Analyse des cartes de compliance et de leur variabilit´ e

etats du composant AMF.

3.5 Analyse des cartes de compliance et de leur variabilit´ e

Dans cette section, les r´esultats en termes de cartes de compliance et de leur variabilit´e en fonction de l’´etat du composant AMF sont pr´esent´es.

— Dans la section3.5.1, l’int´erˆet du cadre desgrands d´eplacements dans le calcul des cartes de compliance est montr´e ;

— dans la section 3.5.2, la variabilit´e de ces cartes de compliance est analys´ee ;

— Dans la section 3.5.3, des remarques et pr´ecisions sont donn´ees par rapport `a la non-lin´earit´e et l’anisotropie de cette variabilit´e.

— dans la section 3.5.4, l’influence seule du changement de la raideur du composant AMF entre les deux configurations activ´ee et non-activ´ee (cas N^o2 du tableau3.3) est analys´ee.

3.5.1 Pertinence du cadre des grands d´eplacements dans le calcul des cartes de compliance

Pour illustrer avec un exemple d´emonstratif, la figure3.7montre la carte de com-pliance S_yy^non−act avec le composant AMF non-activ´e, pour un effort vertical Fx = 0 et F_y =−3 N sur le pseudo-espace de travailP ET^non−act de la figure3.6-a. Les remarques qui peuvent ˆetre faites `a partir de cette figure sont les suivantes :

Figure 3.7: Carte de complianceS_yy^non−act avec composant AMF non-activ´e pour un effort vertical Fy =−3 N, pour le cas N^o1 du tableau 3.3 : (a) avec l’hypoth`ese des

petits d´eplacements, (b) avec l’hypoth`ese des grands d´eplacements.

Chapitre 3. Etude pr´´ eliminaire pour l’int´egration d’un AMF dans une structure

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— avec l’hypoth`ese des petits d´eplacements (voir figure 3.7-a), il apparait que la compliance est constante par morceaux :S_yy^non−act= 0,308 mm/N sur le PET^non-act₁ et S_yy^non−act= 0,399 mm/N sur le PET^non-act₂ ;

— avec l’hypoth`ese des grands d´eplacements (voir figure3.7-b), la compliance varie de mani`ere continue sur le PET^non-act₁ et le PET^non-act₂ . Une discontinuit´e est toutefois observ´ee au niveau de la transition entre les deux zones.

Les mˆemes conclusions peuvent ˆetre d´eduites pour toute les composantes de la com-pliance (Syy,Syx, Sxx and Sxy), quel que soit l’´etat dans lequel se trouve le composant AMF (activ´e ou non-activ´e). Comme il est constat´e que les r´esultats obtenus dans le cadre des petits d´eplacements (hypoth`ese simplificatrice) sont fortement diff´erents de ceux obtenus en grands d´eplacements, tous les r´esultats qui vont suivre sont donn´es avec cette derni`ere hypoth`ese.

3.5.2 Variabilit´e de la compliance

La figure Fig. 3.8-a-3 montre les cartes de compliance Sxy et Syy dans les deux configurations activ´ee et non-activ´ee. Ces cartes sont g´en´er´ees en prenant en compte les mˆemes conditions que pour la section pr´ec´edente (Fx = 0,Fy =−3 N, cas N^o1 du tableau 3.3). Pour la composante yy, la figure3.8-a-3 montre le ratio R_yy = S_yy^act/S_yy^non−act sur le PET (voir ´equation 3.4). Concernant la composante xy, on peut noter que S_xy^non−act varie entre des valeurs n´egatives et positives sur le PET^non-act (voir figure 3.8-b-1). Par cons´equent, le calcul deR_xy =S_xy^act/S_xy^non−act donne une valeur infinie quandS_xy^non−act= 0. Pour cela, et pour ´eviter des ´echelles de couleurs inappropri´ees, diff´erentes cartes sont pr´esent´ees pour faciliter l’analyse : voir figures 3.8-b-3, b-4 et b-5. En se basant sur ces figures, les commentaires suivant peuvent ˆetres faits.

— Pour la composant yy, on voit sur la figure 3.8-a-3 que le ratio R_yy varie entre 0,40 et 1,77 sur le PET. Autrement dit, Ryy varie de -60% et +77%. Toutefois, il y a dans le PET une zone o`u il n’y a pas de variation de la compliance (R_yy = 1).

Cette zone correspond en effet `a la configuration pour laquelle le composant AMF n’agit pas sur la structure (il n’est pas en tension), que ce soit dans l’´etat activ´e ou non-activ´e.

— Pour la composante xy, il est `a remarquer dans la figure 3.8-b-3 que le ratioR_xy a une distribution plus complexe sur le PET : il peut ˆetre positif, n´egatif, nul ou mˆeme infini. Le casR_xy <0 semble ˆetre int´eressant. Cela signifie qu’il est possible de changer le signe de la compliance Sxy en fonction de l’´etat du composant AMF.

De mani`ere similaire `a la composante yy, une zone o`u il n’y a pas de variation de compliance est observ´ee (Rxy = 1), voir la figure3.8-b-4. La figure3.8-b-5 pr´esente la carte de la diff´erence S<sub>xy</sub><sup>act</sup>−S<sub>xy</sub><sup>non−act</sup>. Il est `a noter que cette diff´erence varie

Figure 3.8: Analyse de la variation de la compliance pour un effort vertical (Fx = 0 et Fy =−3 N), pour le cas N^o1 du tableau 3.3.

entre -0,39 et 0,11, mettant en ´evidence une forte capacit´e du syst`eme m´ecanique

`

a changer sa compliance.

3.5.3 Remarques concernant la non-lin´earit´e et l’anisotropie

Cette section met en ´evidence la non-lin´earit´e et l’anisotropie de la variation de la compliance entre les configurations activ´ee et non-activ´ee du composant AMF, c’est `a dire l’influence de l’amplitude et de la direction de la forceF sur les valeurs des ratios

Chapitre 3. Etude pr´´ eliminaire pour l’int´egration d’un AMF dans une structure

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Rxx, Ryy, Ryx et Rxy. Comme illustration, un test a ´et´e r´ealis´e en un point du PET : le point C’ de coordonn´ees u_x = −12,51 mm, u_y = −2,50 mm. Pour le cas N^o1 du tableau3.3, la figure 3.9-a montre la variation des ratios de compliance Ryy et Rxy en fonction deF_y pour une valeur nulle deF_x. De mani`ere similaire, la figure3.9-b montre la variation deR_xx et R_yx en fonction de F_x pour F_y = 0. Des commentaires peuvent ˆetre formul´es sur ces figures.

— Les ratios des quatre compliances ne sont pas constants lorsque l’amplitude de la force ´evolue : la variation de la compliance entre les configurations activ´ee et non-activ´ee est clairement non-lin´eaire. Un double r´egime est observ´e pour les quatre ratios : voir le changement de la pente `a Fy = −2,5 N sur la figure 3.9-a, et `a F_x=−1,5 N sur la figure 3.9-b. Ceci est simplement dˆu au fait que le composant AMF agit ou non sur la structure en fonction du niveau du chargement : au-dessus de certaines valeurs de F_x etF_y, le composant AMF est en tension dans les deux configurations activ´ee et non-activ´ee. Dans tous les cas, la variation des ratios de la compliance est non-lin´eaire par rapport au chargement appliqu´e.

— Il est `a noter que les quatre ratios de la compliance ne sont pas d´efinis pour un chargement nul (division par z´ero dans l’´equation3.2). Toutefois, on remarque que lorsqueFxouFytend vers z´ero, le ratio tend vers une valeur finie, qui correspond au ratio qui serait obtenu dans le cadre des petits d´eplacements. En effet, l’hypoth`ese des petits d´eplacements consid`ere que le chargement est appliqu´e dans la configu-ration initiale de r´ef´erence, c’est `a dire, sans la prise en compte du d´eplacement du point d’application du chargement caus´e par la d´eformation de la structure.

— Les valeurs des quatre ratios de compliance ne sont pas sym´etriques par rapport au sens de la l’application de la force. Par exemple, les valeurs pour F = +1 N et pour F = −1 N sont distinctes, quel que soit le ratio consid´er´e. La variation de compliance entre les configurations activ´ee et non-activ´ee du composant AMF est clairement asym´etrique.

De mani`ere g´en´erale, la non-lin´earit´e et l’anisotropie observ´ees dans cette ´etude r´esultent du cadre des grands d´eplacements requis pour une analyse d’une structure flexible.

3.5.4 Influence de la variation de raideur du composant AMF

On consid`ere maintenant uniquement la variation de raideur du composant AMF : voir le cas N^o2 du tableau3.3. Il n’y a pas de d´eformation recouvrable mais la raideur du composant AMF est diff´erente entre l’´etat activ´e et l’´etat non-activ´e (K^act6=K^non−act).

Le but est d’observer seulement l’effet de ce param`etre. La figure 3.10 montre la carte du ratio de la compliance Ryy pour un chargement vertical Fy = −3 N et Fx = 0. Il est `a remarquer que la valeur est ´egale `a 1 dans une large partie du PET : cette zone

Figure 3.9: Mise en ´evidence de la non-lin´earit´e et de l’anisotropie de la variation de la compliance entre les configurations activ´ee et non-activ´ee, pour le cas N^o1 du tableau 3.3. Les calculs sont r´ealis´es pour un point donn´e du pseudo-espace de travail

PET (point C’ de coordonn´eesux=−12.51 mm,uy=−2.50 mm).

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Figure 3.10: Influence de la variation de raideur du composant AMF. Le cas N^o2 est consid´er´e (voir tableau 3.3) : K^act 6=K^non−act sans rattrapage de forme. Les calculs

sont r´ealis´es pour un effort vertical (Fx= 0 etFy=−3 N).

correspond `a la configuration o`u le composant AMF n’agit pas sur la structure (il n’est pas en tension), que ce soit dans l’´etat activ´e ou non-activ´e.R_yy varie entre 0,78 (-22%) et 1,15 (+15%). Il faut noter que le niveau de discr´etisation du PET et l’interpolation ont un effet sur ces valeurs car la zone de variation est petite. N´eanmoins, les amplitudes de variation sont moins importantes que celles du cas N^o1 (-60% `a +77%, voir la section 3.5.2). Pour conclure, ces r´esultats montrent que l’influence de la variation de raideur du composant AMF est moins importante que celle du ”rattrapage” de forme.

3.6 Conclusion

L’objectif de ce chapitre ´etait d’´evaluer la capacit´e d’un composant AMF `a faire varier la carte de compliance d’une structure compliante. Cette ´etude num´erique permet

d’´enoncer les conclusions suivantes :

— par l’activation thermique de l’effet m´emoire de forme du composant AMF, il est possible de changer de mani`ere significative la distribution des valeurs des composantes de la compliance dans un espace de travail donn´e du robot. Dans certaines configurations, il est mˆeme possible de changer le signe de la compliance en fonction de l’´etat de l’AMF ;

— la variation de la compliance entre les configurations activ´ee et non-activ´ee du com-posant AMF est complexe : la variation est fortement non-lin´eaire par rapport au niveau du chargement, et anisotrope selon la direction du chargement appliqu´e sur l’effecteur. Cette complexit´e est due aux larges d´eplacements des points mat´eriels de la structure flexible. En pratique pour la simulation, mˆeme si la structure est soumise `a de petites d´eformations, le cadre des grands d´eplacements (au sens de la RDM) est requis pour une analyse correcte de la variation des cartes de com-pliance ;

— les r´esultats de cette ´etude num´erique permettent de valider la possibilit´e d’une combinaison d’une structure compliante avec un composant AMF pour obtenir des cartes de compliance actives. L’optimisation en termes d’architecture, de di-mensions et de caract´eristiques mat´erielles est `a d´evelopper dans de futurs tra-vaux. Une application `a d’autres types de robots (s´eriels, parall`eles, hybrides, compliants, monolithiques, etc.) peut ˆetre ´egalement envisag´ee. Notre perspec-tive est de d´evelopper un robot industriel reconfigurable, capable de fournir des raideurs diff´erentes dans un espace de travail donn´ee, i.e. capable de r´ealiser des tˆaches polyvalentes de production.

Cette ´etude purement num´erique a ´et´e un pr´ealable pour la conception et la r´ealisation d’un d´emonstrateur physique. Le dispositif test´e exp´erimentalement au cha-pitre suivant s’inspire de la structure num´erique ´etudi´ee dans ce chapitre 3. Il pr´esente toutefois des diff´erences li´ees aux contraintes technologiques et pratiques.