Mod` eles mixtes pour donn´ ees longitudinales

2.2 Analyse de donn´ ees longitudinales

2.2.1 Mod` eles mixtes pour donn´ ees longitudinales

Mod`ele lin´eaire mixte

Aujourd’hui, le modèle linéaire mixte, introduit par Harville (1977) et popularisé par Laird et Ware (1982), apparaˆıt comme la méthode de référence pour l’étude d’un mar-queur Gaussien au cours du temps. Il permet de prendre en considération la corrélation des observations dans un contexte de données répétées et permet de décrire l’évolution moyenne au cours du temps pour la population ainsi que les évolutions individuelles par l’intermédiaire d’effets aléatoires individuels mesurant l’écart de chacun des individus par rapport à l’évolution moyenne de la population. L’idée sous-jacente au modèle linéaire à effets aléatoires est que la variable réponse suit un modèle de régression linéaire mais avec

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des coefficients de régression spécifique à chaque sujet. Dans une population de N sujets, le vecteur des observations du sujet i est noté Y_i = (Y_i1, ..., Y_in_i) où n_i est le nombre de mesures répétées du marqueur pour le sujet i. Le modèle linéaire mixte est défini de la manière suivante :

                   Y_i = X_iβ + Z_iu_i+ _i u_i ∼ N (0, G) _i ∼ N (0, Σ_i) u_i ⊥ _i, ∀ i et u_i ⊥ u_j, ∀ i, j

où X_i est une matrice de variables explicatives de dimension n_i∗ p (incluant notamment le temps) associée au vecteur d’effets fixes β, Z_i est une sous-matrice de X_i de dimension n_i∗ q associée au vecteur d’effets aléatoires u_i spécifiques à chaque individu (avec q ≤ p le nombre d’effets aléatoires). Le vecteur d’erreur _i est supposé indépendant du vecteur d’effets aléatoires u_i pour chaque sujet. Soit f_i(Y_i|u_i) et f_i(u_i) les fonctions de densités respectives du vecteur des mesures répétées sachant les effets aléatoires et du vecteur d’effets aléatoires. Ces distributions définissent la formulation hiérarchique du modèle linéaire mixte. La densité marginale du vecteur des mesures s’écrit donc :

fi(Yi) = Z

fi(Yi|ui)fi(ui)dui

Il est alors facile de montrer que f_i(Y_i) est la densit´e d’une loi multivari´ee normale : Y_i ∼ N (X_iβ, V_i = Z_iGZ_i⁰+ Σ_i)

Cette formulation marginale du modèle est celle classiquement utilisée pour l’estimation du vecteur des paramètres du modèle θ = (β, α), incluant les paramètres de régression β et le vecteur de paramètres α des matrices de variance-covariance G et Σi. Cependant, la formulation marginale du modèle ne prend pas explicitement en considération l’hét´ ero-généité entre les sujets au travers des effets aléatoires. La matrice de variance-covariance V_i = Z_iGZ_i⁰ + Σ_i doit être définie positive. Il est possible, selon la forme de Z_i, que V_i soit définie positive alors que G ne l’est pas. Dans ce cas, le modèle marginal est valide alors que le modèle hiérarchique ne l’est pas. Pour avoir concordance entre la formulation marginale et la formulation hiérarchique, il faut contraindre la matrice G à être définie positive, en reparamétrant le modèle en utilisant la décomposition de Cholesky de G.

Une approche classique pour l’estimation du vecteur de param`etres θ du mod`ele est la maximisation de la vraisemblance marginale :

L(θ) = N Y i=1 1 2π ni/2 |V_i|−1/2exp −¹ 2^(Yⁱ− X_iβ)⁰V_i⁻¹(Y_i − X_iβ) (2.1) La log-vraisemblance est plus souvent utilisée pour des raisons pratiques. Conditionnel-lement aux paramètres de variance α, l’estimateur du maximum de vraisemblance (MLE pour Maximum Likelihood Estimator) du vecteur de paramètres β est donné par Laird et Ware (1982) : ˆ β = N X i=1 X_i⁰V^ˆ_i⁻¹X_i !−1 _N X i=1 X_i⁰V^ˆ_i⁻¹Y_i

avec ˆVi = Vi( ˆα). L’estimateur des éléments de la matrice de variance-covariance ˆα est connu pour être biaisé dans le cas d’une estimation par maximum de vraisemblance. Pat-terson et Thompson (1971) ont proposé une approche alternative (REML pour REstric-tive Maximum Likelihood). Les différences entre les estimateurs MLE et REML sont très faibles sur de grands échantillons. Les applications développées dans cette thèse portent sur de grands échantillons, les estimateurs utilisés sont ceux du maximum de vraisem-blance.

L’estimation des paramètres du modèle par maximum de vraisemblance peut se faire de plusieurs manières. Pour l’approche marginale, Harville (1977) préconise l’utilisation des algorithmes itératifs comme l’algorithme EM (Dempster et al., 1977) ou l’algorithme de Newton-Raphson (Fletcher, 2000). Le principe de ces algorithmes sera développé dans la section 2.4. Une alternative à l’approche par maximum de vraisemblance est l’approche bayésienne. La formulation hiérarchique du modèle mixte à effets aléatoires a été utili-sée dans un cadre bayésien par Laird et Ware (1982) ou encore Verbeke et Molenberghs (2000). Un algorithme envisageable dans un cadre bayésien peut être l’algorithme MCMC (Markov Chain Monte Carlo).

Modèle linéaire généralisé à effets mixtes

Les modèles linéaires généralisés, introduits par McCullagh et Nelder (1989), sont une extension des modèles linéaires classiques pour des variables non-gaussiennes. L’intro-duction d’effets aléatoires dans les modèles linéaires généralisés permet de modéliser la corrélation des données et définit la classe des modèles linéaires généralisés à effets mixtes

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(Davidian et Giltinan, 1995; McCulloch et Searle, 2004). La variable réponse Yij est sup-posée suivre une distribution de la famille exponentielle, conditionnellement aux vecteurs d’effets aléatoires ui :

f_Y_i|ui(yi|ui) = exp y_iθ_i − g(θ_i)

τ2 − c(yi, τ )

et l’esp´erance conditionnelle de yi est d´efinie par E[y_i|u_i] = µ_i = ^∂g(θi)

∂θi h(µ_i) = X_iβ + Z_iu_i

où h est appelée fonction de lien associant l’espérance conditionnelle de yi au prédicteur linéaire. La variance conditionnelle de Y_i s’écrit :

V ar(Y_i|u_i) = (τ⁻²)^∂

2g(θ_i) ∂θ2

Dans le document Modèles conjoints pour données longitudinales et données de survie incomplètes appliqués à l'étude du vieillissement cognitif (Page 51-54)