Mod´ elisation et r´ esolution

a la phase aust´enite par chauffage provoque un retour `a la forme initiale de l’AMF (”rattrapage” de forme). La d´eformation maximale recouvrable d´epend de la compo-sition chimique, du process de fabrication et de l’´education de l’AMF. La proc´edure d’´education n´ecessite des cycles thermiques sous d´eformation ou contrainte constante, ce qui cr´e´e des dislocations dans le mat´eriau. Dans le cas d’un AMF non-´eduqu´e, la martensite orient´ee est obtenue par tension : sa disparition par chauffage est `a la base de l’effet m´emoire simple-sens et de l’effet m´emoire double-sens assist´e par la contrainte.

Dans le cas d’un AMF ´eduqu´e, le champ de contrainte interne qui est cr´e´e par les dis-locations favorise la formation de la martensite orient´ee pr´ef´erentiellement [21] [41] : le passage de cette martensite orient´ee `a l’aust´enite par variation de temp´erature est `a la base de l’effet m´emoire double sens intrins`eque (ou ”non-assist´e”).

De nombreux mod`eles de comportement existent dans la litt´erature. Ils permettent notamment de d´eterminer la proportion de martensite en fonction du trajet dans l’espace contrainte-temp´erature. Dans la suite de ce chapitre consacr´e `a une ´etude pr´eliminaire sur l’int´egration d’un AMF dans une structure flexible, nous ne retenons que deux pro-pri´et´es :

— la variation de module d’Young entre l’aust´enite et la martensite ;

— la d´eformation recouvrable au passage de l’aust´enite `a la martensite.

Le tableau3.1pr´esente des valeurs de ces param`etres tir´es de la litt´erature. Un objectif de l’´etude num´erique qui suit est d’´evaluer le poids de ces deux param`etres pour faire varier la carte de compliance d’une structure compliante.

3.3 Mod´ elisation et r´ esolution

3.3.1 Introduction

La figure 3.2 montre une structure flexible `a chaine ferm´ee compos´ee de N seg-ments flexibles et de N + 1 liaisons de tout type. Ces derni`eres peuvent ˆetre passives ou actives, flexibles ou bloqu´ees (encastr´ees). L’espace de travail r´esulte de la mobilit´e du robot (degr´es de libert´e internes) mais il peut ˆetre modifi´e par la d´eformation du robot (´elasticit´e des bras, raideur articulaire). Un composant en AMF est int´egr´e `a la

Figure 3.1: Principe des AMF.

Alliage AMF Ratio

Eaus/Emart

D´eformation recouvrable

R´ef´erence

Ni-Ti 1,5 5.9 [160]

Ni-Ti-Hf 1,3 - [18]

Ni-Ti-Pd 1,2 - [18]

Ni-Ti-Cu 4,2 - [104]

Ni-Ti 1,6 - 3 - [168]

SMARC Ni-Ti/fibres de verre/epoxy

2,8 - [152]

Ni-Ti 2 - 3 8,5 % maximum [61]

Ni-Ti 2,7 - [145]

Ni-Ti-Cu 2 - [138]

Ni-Ti (fibres) 2,3 - [14]

Ni-Ti (films) 1,4 - [46]

Ni-Ti (fil Flexinol) 2,8 3,4 % [163]

Table 3.1:Ratios de raideur entre aust´enite et martensite, et d´eformation recouvrable des AMF dans la litt´erature.

Chapitre 3. Etude pr´´ eliminaire pour l’int´egration d’un AMF dans une structure

flexible 72

structure. Ce composant peut ˆetre sous forme de fil, ressort, plaque mince ou de tube.

La section est organis´ee comme suit :

— le syst`eme m´ecanique ´etudi´e est pr´esent´e dans la section 3.3.2;

— la proc´edure d’obtention de l’espace de travail, des cartes de raideur et de leur variabilit´e en fonction de l’´etat du composant AMF est pr´esent´ee dans la section 3.3.3;

— la section3.3.4est consacr´ee `a des aspects li´es `a la r´esolution num´erique.

Figure 3.2: Sch´ema g´en´eral d’une structure flexible `a chaine ferm´ee compos´ee deN segments flexibles, N + 1 liaisons de tout type et d’un composant AMF plac´e dans la structure. Notons que le composant actif n’est pas localis´e dans une liaison : il est

´

etendu `a l’´echelle d’un segment.

3.3.2 Syst`eme m´ecanique ´etudi´e

La figure 3.3 montre le syst`eme m´ecanique 2D ´etudi´e. Ce syst`eme est compos´e de deux bras, AC et BC, formant une chaine ferm´ee dans le plan (x,y). Le tableau 3.2 donne les valeurs des param`etres g´eom´etriques et mat´eriels du mod`ele. Il est `a noter que le syst`eme ne poss`ede pas de degr´e de libert´e (DDL). Cependant, les deux bras AC et BC sont des lames de faible ´epaisseure, ce qui leur permet d’ˆetre tr`es flexibles dans le plan (x,y). De plus, ces deux bras ne sont pas droits, afin d’augmenter leur flexibilit´e (voir l’angle θ sur la figure 3.3). Les deux liaisons pivots aux point A et B sont actionn´ees : des moments MA et MB peuvent ˆetre appliqu´es autour de la direction z. Dans cette structure, le point C joue le rˆole de l’effecteur du robot. La flexibilit´e de la structure a

Figure 3.3: Structure avant d´eformation.

comme cons´equence d’avoir un mouvement du point C en fonction des valeurs de M_A et de MB. Dans ce qui suit, l’origine de la base (x,y) est prise comme la position du point C dans la configuration non-d´eform´ee, i.e. pourM_A=M_B = 0. Il est `a remarquer que si l’on mod´elise grossi`erement cette flexibilit´e par deux liaisons pivots au niveau des deux angle θ de la figure 3.3, la d´eformation structurale de ce m´ecanisme flexible est

´equivalente `a un m´ecanisme planaire 5 barres `a deux DDL (cin´ematiques), comme cela peut se v´erifier avec la formule de Gr¨ubler.

Le composant actif est plac´e sur le bras AC : il est compos´e d’un cˆable en acier en s´erie avec un ressort en AMF. Dans ce qui suivra, on d´esignera par ”composant AMF”

cette association du cˆable m´etallique et du ressort AMF. La rotation est possible aux extr´emit´es A et C du composant AMF, permettant ainsi un ´etat de chargement uni-axial dans la direction du fil. Comme le diam`etre du cˆable m´etallique est consid´er´e petit par rapport `a sa longueur, on consid`ere qu’il ne peut pas subir de compression (flambement).

Par cons´equent, le composant AMF peut ˆetre seulement en traction. Cette hypoth`ese rajoute de la non-lin´earit´e au mod`ele, mais n’alt`ere pas les conclusions de l’´etude.

Les deux bras sont en acier, dont le module d’YoungE est donn´e dans le tableau 3.2.

La temp´erature `a laquelle le composant AMF est plac´e dans la structure est suppos´ee

Chapitre 3. Etude pr´´ eliminaire pour l’int´egration d’un AMF dans une structure

flexible 74

Param`etres Valeur

Hauteur totale,H 310 mm

Largeur totale,L 400 mm

Largeur des bras (suivant la directionz) 30 mm

Epaisseur des bras,´ e 1 mm

Angle de pliage des bras,θ 150˚

Module d’Young des bras,E 210 GPa

Table 3.2:Param`etres g´eom´etriques et mat´eriels de la structure ´etudi´ee.

ˆetre inf´erieure `a la temp´erature martensite-finishMf de l’AMF, voir configuration non-activ´ee de la figure 3.1. Il est donc `a l’´etat martensitique. Un chauffage au dessus de la temp´erature aust´enite-finish A_f cr´e´e un retour `a l’´etat aust´enitique, voir configuration activ´ee de la figure3.1. Le tableau 3.3 donne les propri´et´es du composant AMF. Deux cas de figure sont ´etudi´es, dans le but de distinguer l’influence de l’effet m´emoire de forme (”rattrapage” de forme menant `a un changement de la longueur `a vide du ressort) et l’influence du changement de la raideur du composant AMF (due `a la diff´erence du module d’Young entre l’aust´enite et la martensite).

— Dans le cas N^o1, la raideur est la mˆeme dans les deux configurations de l’AMF (activ´ee et non-activ´ee) : K^act = K^non−act. Ce cas correspond par exemple `a l’utilisation d’un AMF `a base de cuivre, pour lequel l’ordre de grandeur du module d’Young est en g´en´eral similaire pour la phase aust´enite et la phase martensite [61].

La d´eformation recouvrable γ de l’AMF est fix´e `a 6%.

— Dans le cas N^o2, des valeurs diff´erentes sont consid´er´ees pourK^actetK^non−act. Un ratio de 2 entre les deux valeurs est consid´er´e, ce qui est l’ordre de grandeur pour un AMF `a base de nickel-titane [61][145]. Aucun rattrapage de d´eformation n’est consid´er´e :γ = 0. Ce cas permet de prendre en compte uniquement le changement de la raideur du composant AMF.

Cas Param`etre Valeur

N^o1 D´eformation recouvrable consid´er´ee, γ 6%

Raideur dans les deux configurations, K^act =K^non−act 1,4 N/mm N^o2 D´eformation recouvrable consid´er´ee, γ 0%

Raideur en configuration activ´ee, K^act 1,4 N/mm Raideur en configuration non-activ´ee, K^non−act 0,7 N/mm

Table 3.3: Propri´et´es du composant AMF.

L’architecture et les dimensions de la structure, tout comme ses param`etres mat´eriels, sont choisis pour permettre la validation de la pertinence de combiner une structure compliante avec un composant AMF pour obtenir des cartes de complianceactives. Son

optimisation ou l’application `a d’autres architectures robotiques seront r´ealis´ees dans de futurs travaux.

3.3.3 Proc´edure

Obtention d’un espace de travail selon l’´etat de l’AMF

La figure3.4-a illustre la variation spatiale du point C suite `a l’application des moments M_A etM_B dans un intervalle donn´e. On d´esigne paru_x etu_y les deux composantes du vecteur d´eplacement du point C. La distribution spatiale de C’(ux, uy) d´efinit un pseudo-espace de travail. Ce pseudo-pseudo-espace de travail r´esulte de la d´eformation de la structure.

On rappelle que la structure ´etudi´ee n’a pas de mobilit´e cin´ematique, et donc pas d’espace de travail cin´ematique. La forme et les dimensions du pseudo-espace de travail d´ependent de l’intervalle de variation choisi pourM_AetM_B et de l’´etat du composant AMF (activ´e ou non-activ´e, voir figure 3.1). On d´esigne maintenant par PET ^non-act et PET^act les pseudo-espaces de travail lorsque le composant AMF est en configuration non-activ´ee (´etat martensitique) et en configuration activ´ee (´etat aust´enitique) respectivement, voir la figure3.5-a.

Obtention des cartes de compliance

Pour tout point du pseudo-espace de travail (que ce soit en configuration activ´ee ou non-activ´ee du ressort AMF), la compliance de la structure peut ˆetre obtenue avec l’application d’un effort externe F= (Fx, Fy) au niveau de l’effecteur C, voir les figures 3.4-b et 3.5-b. Depuis la position C’(u_x, u_y), un d´eplacement additionnel (∆u_x,∆u_y) est cr´e´e par cet effort. La matrice de compliance est d´efinie par :

∆u_x En pratique, pour le calcul des quatre composantes de la matrice de compliance, les formules suivantes sont appliqu´ees :

Quatre cartes de raideur sont obtenues en cons´equence du balayage des deux moments M_A etM_B :S_xx(u_x, u_y),S_yx(u_x, u_y), S_yy(u_x, u_y) et S_xy(u_x, u_y). Finalement, comme le composant AMF peut ˆetre dans la configuration activ´ee ou non-activ´ee, deux jeux de quatre cartes de compliance sont obtenus.

Chapitre 3. Etude pr´´ eliminaire pour l’int´egration d’un AMF dans une structure

flexible 76

Figure 3.4: Mod`ele de la structure compliante ´etudi´ee. Le ressort AMF n’est pas repr´esent´e sur la figure pour des raisons de clart´e et de lisibilit´e : (a) cr´eation d’un pseudo-espace de travail par la d´eformation de la structure suite `a l’application deM_A

etM_B dans un intervalle donn´e, (b) application du chargement sur l’effecteur.

Figure 3.5:Sch´ema de la proc´edure num´erique : a) obtention des deux pseudo-espaces de travail selon l’´etat de l’AMF, b) obtention des cartes de compliance et ´evaluation du

ratio de compliance entre les configurations activ´ee et non-activ´ee.

Chapitre 3. Etude pr´´ eliminaire pour l’int´egration d’un AMF dans une structure

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Evaluation de la variation de compliance entre les deux configurations´ (activ´ee et non-activ´ee)

On consid`ere maintenant l’intersection entre les deux pseudo-espaces de travail obtenus dans les deux configurations du composant AMF :

PET = PET^non-act ∩ PET^act (3.3)

Dans ce pseudo-espace de travail commun (PET), tous les points sont atteignables dans les deux ´etats du composant AMF. Pour ´evaluer la variabilit´e de la compliance entre les deux configurations, les ratios de la compliance sont calcul´es sur l’espace de travail commun (PET) comme suit :

Dans cette section sont donn´ees des pr´ecisions sur la r´esolution num´erique du mod`ele m´ecanique. Comme pr´ecis´e dans le chapitre pr´ec´edent, deux logiciels sont utilis´es en parall`ele : Matlab et Ansys. Deux hypoth`eses de r´esolution peuvent ˆetre discut´ees.

— L’hypoth`ese des petites d´eformations est utilis´ee pour notre calcul. Ce choix est justifi´e par le fait que le mat´eriau des deux bras m´etalliques est suppos´e avoir un comportement ´elastique (pas de plasticit´e...).

— Pour les structures flexibles, il est admis que mˆeme de petites d´eformations m`enent

`

a des changements significatifs de la g´eom´etrie de la structure. Ceci est parti-culi`erement vrai dans les cas de flexion de plaques minces. Cette question est essentielle pour le point d’application du chargement ext´erieur F : l’application du chargement fait varier la position son point d’application. De mani`ere plus g´en´erale, le changement de forme de la structure (dˆu `a M_A, M_B et F) doit ˆetre pris en compte : l’´equilibre m´ecanique local doit ˆetre v´erifi´e sur la configuration d´eform´ee. Une analyse non-lin´eaire dans le cadre des grands d´eplacements (voir section3.2.1) est ainsi n´ecessaire. Ceci est mis en ´evidence dans la section suivante 3.4.

La transformation continue de l’AMF de l’aust´enite vers le martensite ou l’inverse n’a pas ´et´e simul´ee. Les calculs sont r´ealis´es dans un premier temps dans l’´etat marten-sitique du ressort AMF (configuration non-activ´ee), et ensuite dans l’´etat aust´enitique (configuration activ´ee). En pratique, un changement homog`ene de la temp´erature est impos´e au composant AMF pour passer d’une configuration `a une autre. La dilatation thermique li´ee `a la thermo-´elasticit´e est n´eglig´ee.

Les deux moments M_A et M_B sont scann´es sur des intervalles donn´es, qui sont discr´etis´es sur 30 valeurs, ce qui conduit `a 30×30 = 900 calculs par ´el´ements finis pour chacune des deux configurations du composant AMF (activ´ee et non-activ´ee). Ainsi, 1800 calculs sont r´ealis´es au total. Ce nombre a ´et´e choisi suite `a des tests pr´eliminaires pour assurer un bon compromis entre le temps de calcul et une bonne r´esolution spatiale de la discr´etisation de l’espace de travail. Le temps n´ecessaire pour un seul calcul (un point de l’espace de travail) est de 3,34 s, avec un processeur i5 de 3,10 Ghz. Cette valeur est sup´erieure aux 2,02 s qui ´etaient n´ecessaires pour le calcul de la structure rigide multi-corps du chapitre pr´ec´edent (voir section2.4.5) : en effet, le probl`eme ´etait alors lin´eaire. L’ordre de grandeur du temps de calcul pour obtenir une carte de raideur de notre structure flexible est d’environ 6 h.

Remarques concernant le solveur de r´esolution

Dans un probl`eme par ´el´ements finis, la r´esolution constitue une ´etape importante.

Lors de cette ´etape, le solveur est la partie qui intervient dans la manipulation des matrices et la r´esolution du syst`eme. On distingue deux cas :

— pour une analyse structurale lin´eaire statique en petits d´eplacements, le syst`eme

`

a r´esoudre s’´ecrit :

[K]{x}={F} (3.5)

o`u{x} est le vecteur des d´eplacements.{F}est le vecteur des efforts ext´erieurs et [K] la matrice de raideur, tous deux ´ecrits sur la configuration non d´eform´ee de la structure ;

— pour une analyse statique en grands d´eplacements, le syst`eme `a r´esoudre s’´ecrit :

[K(x)]{x}={F(x)} (3.6)

Notons que la matrice de raideur [K] d´epend de la d´eform´ee de la structure. En effet, les equations d’´equilibre sont ´ecrites sur la configuration d´eform´ee. Le cal-cul n´ecessite une r´esolution it´erative parce que la relation K(x) n’est pas connue pr´ealablement.

Chapitre 3. Etude pr´´ eliminaire pour l’int´egration d’un AMF dans une structure

flexible 80

En pratique, pour la r´esolution des ´equations3.5 et 3.6, Ansys met `a disposition plusieurs solveurs. On peut les classer selon la m´ethode utilis´ee [121] :

— m´ethode de r´esolution directe : cette m´ethode n´ecessite en g´en´eral une m´emoire im-portante. Toutefois, le solveur SPARSE a l’avantage de r´eduire la m´emoire utilis´ee n´ecessaire pour le calcul. Il est bien adapt´e aux probl`emes lin´eaires ainsi qu’aux cas de non-lin´earit´es de type contact.

— m´ethode de r´esolution it´erative : cette m´ethode ne n´ecessite pas autant de m´emoire que la m´ethode directe mais elle est plus lente en termes de temps de calcul. Elle est destin´ee `a la r´esolution des syst`emes complexes, non-sym´etriques, etc. Plusieurs solveurs sont propos´es [8] :

• solveur JCG (Jacobi Conjugate Gradient) : ce solveur est bien adapt´e aux probl`emes de thermiques, ´electromagn´etiques, pi´ezo´electriques, et dans le do-maine acoustique ;

• solveur PCG (Pre-conditioned Conjugate Gradient) : plus rapide que le sol-veur JCG, il n´ecessite moins d’espace de stockage de fichiers, mais plus de m´emoire pour le calcul. Il est plus rapide pour les mod`eles fortement non-lin´eaires. Ce solveur est plus robuste pour la r´esolution de syst`emes contenant des equations de contrainte.

Apr`es plusieurs tests, nous utilisons le solveur PCG pour la r´esolution de notre mod`ele car il traite mieux les probl`emes non-lin´eaires contenant des ´equations de contrainte, et il assure plus de rapidit´e dans le calcul.

3.4 Remarques pr´ eliminaires sur les pseudo-espaces de