a la vitesse du son pour les branches de type phonons), on constate que vc est une vitesse en-dessous de laquelle aucune excitation n’est cr´e´ee13. Autrement dit, un tel fluide se d´eplace sans viscosit´e tant que sa vitesse n’exc`ede pas vc. Ce crit`ere est connu sous le nom de crit`ere de Landau, et tient en particulier pour un condensat homog`ene pour lequel la relation de disper-sion 1.33 d´emarre lin´eairement. C’est cette propri´et´e qui a ´et´e test´ee dans l’exp´erience du MIT mentionn´ee pr´ec´edemment [61] en d´epla¸cant un laser tr`es d´esaccord´e `a des vitesses variables dans un condensat.
Fraction condens´ee, fraction superfluide
Une derni`ere pr´ecaution doit ˆetre prise lorsque les ph´enom`enes de condensation de Bose-Einstein et de superfluidit´e sont mis en parall`ele. Il s’agit d’une distinction importante qui existe entre fraction condens´ee et fraction superfluide. La fraction condens´ee d´esigne les atomes qui sont dans le mˆeme ´etat quantique : on la d´ecrit par un champ classique v´erifiant l’´equation de Gross-Pitaevskii. La fraction superfluide quant `a elle d´esigne la fraction d’atomes qui occupent l’´etat fondamental du hamiltonien `a N corps : elle inclut ainsi `a la fois les atomes condens´es et la d´epl´etion quantique.
Ainsi, `a temp´erature nulle, la fraction superfluide contient tous les atomes, alors que la fraction condens´ee n’en contient qu’une partie. Cette distinction est presque inutile dans les syst`emes gazeux (la fraction condens´ee contenant plus de 99% des atomes), mais elle est cruciale dans l’h´elium liquide o`u du fait des fortes interactions, la fraction condens´ee est estim´ee `a 10% `
a T=0 (figure 1.9).
1.6 Conclusion
Nous disposons d’une s´equence exp´erimentale automatis´ee conduisant en moins d’une minute `
a la formation d’un condensat de Bose-Einstein en forme de cigare. Cet objet quantique est d´ecrit par une unique fonction d’onde, v´erifiant l’´equation de Gross-Pitaevskii. Plusieurs m´ethodes th´eoriques issues de cette ´equation permettent de d´ecrire la dynamique du condensat. La plus remarquable est la description de notre syst`eme en termes hydrodynamiques : le condensat apparaˆıt comme un fluide barotrope, inviscide et irrotationnel. Ces deux derni`eres propri´et´es sont celles d’un superfluide.
13L’absence d’autres modes que les phonons `a basse ´energie est un ´el´ement cl´e. Feynman en donne une in-terpr´etation qualitative tr`es suggestive dans un article consacr´e `a l’h´elium superfluide et aux vortex [68].
1.6 Conclusion 41 déplétion quantique condensat + superfluide é n e r g ie composante normale é n e r g ie déplétion quantique condensat + superfluide condensat = superfluide é n e r g ie composante normale é n e r g ie condensat = superfluide T=0, g=0 T=0, g≠0 T>0, g=0 T>0, g≠0
(a) (b)
(c) (d)
Figure1.9 – Repr´esentation sch´ematique de la fraction condens´ee et de la fraction superfluide, `a temp´erature nulle puis non nulle, avec et sans interactions (d’apr`es [29]). La force des interactions est caract´eris´ee par un param`etre g. Les ´etats d’´energie `a gauche de chaque figure sont des ´etats `a une particule. Les ´etats `a droite sont les ´etats propres compte-tenu des interactions. (a) Condensat pur `a T = 0 et sans interactions. (b) Condensat et partie thermique (composante normale) dans le cas sans interactions. (c) Condensat et d´epl´etion quantique `a T = 0 et g 6= 0, l’ensemble formant la fraction superfluide. (d) Fraction superfluide et composante normale `a T > 0 et g 6= 0. Dans nos exp´eriences, la d´epl´etion quantique repr´esente moins de 1%, alors que dans l’H´elium-II elle repr´esente ∼ 90%.
Chapitre 2
Mode monopolaire transverse d’un
condensat
Un premier mode du condensat va attirer notre attention dans ce chapitre : le mode mono-polaire transverse. Sa g´eom´etrie est simple : il s’agit d’une oscillation du rayon transverse du condensat.
L’´etude exp´erimentale du mode monopolaire ne pr´esente aucune difficult´e de principe, puis-qu’elle implique des s´equences temporelles bien maˆıtris´ees et une analyse des donn´ees fond´ee sur une seule observable, le rayon transverse du condensat. Il est ainsi possible d’analyser quanti-tativement le comportement de ce mode, en particulier la mani`ere dont il relaxe en fonction de la temp´erature et de son amplitude initiale. C’est cette ´etude exp´erimentale que nous d´ecrivons ici, ´etude au cours de laquelle le monopˆole s’est av´er´e ˆetre un mode original au comportement riche [3]. Ce chapitre aborde ´egalement quelques interpr´etations th´eoriques qui ont ´et´e publi´ees suite `a ces travaux [69–71].
2.1 Pr´esentation des modes monopolaires
La d´esignation de monopˆole suppose g´en´eralement une structure identique dans toutes les directions de l’espace. C’est ainsi qu’il faut comprendre le mode monopolaire d’un condensat : il s’agit d’un mode de respiration, durant lequel toutes les directions subissent p´eriodiquement et en phase des s´equences de dilatation/contraction.
Les modes monopolaires des gaz d’atomes froids pi´eg´es sont int´eressants `a plus d’un titre. Quelques r´esultats th´eoriques m´eritent d’ˆetre rappel´es ici :
– Gaz de Boltzmann tridimensionnel isotrope : il est connu qu’un gaz quelconque pi´eg´e dans un potentiel harmonique isotrope `a trois dimensions peut osciller sans amortissement sous la forme d’un mode monopolaire [72]. Ce r´esultat peut ˆetre d´eriv´e dans le formalisme de l’´equation de Boltzmann et ne d´epend pas de la nature des interactions entre atomes : il provient d’une sym´etrie dans l’int´egrale de collision qui annule le terme usuel de friction. Ce r´esultat tient aussi `a deux et une dimension(s).
– Gaz bidimensionnel avec des interactions ponctuelles entre atomes : Pitaevskii et Rosch ont montr´e qu’un tel gaz pi´eg´e harmoniquement pr´esente des oscillations mono-polaires dites “universelles”, associ´ees `a une sym´etrie cach´ee du probl`eme [73]. De telles oscillations sont des solutions exactes du probl`emes `a N corps et ne sont pas amorties. La d´emonstration s’appuie sur le fait que la partie cin´etique et la partie d’interaction en delta (`a deux dimensions) sont invariantes d’´echelle dans la transformation r → λr. L’usage d’un potentiel en delta `a deux dimensions est n´eanmoins d´elicat en g´en´eral, comme le mentionnent les auteurs.
Temps B0 B0 Champ directeur τ t excitation oscillation
libre temps de vol
25 ms
imagerie
Figure2.1 – S´equence exp´erimentale pour l’´etude du mode monopolaire.
Notre condensat n’est ni isotrope, ni bidimensionnel. Toutefois la forme quasi-cylindrique de cigare allong´e va nous permettre de n´egliger sous certaines conditions les oscillations suivant z ; nous verrons qu’alors les pr´edictions de Pitaevskii et Rosch peuvent ˆetre mises en relation avec certaines observations exp´erimentales.