de la pompe est toujours ´egale `a celle calcul´ee question 6. On veut estimer la force Fexerc´ee par les fluides eau et air sur la lance, qui doit ˆetre compens´ee par la somme
• de la force exerc´ee par le pompier sur la lance qu’il tient en mains
• et de la force exerc´ee par les parois du tuyau situ´ees en amont de la lance sur la lance.
8.1 On suppose le robinet `a boisseau ferm´e, ce qui revient `a placer un disque solide bouchant tout le tuyau dans le tuyau. En faisant notamment un bilan de forces pour l’eau contenue dans la lance, estimez analytiquementF dans ce cas, soitF1. Calculez num´eriquementF1x.
8.2 On suppose le robinet ouvert laissant sortir le jet d’eau. Calculez notamment grˆace `a un bilan de quantit´e de mouvement pour l’eau contenue dans la lance les nouvelles valeurs de F, soit F2, analytiquement et num´eriquement pour ce qui est de la composantex.
8.3 Par comparaison, expliquez cette phrase tir´ee d’un guide de pompiers : Lorsque l’eau s’´echappe de la lance, une force s’exerce dans le sens oppos´e provoquant un effet de recul plus ou moins important en fonction du type de lance, de la forme du jet et de la pression appliqu´ee `a l’entr´ee .
Probl`eme 7.4 L´evitation d’une voiture par r´eaction de jets d’eau [test de janvier 2010] Une exp´erience de l´evitation d’un v´ehicule a ´et´e r´ealis´ee par des pompiers, en disposant 10 tuyaux munis de lances orient´ees vers le sol sur un cadre solidaire d’une voiture. Les tuyaux et lances, tous identiques, sont dispos´es de fa¸con sym´etrique, 4 d’un cˆot´e lat´eral, 4 de l’autre cˆot´e, 1
`
a l’avant et 1 `a l’arri`ere du cadre, comme on le voit sur la photographie ci-apr`es30. Le but de ce
30. Cette photographie est tir´ee d’un film circulant sur Internet (mots cl´es :pompiers soul`event voiture), dont les auteurs sont, `a ma connaissance, inconnus.
7.7. Exercices et probl`emes 157
Fig. 7.6 – a : Vue d’artiste de la situation ´etudi´ee dans le probl`eme7.3. Notez sur la lance la poign´ee
Fig. 7.6 – a : Vue d’artiste de la situation ´etudi´ee dans le probl`eme7.3. Notez sur la lance la poign´ee