2.3.1 Lois d’´echelle pour le monopˆole
Le potentiel de pi´egeage reste harmonique durant toute la s´equence exp´erimentale, de sorte qu’il est possible d’´ecrire l’´evolution du condensat sous forme d’une simple transformation d’´echelle. Les param`etres d’´echelle λ⊥(t) et λz(t) v´erifient les ´equations 1.27. On pourrait th´eoriquement r´esoudre ces ´equations durant les trois phases (excitation, oscillation libre et temps de vol), mais il est plus rapide de faire deux simplifications :
1Elle s’accompagne n´eanmoins d’une excitation verticale du centre de masse du nuage : en effet, le d´ecalage gravitationnel (Eq. 1.3) d´epend de B0qui est vari´e pendant l’excitation du monopˆole. Cet effet est sans cons´equence pour l’´etude du monopˆole.
2.3 Mod`eles et exp´eriences `a temp´erature nulle (ou presque) 45
– La phase d’excitation ´etant courte devant la p´eriode du pi`ege, on consid´erera que son seul effet est de donner une vitesse initiale transverse aux particules. Son effet sera pris en compte sous la forme de conditions initiales :
˙λ⊥(0) = α et ˙λz(0) = (λ⊥(0) − 1) = (λz(0) − 1) = 0. (2.1) – La phase de temps de vol r´ealisant une simple dilatation du nuage, il n’est pas n´ecessaire
de la mod´eliser explicitement.
Seules restent `a r´esoudre les ´equations du mouvement durant la phase d’oscillation libre :
¨ λ⊥+ ω⊥2λ⊥ = ω 2 ⊥ λ3 ⊥λz (2.2) ¨ λz+ ω2zλz = ω 2 z λ2 ⊥λ2 z , (2.3)
avec les conditions initiales 2.1. Nous allons r´esoudre ces ´equations dans deux cas limites ´etudi´es exp´erimentalement.
2.3.2 Comportement 2D aux temps courts
Comme ˙λz(0) = (λz(0) − 1) = 0, on peut consid´erer que sur des ´echelles de temps courtes devant 2π/ωz, le param`etre d’´echelle λz reste ´egal `a un. Cette approximation revient `a consid´erer la limite ωz → 0 qui correspond au cas d’un cylindre infiniment long, proche de la situation d´ecrite dans [73]. Une seule ´equation reste `a r´esoudre :
¨
λ⊥+ ω⊥2λ⊥= ω
2 ⊥
λ3⊥. (2.4)
On introduit le param`etre A = λ2⊥ pour lequel il est possible de trouver une int´egrale premi`ere du mouvement2 :
1 2A˙
2+ 2ω2⊥(A2+ 1) = CA
o`u C = 4ω⊥2 + 2α2. Finalement, on montre que A satisfait `a une ´equation lin´eaire : ¨
A + 4ω⊥2A = C (2.5)
qui conduit `a la solution :
A(t) = cosh(γ) + sinh(γ) sin(2ω⊥t + φ) (2.6)
o`u γ et φ peuvent ˆetre explicit´es en fonction des conditions initiales. A est donc une quantit´e qui oscille sinuso¨ıdalement dans le temps, `a une fr´equence 2ω⊥ qui ne d´epend pas de la force de l’excitation.
Ce r´esultat est confirm´e par l’observation exp´erimentale report´ee sur la figure 2.2 o`u l’on a volontairement excit´e le mode monopolaire de fa¸con forte. Pour cette exp´erience, on a mesur´e ω⊥/2π = 188.7(3) Hz ; la fr´equence du pi`ege durant l’excitation ´etait fix´ee `a ω′⊥/2π = 250 Hz pour une dur´ee τ = 800 µs. L’oscillation de A(t) est tr`es bien ajust´ee par un sinus (insert), sinus qui doit simplement ˆetre assorti d’un l´eger amortissement pour pouvoir rendre compte de l’´evolution de A jusqu’`a des temps de l’ordre de 75 ms (courbe principale). La fr´equence donn´ee par l’ajustement est ωmp/2π = 374.5(4) Hz, ce qui conduit `a ωmp/2ω⊥= 0.9976 ± 0.0027.
2Dans le cas d’un condensat sym´etrique autour de l’axe z, A est proportionnel `a l’aire d’une coupe transverse du nuage.
0 20 40 60 1.0 0.5 1.5 t (ms) A(t) 0 2 4 6 8 10 12 0.5 1.0 1.5
Figure2.2 – Comportement de la quantit´e A(t) ∝ R2
⊥ (normalis´ee `a l’unit´e) aux temps courts et tr`es courts (insert) apr`es une excitation de τ = 800 µs avec ω⊥′ /2π = 250 Hz. Les points exp´erimentaux sont moyenn´es sur deux passages identiques. La ligne pleine est un ajustement sinuso¨ıdal avec un l´eger amortissement exponentiel (constante de temps ≃ 190 ms). La fr´equence d´eduite de l’ajustement est 374.5(4) Hz.
2.3 Mod`eles et exp´eriences `a temp´erature nulle (ou presque) 47 Time (ms) A ( t) /A 0 3 6 9 200 203 206 209 400 403 406 409 600 603 606 609 0.92 0.96 1.00 1.04 1.08
Figure2.3 – Comportement de la quantit´e A(t) ∝ R2⊥ (normalis´ee `a l’unit´e) aux temps longs apr`es une excitation de τ = 75 µs avec ω⊥/2π = 230 Hz. La ligne pleine est un ajustement sinuso¨ıdal avec un l´eger amortissement exponentiel (constante de temps ∼ 1 s). La fr´equence d´eduite de l’ajustement est 366.3(5) Hz.
Nous retrouvons ainsi le fait que le mode monopolaire transverse oscille dans le r´egime de Thomas-Fermi `a une fr´equence double de celle du pi`ege ; ce r´esultat trouv´e `a une pr´ecision de quelques 10−3 et dans des conditions de forte excitation prouve que l’oscillation monopolaire transverse est bien un mode pur du condensat sur des ´echelles de temps courtes devant 2π/ωz ∼ 100 ms.
2.3.3 A trois dimensions : comportement lin´eaire aux temps longs
Nous nous int´eressons maintenant au comportement aux temps longs, l’oscillation libre pou-vant durer plusieurs centaines de millisecondes. Nous le verrons plus loin, l’´evolution du mode aux temps longs est loin d’ˆetre triviale lorsqu’il est fortement excit´e. Pour cette raison, nous allons nous limiter ici au cas des excitations faibles qui conduisent `a des comportements essen-tiellement lin´eaires.
On a report´e sur la figure 2.3 un exemple de courbe exp´erimentale d’oscillation de A sur des ´echelles de temps 10 fois plus longues que dans le cas pr´ec´edent. Le temps d’excitation a ´et´e consid´erablement r´eduit (τ = 75 µs) et ω⊥′ /2π = 230 Hz. L’excitation communiqu´ee au condensat est ainsi environ 10 fois plus faible que lors de l’exp´erience aux temps courts.
Les donn´ees ont ´et´e prises sur quatre intervalles de 8 ms espac´es de 200 ms, et dans un pi`ege dont la fr´equence transverse vaut ω⊥/2π = 182.6(3) Hz. L’ajustement sinuso¨ıdal porte sur l’ensemble des points. La fr´equence de l’oscillation peut ˆetre d´eduite de l’ajustement : ωmp/2π = 366.3(5) Hz. Le rapport de la fr´equence du monopˆole sur le double de la fr´equence du pi`ege vaut donc ωmp/2ω⊥ = 1.0030 ± 0.0030. Ces r´esultats sont tr`es analogues `a ceux obtenus aux temps courts avec une excitation quelconque : mˆeme sur des ´echelles de temps longues, le mode de respiration transverse oscille librement, et il semble que l’on peut rendre compte de son comportement par une ´equation du type de (2.6). Autrement dit, le fait que l’approximation λz = 1 ne tienne plus ne semble pas affecter l’´evolution du mode.
Voyons comment il est possible de justifier cela th´eoriquement. L’excitation du mode est perturbative, de sorte que l’on peut lin´eariser les param`etres d’´echelle :
λ⊥(t) = 1 + ǫ⊥(t) λz(t) = 1 + ǫz(t).
En rempla¸cant dans les Eqs. (2.2), on peut obtenir un syst`eme d’´equation lin´eaires pour ǫ⊥ et ǫz : d2 dt2 ǫ⊥ ǫz +4ω2 ⊥ ω⊥2 2ω2 z 3ω2 z ǫ⊥ ǫz = 0. (2.7)
Ce syst`eme se diagonalise sans peine et fait apparaˆıtre deux modes [57] : ωrapide2 = 4ω