D´ emarche d´ evelopp´ ee pour la g´ en´ eration des cartes de raideurraideur

a g´eom´etrie volumique est qu’elle n´ecessite un temps calcul important. Par cons´equent, une impl´ementation g´en´erique est difficile pour une application ult´erieure comme par exemple un processus d’optimisation de la conception. Cette restriction est en partie lev´ee si on reste dans une mod´elisation de type filaire. La FEM a l’avantage d’ˆetre pr´ecise, et l’utilisation de codes commerciaux de calcul avec interface graphique permet une interaction plus facile et une diminution du temps de d´eveloppement.

2.3 D´ emarche d´ evelopp´ ee pour la g´ en´ eration des cartes de raideur

2.3.1 Objectifs vis´es et avantages `a utiliser un code commercial

Deux logiciels sont utilis´es dans un fonctionnement parall`ele : Matlab et Ansys.

Ce dernier, un code commercial de calcul par ´el´ements finis (EF), est utilis´e pour la r´esolution du mod`ele m´ecanique. Le premier, Matlab, permet de scanner l’espace de travail, de construire les lignes du code EF pour chaque pose dans l’espace de travail, et enfin, de calculer et de tracer les cartes de raideur. Les caract´eristiques de l’outil num´erique d´evelopp´e dans les sections qui suivent sont r´esum´es par les points suivants :

— il permet un bon compromis entre le temps de calcul, la pr´ecision et la discr´etisation de l’espace de travail ;

— il est facilement applicable `a tout type de robots (s´eriel, parall`ele, compliant, etc.) ;

— il exploite les nombreux avantages d’utiliser un code commercial par EF. En effet, ce dernier offre de nombreuses possibilit´es qui peuvent ˆetre utilis´ees pour l’ana-lyse des structures robotiques : grandes et petites d´eformations, grands et petits d´eplacements, mod`eles hyper´elastiques pour les mat´eriaux de type caoutchouc, mod`eles visqueux pour les mat´eriaux thermoplastiques et les ´elastom`eres, mod`eles n´ecessitant des couplages (thermo´elasticit´e, mat´eriaux actifs...), flambement, etc.

Dans le cadre de cette th`ese, on se limitera `a quelques propri´et´es, mais l’outil doit potentiellement permettre de prendre en compte toutes ces options (pour des travaux ult´erieurs).

2.3.2 Mod´elisation m´ecanique

L’objectif du mod`ele m´ecanique d´evelopp´e durant cette th`ese est le calcul des d´eplacements et des rotations de l’organe terminal d’une structure robotique, cet organe

´etant soumis `a un torseur d’efforts ext´erieurs (forces et moments). La figure 2.1montre les param`etres du mod`ele m´ecanique utilis´e pour le calcul.

Données d’entrées

Figure 2.1: Param`etres et fonctionnalit´es du mod`ele m´ecanique.

Le calcul est bas´e sur une mod´elisation par la m´ethode des ´el´ements finis [98]. Des

´el´ementspoutres sont utilis´es pour la mod´elisation des bras et des ´el´ementsressorts pour les liaisons. Les param`etres g´eom´etriques sont les longueurs des bras et les dimensions des sections. Les param`etres mat´eriaux sont les modules d’Young et les coefficients de Poisson des diff´erents composants de la structure. La loi de comportement des mat´eriaux est suppos´ee lin´eaire. Il est `a noter que les bras poss`edent un comportement m´ecanique anisotrope, except´e pour des sections circulaires. Cette anisotropie r´esulte de l’orienta-tion des axes principaux de la secl’orienta-tion par rapport `a la direction du chargement.

Le code de calcul par ´el´ements finis Ansys est utilis´e en mode Batch, mode sans interface graphique, dans le but de r´eduire les temps de calcul. Des ´el´ements BEAM188 de type poutre sont utilis´es pour mailler les bras, et des ´el´ements COMBIN14 de type ressort sont utilis´es pour mod´eliser les liaisons. Le lien entre chaque composant (plateforme fixe, bras, plateforme mobile, etc.) est repr´esent´e par deux nœuds co¨ıncidents, chaque nœud

´etant li´ee `a un des composants. Les ´el´ements ressorts permettent d’associer un degr´e

Chapitre 2. Cr´eation d’un outil num´erique de calcul des cartes de raideur 42 de libert´e (DDL) form´e par deux nœuds `a une raideur donn´ee. Deux types de ressorts peuvent ainsi ˆetre employ´es pour la mod´elisation : ressort axial pour les d´eplacements et ressort de torsion pour les rotations. Pour une liaison pivotmotoris´ee, un ressort de torsion est utilis´e pour mod´eliser la rotation des nœuds le long de l’axe de la liaison.

La valeur de la raideur de torsion d´epend du moteur et de sa commande. Pour prendre en compte les possibilit´es de d´eformation suivant les autres axes de la liaison, les DDL restants sont mod´elis´es par des ressorts, mais de grandes valeurs de raideurs leurs sont associ´ees. Une anisotropie peut ˆetre affect´ee `a une liaison en utilisant diff´erentes valeurs de raideur suivant la direction et l’orientation dans l’espace. Ainsi, diff´erentes distribu-tions de raideur peuvent ˆetre consid´er´ees dans une liaison. La principale difficult´e r´eside dans l’identification exp´erimentale des raideurs des liaisons pour param´etrer le mod`ele, en particulier dans le cas de l’utilisation de plusieurs moteurs pour la mˆeme liaison `a plusieurs degr´es de libert´e. Dans le cas des liaisonspassives, les DDL suivant les axes de la liaison ne sont pas contraints et restent libres. Par exemple, pour une liaison passive sph´erique, les trois rotations ne sont pas contraintes (mod´elis´ees avec des ressorts avec raideur nulle), et les ”ddl” restants sont mod´elis´es par des ressorts de grande raideur.

Des conditions cin´ematiques aux limites de la structure doivent ˆetre appliqu´ees.

Ces conditions consistent simplement en l’application d’un encastrement rigide aux nœuds de la plateforme fixe. Les trois vecteurs unitaires de la base orthonormale li´ee `a la plateforme fixe sont d´efinis par x, y et z. Un torseur d’efforts ext´erieurs (F, M) est appliqu´e `a l’effecteur, o`u F(F<sub>x</sub>,F<sub>y</sub>,F<sub>z</sub>) et M(M<sub>x</sub>,M<sub>y</sub>,M<sub>z</sub>) sont respectivement la force et le moment appliqu´es. Le calcul du mod`ele donnera les trois d´eplacements (Ux,Uy,Uz) et les trois rotations (Θ_x,Θ_y,Θ_z) de l’effecteur. Ces valeurs permettront de d´eterminer la raideur globale de la structure robotique.

Il est `a noter que les applications qui suivront se feront enstatique. Le cas dyna-mique requiert au pr´ealable une identification des raideurs dynamiques. Ce dernier cas n’est pas trait´e ici, le sujet ´etant le d´eveloppement d’une d´emarche de g´en´eration de cartes de raideur statique. Ces cartes seront utilis´ees comme un indicateur de premier ordre de la rigidit´e d’un robot en service. Il peut ˆetre admis que la rigidit´e statique est li´ee `a la d´efinition et la param´etrisation d’une tˆache robotique (ind´ependamment de l’acc´el´eration), la fonction ´etant d’atteindre un point de l’espace de travail et de r´ealiser une tˆache en ce point, ce qui est `a distinguer de la rigidit´e dynamique qui est li´ee `a la

”qualit´e” de la r´ealisation de la tˆache (cadence, vibrations, pr´ecision des mouvements).

2.3.3 Balayage de l’espace op´erationnel et obtention des cartes de rai-deur

Les raideurs sont les rapports entre les forces appliqu´ees (ou les moments) et les d´eplacements (ou rotations) r´esultants au niveau de l’effecteur. En pratique, six torseurs

”´el´ementaires” d’efforts ext´erieurs sont successivement appliqu´es pour le calcul de six raideurs. Par exemple, une force unitaire est appliqu´ee selon l’axe x, avec des valeurs nulles pour les deux autres directions et moments :

Fx = 1, Fy = 0, Fz = 0, Mx = 0, My = 0, Mz = 0 (2.1) Six valeurs de raideur sont ainsi obtenues `a partie de ce chargement ´el´ementaire :

Kxx = F_x

La mˆeme approche est suivie pour le calcul des autres raideursKij par l’application d’une valeur unitaire pour chaque composante du torseur des efforts externes.

— les valeursKxj,Kyj etKzj pour j=x, y, z sont exprim´ees en N/m ;

— les valeursK_xj,K_yj etK_zj pour j=θx,θy,θzsont en N/rad ;

— les valeursK_θxj,_Kθyj etK_θzj pourj=x, y, z sont exprim´ees en N ;

— les valeursK_θxj,K_θyj etK_θzj pour j=θx,θy,θz sont en N.m/rad.

36 valeurs de raideurs sont ainsi obtenues (voir la figure 2.2).

L’espace de travail est balay´e en utilisant le mod`ele g´eom´etrique de la structure, direct pour robots s´eriels, et inverse pour les structures robotiques parall`eles. Dans le cas du mod`ele g´eom´etrique direct, les coordonn´ees g´en´eralis´ees de l’effecteur sont d´etermin´ees en fonction des coordonn´ees articulaires, et inversement pour le cas du mod`ele g´eom´etrique inverse. Les raideurs K_ij sont ainsi calcul´ees pour toutes les poses de l’espace de travail de la structure, selon la discr´etisation consid´er´ee. La figure 2.2 pr´esente les lignes principales de l’impl´ementation num´erique du mod`ele. Deux logiciels sont utilis´es dans un fonctionnement parall`ele : Matlab et Ansys. 36 valeurs de raideurs sont obtenues pour chaque pose, ce qui m`ene `a l’obtention de 36 cartes de raideur.

Chapitre 2. Cr´eation d’un outil num´erique de calcul des cartes de raideur 44 (extraction des 3 déplacements et des 3

rotations de l’effecteur)

Figure 2.2:D´emarche de g´en´eration des cartes de raideur.