et petite rotationau sens o`u
2.2 Etude eulerienne des d´ ´ eformations
2.2.1 Transport d’un petit segment : tenseur gradient de vitesse
Consid´erons, avec les notations de la section2.1.1, un petit segment de mati`eredxtransport´e par le mouvement du milieu continu consid´er´e. D’une certaine fa¸con il faudrait peut-ˆetre mieux le noterdx(t) puisqu’il d´epend du temps, comme cela est repr´esent´e sur la figure2.6. Avec l’approche eulerienne, il est naturel de vouloir calculer la d´eriv´ee particulaire
d(dx)
dt = lim
dt→0
dx(t+dt)−dx(t)
dt = v(x+dx)−v(x) . (2.66)
En introduisant le tenseur gradient de vitesse
K = ∇xv (2.67)
on obtient
d(dx)
dt = K·dx . (2.68)
Comme tous les tenseurs introduits dans cette section2.2,Kest un tenseur eulerien
c’est-`
a-dire un champ tensoriel d´ependant de x ∈ Dt et t. D’apr`es le cours de calcul tensoriel, si on travaille en rep`ere orthonorm´e on a
K = ∂vi
∂xj ei⊗ej . (2.69)
2.2. ´Etude eulerienne des d´eformations 39
Fig. 2.6 – Repr´esentation du ph´enom`ene de transport d’un petit segment de mati`ere dx, entre deux instants tr`es prochest ett+dt.
2.2.2 Transport d’un champ de vecteurs : d´eriv´ee particulaire
Il est temps d’´etendre la formule (1.29) ´etablie d`es le chapitre 1pour le transport d’un champ scalaire au cas plus compliqu´e du transport d’un champ de vecteurs. Soit donc b=b(x,t) un tel champ ; on peut penser au champ de vitesse, ou au champ magn´etique dans un m´etal liquide par exemple. Lad´eriv´ee particulaire de ce champ est d´efinie par
db
en utilisant la composition des d´eriv´ees et en travaillant en rep`ere orthonorm´e Ox1x2x3. Or∂Φi/∂t est la vitesse euleriennevi, donc
db
2.2.3 Transport d’un petit volume : divergence de la vitesse
Pour calculer la d´eriv´ee particulaire d’un petit volume on consid`ere le cas d’un tel volume parall´el´epip´edique rectangle construit `a l’instant tsur les vecteurs d’une base orthonorm´ee,
dxi(t) = dx ei ,
puis ´evoluant ensuite avec le milieu continu. On met les indices en haut en ´ecrivantdxi pour des raisons purement pratiques qui vont s’´eclaircir imm´ediatement. En utilisant les notations de la section 1.6 du cours de calcul tensoriel, le volume correspondant est
d3x = (dx1, dx2, dx3) = ijk dx1i dx2j dx3k . (2.72) En vertu de la trilin´earit´e du d´eterminant, on obtient, en notant avec un point sup´erieur la d´eriv´ee par rapport au temps
d(d3x)
dt = ijk dx˙ 1i dx2j dx3k + ijk dx1i dx˙ 2j dx3k + ijk dx1i dx2j dx˙ 3k .
Dans cette ´equation on peut injecter (2.68), soit, compte tenu du choix particulier fait `a l’instant t,
dx˙ 1i = Ki1dx , dx˙ 2j = Kj2dx , dx˙ 3k = Kk3dx .
On obtient ainsi gradient de v, donc en vertu de la formule (2.24) du cours de calcul tensoriel, il vient que le coefficient de proportionnalit´e entre le taux de variation du petit volume et ce volume lui-mˆeme est la divergence de la vitesse,
d(d3x)
dt = divv d3x . (2.74)
Ceci permet une interpr´etation valable localement et instantan´ement de la divergence de la vitesse :
• si divv>0 alors on adilatation des volumes ;
• si divv<0 alors on acontraction des volumes ;
• si divv= 0 alors on a conservation des volumes.
2.2.4 Transport d’un produit scalaire : tenseur des taux de d´eformation Avec les notations de la section2.1.3, calculons la d´eriv´ee particulaire
d(dx·dx0)
dt = d(dx)
dt ·dx0 + dx·d(dx0) dt
en vertu de la bilin´earit´e du produit scalaire. En faisant usage de (2.68), il vient d(dx·dx0)
On peut mettre le premier terme sous une forme similaire `a celle du second terme en utilisant le tenseur Ktranspos´e, cf. la section 1.4.2 du cours de calcul tensoriel. Il vient
d(dx·dx0)
dt = dx·KT ·dx0 + dx·K·dx0 ,
en supprimant les parenth`esesinutiles... En introduisant letenseur des taux de d´eformation12 D = 1
il vient l’expression de la d´eriv´ee particulaire d’un produit scalaire entre petits vecteurs, d(dx·dx0)
dt = 2dx·D·dx0 . (2.76)
12. Parfois appel´e aussitenseur des vitesses de d´eformation.
2.2. ´Etude eulerienne des d´eformations 41
Le tenseur sym´etrique D peut se diagonaliser sur une base orthonorm´ee. Un cas particulier de la formule (2.76), obtenu lorsquedx=dx0,
d||dx||2
dt = 2dx·D·dx , (2.77)
permet d’interpr´eter les composantes diagonales deD. Par exemple D11 peut ˆetre, en vertu de d||dxe1||2
dt = 2dx2D11 ,
vu comme letaux d’allongement, s’il est positif, ou taux de contraction, s’il est n´egatif, des petits segments de mati`ere orient´es dans la directione1. De mˆeme
d(dxe1·dxe2)
dt = 2dx2D12
permet d’identifier D12 `a un taux de glissement entre deux petits segments orient´es dans les directionse1 ete2.
2.2.5 Champs de vitesse d’un solide ind´eformable
D’un point de vue eulerien, un solide ind´eformable est d´efini par la conservation des produits scalaires entre segments de mati`ere, petits ou non. Il suffit en fait d’exiger cette conservation pour de petits segments,
∀dx, dx0, d(dx·dx0)
dt = 0 ⇐⇒ dx·D·dx0 = 0 (2.78)
en vertu de (2.76), pour ˆetre capable de d´eterminer compl`etement la structure du champ de vitesse v. En effet (2.78) donne
D = 0 ⇐⇒ ∇v + ∇vT = 0 , (2.79)
´equation analogue `a (2.58) `a condition de faire les identifications
X x et u v.
De mˆeme que la solution g´en´erale de (2.58) prend la forme (2.57), de mˆeme la solution g´en´erale de (2.79) est unchamp de moments de la forme
v = v0 + ω∧x . (2.80)
Le premier terme correspond `a un mouvement detranslation globale, le second `a un mouvement derotation, le vecteurω´etant levecteur vitesse de rotation instantan´ee. On peut noter que
ω = 1
2 rot v.
Cette forme (2.80) de champ de vitesse a ´et´e ´etudi´ee dans la sectionA.1.2...
2.2.6 D´ecomposition locale d’un champ de vitesse g´en´eral
De fa¸con analogue `a ce qui a ´et´e fait dans la section 2.1.9 pour le champ de d´eplacements autour d’un point X donn´e, on peut d´ecomposer le champ de vitesse autour d’un point x donn´e sous la forme
dv = v(x+dx)−v(x) = ∇v·dx = D·dx + ω∧dx . (2.81) avec
ω = 1
2 rot v. (2.82)
La formule (2.81) montre que localement on peut d´ecomposer le mouvement en uned´eformation instantan´ee (termeD·dx) et unerotation instantan´ee (termeω∧dx). On m´editera `a ce sujet la figure 2.2 du cours de calcul tensoriel.